常 宇 周占學(xué)，2* 江一博 吳 凱 郭延凱 馬春柳

(1.河北建筑工程學(xué)院土木工程學(xué)院，河北 張家口 075000；2.河北省土木工程診斷、改造與抗災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 張家口 075000)

0 引 言

我國的山區(qū)面積占總面積的三分之二以上，然而隨著城鎮(zhèn)化的發(fā)展，城市建設(shè)用地供求矛盾日益凸顯，越來越多的城市開發(fā)建設(shè)向山地延展.近年，我國汶川等地多次發(fā)生高震級(jí)的地震，給人民生命和財(cái)產(chǎn)造成巨大損失，山地地形的建筑結(jié)構(gòu)抗震日益引起人們的關(guān)注.

早在1973年Trifunac[1]利用波函數(shù)展開法對(duì)平面SH波在半橢圓形峽谷中的散射問題進(jìn)行分析，由此開啟針對(duì)局部場(chǎng)地地震動(dòng)響應(yīng)問題的先河；H.L.Wang[2]考慮了半橢圓形峽谷附近的P波、SV波和瑞利波的繞射，詳細(xì)討論了壓縮波與剪切波等的模式轉(zhuǎn)換效應(yīng)；1996[3]年劉晶波采用數(shù)值法結(jié)合透射人工邊界研究了地震波入射時(shí)孤凸地形對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的影響；2007年劉殿魁、呂曉棠[4]采用“契合”的方法對(duì)半圓形凸起與凹陷地形對(duì)SH波的散射；2018年李平[5]等采用有限差分法結(jié)合透射人工邊界進(jìn)行了地震動(dòng)河谷場(chǎng)地效應(yīng)研究得出河谷地形對(duì)地震動(dòng)有顯著的放大作用.可以看到，局部地形地震動(dòng)響應(yīng)問題的研究日漸豐富，但是對(duì)于局部凸起地形在SV波入射時(shí)的分析研究尚有欠缺.考慮到地震動(dòng)過程中SV波的傳播特點(diǎn)及其造成的嚴(yán)重影響，本文的分析十分必要.針對(duì)以上問題，本文對(duì)于SV波入射局部山地地形地震動(dòng)問題進(jìn)行有限元分析，分別考慮山地高度、介質(zhì)、地震波入射角度及頻譜等關(guān)鍵影響因素對(duì)地震動(dòng)的影響.

1 建立數(shù)值模型

1.1 粘彈性人工邊界的建立

粘彈性人工邊界是在在截取區(qū)域的邊界上設(shè)置一系列由彈簧和阻尼器所構(gòu)成的簡(jiǎn)單物理元件，在吸收外行波的波動(dòng)能量的同時(shí)恢復(fù)邊界，模擬波在介質(zhì)中向無限遠(yuǎn)域傳播的過程.二維問題中，只需在切向和法向設(shè)置粘彈性人工邊界單元.通過對(duì)邊界修正系數(shù)進(jìn)行合理設(shè)定，可以達(dá)到更高計(jì)算精度，并能夠很好的與波動(dòng)輸入方法結(jié)合，易于應(yīng)用[6].本文所取邊界修正系數(shù)分別為：法向人工邊界αN=2/2；切向人工邊界αT=1/2.

1.2 地震動(dòng)輸入方法在粘彈性人工邊界中的實(shí)現(xiàn)

在不同的人工邊界條件上實(shí)現(xiàn)波動(dòng)輸入會(huì)對(duì)輸入方法產(chǎn)生影響.本文采用一種適用于粘彈性人工邊界的波動(dòng)輸入方法[7]，通過把波動(dòng)輸入問題轉(zhuǎn)化為直接在粘彈性人工邊界上施加等效荷載，以此實(shí)現(xiàn)地震波動(dòng)輸入.

2 參數(shù)分析

2.1 半圓形山地地形對(duì)地震動(dòng)放大作用分析

2.1.1 模型適用性驗(yàn)證

本文首先通過山谷地形對(duì)入射SV波的影響算例來驗(yàn)證分析模型的適用性[8].同文獻(xiàn)[8]中的山谷地形等比例建模，以山谷場(chǎng)地底邊中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果如圖1所示，擬合位移幅值隨坐標(biāo)軸呈對(duì)稱分布，數(shù)值關(guān)系也基本一致，驗(yàn)證結(jié)果很好.

圖1 山谷地形地表位移幅值

2.1.2 半圓形山地作用規(guī)律

以下建立半圓形山地地形模型，本構(gòu)關(guān)系為線彈性，場(chǎng)地條件各向同性、均質(zhì).土體區(qū)域?yàn)?00m×200m，半圓形凸起半徑50m，兩側(cè)及底部建立粘彈性人工邊界，入射波為沿豎直方向入射的SV波.山地模型及其地表位移時(shí)程曲線如下圖2、圖3.模型的材料參數(shù):E=1.25GPa，G=0.5GPa，μ=0.25，ρ=2000Kg/m3，CS=500m/s，網(wǎng)格尺寸為5m×5m.

圖2 半圓形山地地形計(jì)算模型 圖3 地表位移幅值

圖3中可以看出：山體地形模型為軸對(duì)稱圖形，且入射SV波為垂直入射，使得水平和豎直方向的地表位移幅值曲線也為對(duì)稱分布；在水平方向上，幅值從山腳至山頂逐漸增大，在山頂處出現(xiàn)降低趨勢(shì)；在豎直方向上，幅值從山腳至山頂緩慢增大，在向山頂處靠近時(shí)迅速降低并且收斂為零；SV波入射后，在自由地表上同一監(jiān)測(cè)點(diǎn)，水平方向的地表位移幅值較豎直方向更加強(qiáng)烈.由上述規(guī)律初步判斷，半圓形山地地形對(duì)自由地表處地震動(dòng)影響效應(yīng)顯著，與均勻場(chǎng)地自由場(chǎng)相比，臨近山腳和山頂處的震動(dòng)位移出現(xiàn)峰值，地面運(yùn)動(dòng)反應(yīng)較大.上述結(jié)果及相關(guān)理論表明，SV波入射下水平方向上的地表幅值較豎直方向更大，最大水平位移幅值可以達(dá)到入射波時(shí)程曲線幅值的兩倍.

2.2 局部山地地形高度變化對(duì)地震動(dòng)影響規(guī)律

山地高度H分別設(shè)為15m、25m、35m、45m、50m、55m、65m、75m，取SV波垂直入射下地表位移幅值在山頂及兩側(cè)山腰和山腳的水平和豎向位移幅值的變化繪制圖4(以下各圖中Ax為水平方向位移幅值；Ay為豎直方向位移幅值；圖中L表示山地左側(cè)、R表示右側(cè)，余下各圖表示相同).

圖4 不同山地高度下特征點(diǎn)幅值變化規(guī)律

隨著山地高度的增大，山地處地表面波動(dòng)范圍減小，水平方向位移幅值呈下降趨勢(shì)，但在豎直方向增大.山腳處的位移幅值隨山地高度的增大在水平方向減小后保持不變，豎直方向上緩慢增大；山腰處，水平方向幅值與豎直方向呈現(xiàn)相反趨勢(shì)；山頂處，水平方向位移幅值隨著山地高度增加逐漸減小，在H=55m時(shí)出現(xiàn)拐點(diǎn)后逐漸增大，在豎直方向上保持在0附近.總體來看，在水平方向上隨著山體高度的不斷增大，山腳到山腰再到山頂?shù)南鄬?duì)距離增加，山頂與山腰處的相對(duì)幅值變化也在加大，山腳處的幅值在H=35m時(shí)達(dá)到臨界值，之后不再變化；在豎直方向上，除山頂幾乎保持不變外，山腰與山腳處都呈上升趨勢(shì).

考慮入射地震波頻譜特性對(duì)山體地形的影響，由垂直入射下位移幅值呈對(duì)稱分布，選取山頂及山體兩側(cè)山腰和山腳作為特征點(diǎn)進(jìn)行分析.分別取入射波的卓越頻率f為1Hz、2Hz、3Hz、4Hz，繪制特征點(diǎn)的水平最大位移幅值與山體高度H及卓越頻率f的三維網(wǎng)格圖如圖5所示.

圖5 山地高度H及頻率f對(duì)Ax的影響

可以看到，相同山地高度時(shí)，山頂?shù)姆悼偸谴笥谏窖吧侥_，三者在H=15m時(shí)最為接近，此時(shí)的地表形狀更近似于均勻場(chǎng)地自由場(chǎng)下的情況，各處地表點(diǎn)幾乎保持同步振動(dòng).隨著入射波頻譜的變化，水平方向上的位移幅值變化加快，隨著頻率的減小迅速增大，在頻率為1Hz時(shí)取得最大值，并且是在山頂、山腰和山腳的不同高度處，分別為75m、65m及15m.由此推出，地震波的卓越頻率會(huì)在不同山地高度下對(duì)不同部位的水平位移幅值具有放大作用，山地越高，頻率越小，位移幅值變化越大，極值越大.

2.3 半圓形山地地形入射角度對(duì)地震動(dòng)影響規(guī)律

地震波入射角度θ變化是影響地震動(dòng)反應(yīng)的重要因素之一.本文分別取地震波入射角度為5°、10°、15°、20°、25°、30°、35°，取各入射角度時(shí)的山頂及兩側(cè)山腰和山腳的水平方向和豎直方向地表位移幅值的變化繪制圖6.

圖6 不同入射角度下特征點(diǎn)幅值變化

隨著地震波入射角度的增大，可以看到各點(diǎn)水平方向上的位移幅值先呈下降趨勢(shì)，在入射角度達(dá)到25°時(shí)開始出現(xiàn)向上反轉(zhuǎn)的趨勢(shì)，而在豎直方向上則顯得更為復(fù)雜，這與入射波密切相關(guān).水平方向上，山腳處的位移幅值小于山腰及山頂處，但在豎直方向上與前述不同，山頂處幅值不再保持在0附近，而是隨著入射角度增大開始快速上升，直到θ=25°時(shí)發(fā)生反轉(zhuǎn).總體上看，位移幅值在水平方向上仍大于豎直方向.

考慮入射角度和地震波頻譜共同作用的影響，取山頂及山體兩側(cè)山腰和山腳為特征點(diǎn).入射波卓越頻率f為1Hz、2Hz、3Hz、4Hz，繪制水平最大位移幅值與入射角度θ及卓越頻率f的三維網(wǎng)格圖如圖7.

由圖7，相同入射角度下，水平位移幅值總是隨著入射波頻率的減小而增大.山頂處水平位移幅值出現(xiàn)最大值，兩側(cè)山腰幅值與山頂接近，兩側(cè)山腳處幅值相近且相對(duì)較小，這與前述相同山地高度時(shí)規(guī)律一致.在同一頻譜特征下，隨著入射角度的增加，水平位移幅值先減小后增加，在25°時(shí)出現(xiàn)極小值.分析其中原因?yàn)椋涸趦蓚?cè)坡腳及山頂處，當(dāng)?shù)卣鸩ㄒ越咏R界入射角進(jìn)入場(chǎng)地時(shí)，SV波的豎直分量較少，兩側(cè)坡腳及山頂受水平分量的影響，在臨界角處Ax增大；入射SV波以臨界角入射到右側(cè)山腰時(shí)，相對(duì)接近垂直入射，水平分量增加且受反射波干擾較小，位移幅值開始增加；左側(cè)山腰與右側(cè)不同的是不直接面臨入射地震波的作用，水平分量在地震波入射接近臨界角時(shí)在半圓形山地發(fā)生反射，故左側(cè)坡頂?shù)腁x增大.

隨著入射波頻譜的變化，水平方向上的位移幅值變化加快，隨著頻率的減小迅速增大，在頻率為1Hz時(shí)取得最大值.由此推出，地震波的卓越頻率對(duì)不同入射角度下的地表水平位移幅值均具有放大作用.

2.4 半圓形山地地形介質(zhì)變化對(duì)地震動(dòng)影響規(guī)律

下面考慮場(chǎng)地土介質(zhì)變化的影響，各類土的相關(guān)參數(shù)如表1所示.

SV波垂直入射各介質(zhì)土?xí)r模型山頂及兩側(cè)山腰和山腳的水平和豎向位移幅值的變化繪制圖8.在水平方向上，兩側(cè)山頂和山腰處的位移幅值隨著介質(zhì)剛度的增大而增大，并在山腰處的反應(yīng)更大.不同于上述規(guī)律，山頂處水平位移幅值隨介質(zhì)剛度增大而減小.在豎直方向上，山頂處幅值處在零附近，但山腳和山腰處幅值均隨著介質(zhì)剛度增大而增大.分析上述規(guī)律產(chǎn)生的原因：地震波在入射到山地地形時(shí)會(huì)以不同角度發(fā)生反射和散射，當(dāng)介質(zhì)剛度較大時(shí)，入射波傳播的速度較快，主頻率明顯，山頂處受到反射波干擾較小，而在兩側(cè)受到反射波及散射波的影響較大；在小剛度介質(zhì)中，隨著波速的減小，地震波入射到半圓形山地地形時(shí)，產(chǎn)生的反射波及散射波的能量減小，對(duì)入射波的疊加干擾影響較小，使得幅值變化速率加快.

圖8 不同山地介質(zhì)下特征點(diǎn)幅值變化規(guī)律

考慮入射地震波頻譜特性對(duì)山體地形的影響，同分析山地高度變化影響時(shí)，地震波垂直入射下位移幅值呈對(duì)稱分布.選取山頂及兩側(cè)山腰和山腳作為特征點(diǎn)進(jìn)行分析.分別取入射波的卓越頻率f為1Hz、2Hz、3Hz、4Hz，繪制特征點(diǎn)的水平最大位移幅值與土體介質(zhì)及卓越頻率f的三維網(wǎng)格圖如圖9所示.

在圖9中可以看到，相同波速下，山地范圍內(nèi)各點(diǎn)的水平位移幅值均隨入射波頻率的減小而呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，并且變化速率加快，這與前述分析得出規(guī)律一致.與入射角度影響不同的是，山地各處的位移幅值的峰值均出現(xiàn)在最小頻率的最小剛度條件下.山腰處的幅值變化較山腳處更大，二者均比較穩(wěn)定，但是山頂處的水平位移幅值變化在較大和較小介質(zhì)處變得平緩.總體而言，入射波頻率的變化對(duì)地表位移幅值具有明顯的影響作用，介質(zhì)剛度越大，頻率對(duì)幅值的放大作用越顯著.

圖9 山地介質(zhì)及卓越頻率f對(duì)Ax影響

3 總 結(jié)

針對(duì)局部山地凸起這一特殊地形，采用黏彈性人工邊界及地震動(dòng)輸入方法建立有限元模型并對(duì)其適用性進(jìn)行驗(yàn)證.結(jié)果表明本文所建立的數(shù)值分析模型是合理可行的，對(duì)于模型計(jì)算精度的提高可通過細(xì)化網(wǎng)格和模型尺寸，選擇合適的修正系數(shù)及邊界半徑計(jì)算方法來實(shí)現(xiàn).

以SV波為輸入地震波，對(duì)半圓形山地局部凸起場(chǎng)地模型地震動(dòng)影響規(guī)律進(jìn)行分析，考慮了山地高度、介質(zhì)以及地震波入射角度、頻譜的變化等關(guān)鍵因素，得出結(jié)論如下：在以SV波垂直入射半圓形局部山地地形時(shí)，位移幅值呈對(duì)稱分布，并且在水平方向上地表各點(diǎn)的地震動(dòng)響應(yīng)幅值較豎直方向更大，此時(shí)位移幅值最大值出現(xiàn)在山腰處；綜合考慮山地高度、入射角度及不同土體對(duì)地震動(dòng)的響應(yīng)特點(diǎn)，除山腳處在山地凸起接近半圓時(shí)的山頂處可以將地震動(dòng)放大的影響降到最低；入射波頻譜對(duì)山地高度、介質(zhì)及入射角度等因素的影響明顯，頻率越小，對(duì)位移幅值的放大作用越大：當(dāng)頻率為1Hz時(shí)，山頂處位移幅值放大效果達(dá)到入射波幅值的12倍.