從數(shù)系的擴(kuò)充談起

文／卞書彥

我們?cè)谄吣昙?jí)已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過(guò)有理數(shù)，知道了數(shù)的擴(kuò)充源于兩方面的需求：一是為了解決實(shí)際生產(chǎn)、生活中的某些問(wèn)題；二是為了數(shù)學(xué)內(nèi)部的運(yùn)算可以進(jìn)行（即運(yùn)算的封閉性）。我們也知道了每次數(shù)系擴(kuò)充遵循的基本原則：第一，增加新元素；第二，原有的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立；第三，新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾。

本章一開(kāi)始以運(yùn)用勾股定理計(jì)算直角三角形邊長(zhǎng)為情境，讓我們感受到“數(shù)的開(kāi)方”的必要性，順理成章地讓我們學(xué)習(xí)平方根的概念。我們?cè)谄吣昙?jí)就知道非完全平方數(shù)（如數(shù)2）的平方根（算術(shù)平方根）是客觀存在的，能用逼近法知道它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，并能用數(shù)軸上的點(diǎn)將它表示出來(lái)。為了進(jìn)一步研究這樣的數(shù)，我們有必要用符號(hào)來(lái)表示。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾使用符號(hào)“”很好地解決了這類數(shù)的表示問(wèn)題。

有了平方根概念和表示符號(hào)后，我們就可以研究其性質(zhì)與應(yīng)用了。根據(jù)平方與開(kāi)平方互逆的關(guān)系可以得到：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0 的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。我們可以類比學(xué)習(xí)三次方根的概念以及符號(hào)“”所表示的意義，根據(jù)立方與開(kāi)立方互逆的關(guān)系得到：正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0 的立方根是0。同理，根據(jù)平方根與立方根的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我們也可類比得到“n次方根”的符號(hào)“”及其有關(guān)的性質(zhì)了。

我們認(rèn)識(shí)到，開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。無(wú)限不循環(huán)小數(shù)除了開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)外，還有像化簡(jiǎn)后含“π”的數(shù)與0.1010010001…（1 后面的0 依次多一個(gè)）這一類數(shù)，以后我們還會(huì)學(xué)習(xí)到其他形式的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。為此，我們將無(wú)限不循環(huán)小數(shù)定義為無(wú)理數(shù)，并將有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。由此，我們就實(shí)現(xiàn)了從有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充。

下面，我們通過(guò)圖1 一起回顧一下人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)吧。

圖1

數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，對(duì)有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義，有理數(shù)比較大小的方法，有理數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算律，仍然都適用。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，還可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算以及非負(fù)實(shí)數(shù)的開(kāi)平方運(yùn)算。

由于無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有時(shí)根據(jù)實(shí)際需要，我們要用它的近似值來(lái)代替。因此，我們還要了解近似數(shù)的概念，體會(huì)近似數(shù)的意義以及近似數(shù)在生產(chǎn)、生活中的作用，并能根據(jù)要求對(duì)結(jié)果取近似值。于是，我們得到本章的知識(shí)框圖（如圖2）。

圖2

實(shí)數(shù)這一章的知識(shí)是我們學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識(shí)的基礎(chǔ)，為今后數(shù)系的擴(kuò)充提供了范式，相信同學(xué)們一定能夠?qū)W好本章的有關(guān)內(nèi)容。