“充填體-煤柱”復合結構勢能突變破壞機理

王爍康，閆晶晶，陽元中

（1.河北石油職業(yè)技術大學數(shù)理部，河北承德 067000；2.中國礦業(yè)大學礦業(yè)工程學院，江蘇徐州 221116）

煤炭是我國的主體能源，預計到2050 年煤炭占一次能源消費的比重仍在50%以上[1-2]。傳統(tǒng)的粗放式開采易造成巖層運移、地下水資源流失、地表植被枯萎等生態(tài)問題[3]。充填開采能夠有效控制巖層移動，是解決煤炭資源開采與生態(tài)環(huán)境保護之間矛盾的重要途徑[4-5]。開采過程中，充填體逐步置換煤柱，覆巖的支撐結構由煤體變?yōu)椤俺涮铙w-煤柱”復合結構（以下簡稱復合結構）。該結構的穩(wěn)定承載既是煤炭安全開采的重要保障，又是實現(xiàn)煤炭綠色開采的前提。國內(nèi)外學者對煤柱與充填體的穩(wěn)定性問題進行了諸多理論研究與實踐探索[6-10]，學者們通常將煤柱或充填體視為柱體，頂、底板對柱體施加夾持作用開展相關研究。對于區(qū)段式，學者們得出了較為成熟的塑性區(qū)計算方法，例如A H 威爾遜兩區(qū)約束理論、Kastner 公式等[11-12]；對于條帶式或塊段式，學者們將直接頂（或基本頂）簡化為板狀結構，在載荷的作用下對煤柱或充填體做功，從系統(tǒng)能量突變的角度分析煤柱或充填體的穩(wěn)定性[13-16]；對于不規(guī)則柱體，如邊角煤柱等，通過Voronoi 圖的方法確定出有效承載面積，從而給出不規(guī)則煤柱穩(wěn)定性評價標準[17-19]。前人成果多集中于單一承載結構穩(wěn)定性的研究，且煤柱穩(wěn)定性的判別多以強度理論與經(jīng)驗公式為主，與工程現(xiàn)場存在一定偏差。為此，以復合結構作為研究對象，將覆巖、煤柱與充填體系統(tǒng)相互作用力學模型與突變失穩(wěn)數(shù)學模型相結合，揭示復合結構突變失穩(wěn)的能量轉化機制，為煤炭資源安全開采提供理論依據(jù)。

1 “充填體-煤柱”復合結構承載特征

1.1 力學模型

復合結構承受了自身上方全部覆巖質(zhì)量，以及開采與充填空間上方部分覆巖質(zhì)量。為建立復合結構力學模型，做出如下假設：

1）充填開采能夠有效控制頂板，頂板下沉量相對采高是極小量，可忽略因充填先后順序造成頂板下沉量的差異。

2）充填材料能夠充滿整個采空區(qū)，凝固后形成的充填體與覆巖、煤柱始終保持相互作用關系。

3）整個采空區(qū)范圍內(nèi)充填材料力學特性相同，且煤柱與充填體均具備連續(xù)性、均勻性以及各項同性等性質(zhì)。

4）充填體與煤柱之間通過相互作用可形成復合承載結構，二者之間的區(qū)別僅限于物理力學參數(shù)的的不同。

5）覆巖載荷均勻分布于煤柱與充填體上方，復合結構變形特征可簡化為平面應變問題。

基于巷式充填開采特征，建立的復合結構礦壓和力學模型如圖1 和圖2。圖中，M 為采高，m；L 為采場巷道寬度，m；a 為充填體寬度，m；b 為煤柱寬度，m；H 為煤層埋深，m；H1為采場巷道直接頂承載的覆巖高度，m；n 為復合結構與采場巷道的寬度之比；Y1、Y2分別為充填體與煤柱的塑性區(qū)寬度，m。

圖1 復合結構礦壓模型Fig.1 The rock pressure model of composite structure

圖2 復合結構力學模型Fig.2 The mechanical model of composite structure

復合結構承受的支承壓力p 為：

式中：ρ 為覆巖平均密度，取值2.5 t/m3。

1.2 復合結構總勢能

復合結構承載過程中，會產(chǎn)生塑性區(qū)而降低有效支撐面積，當有效支撐面積減小到承載極限時將發(fā)生破壞失穩(wěn)。復合結構彈性核區(qū)與塑性區(qū)的本構關系不同，前者呈線性關系，而后者具有軟化性質(zhì)的非線性關系，且煤柱與充填體具有不同的物理力學參數(shù)。充填體應力σ1與應變ε1及損傷變量D1之間存在關系：

式中：D1=1-e-ε1/ε01；ε1為充填體的變形量；ε01為峰值載荷作用下充填體的變形量；E1為充填體的彈性模量。

復合結構塑性區(qū)載荷ps與勢能Vs分別為：

式中：ε2為煤柱變形量；ε02為峰值載荷作用下煤柱的變形量；E2為煤柱彈性模量。

復合結構彈性核區(qū)載荷pe與勢能Ve分別為：

覆巖下沉產(chǎn)生的重力勢能Vp為：

復合結構總勢能為：

2 “充填體-煤柱”復合結構突變機理

2.1 數(shù)學模型

突變理論是1 門研究控制變量發(fā)生改變導致狀態(tài)變量發(fā)生突變的非線性科學，可用來分析自變量的連續(xù)改變導致系統(tǒng)發(fā)生突變失穩(wěn)的過程[20]。針對巷式充填開采復合結構突變失穩(wěn)機理的分析，狀態(tài)變量為一維變量，即復合結構破壞失穩(wěn)。由于煤（巖）破壞的不可逆性，應選擇狀態(tài)不可逆轉的折疊型突變模型或燕尾型突變模型?？紤]到復合結構穩(wěn)定性受采礦地質(zhì)條件、采場巷道采掘的相互擾動，以及復合結構的組成等因素影響，選擇控制變量維數(shù)更高的燕尾型突變模型，用來研究復合結構突變失穩(wěn)機理。

燕尾型突變模型的勢函數(shù)f（x）為：

式中：u、v、w 為控制變量；x 為狀態(tài)變量。

平衡曲面方程為：

突變點集為：

分歧點集U 為：

燕尾型突變分歧點集U 將三維控制空間劃分成5 個區(qū)域，分別是燕翅上方、燕尾內(nèi)部、燕尾下部、左燕翅下方及右燕翅下方。發(fā)生突變的必要條件為，控制變量所確定的點（相點）隨時間的變化穿過了分歧點集U 的不同區(qū)域，并且它們所在區(qū)域平衡點的性質(zhì)發(fā)生了變化?？刹捎靡辉拇畏匠虒嵏袆e方法，研究各區(qū)域相點的性質(zhì)是否相同。

2.2 突變失穩(wěn)臨界條件

由于充填體物理力學性質(zhì)、煤層厚度及強度等參數(shù)對復合結構靜載穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。根據(jù)前期的研究工作，已得出保證復合結構靜載穩(wěn)定的充填體物理力學參數(shù)[7]。在此基礎上，基于燕尾型突變理論，分別進行求解充填體承載部分與煤柱承載部分勢能突變臨界條件。

充填體承載部分復合結構勢能函數(shù)V1為：

式中：o 為數(shù)學符號，表示高階無窮小。

取無量綱量x=ε-2ε01作為狀態(tài)變量，且式（14）中的余項近似取0。構建燕尾型突變平衡曲面方程，并整理為標準形式，得：

采充過程中，將導致式（17）中v 和w 發(fā)生變化。充填體承載部分，發(fā)生突變失穩(wěn)的必要條件是判別式Δ1＜0。已知a+b=nL，假設a=αL（α=0，1，2，…，n），式（17）可整理成關于Y1的一元二次方程，即：

其中：Q=（6nH+6H-5L）2ε012α4L4

式（18）的判別式滿足Δ01＞0。判別式中對比含有Q 的各項系數(shù)，當系數(shù)之間相差至少2 個數(shù)量級時，只保留較高次冪系數(shù)的項。Δ01＞0 時，表達式化簡可得：

同理可得，煤柱承載部分，系統(tǒng)發(fā)生突變的必要條件是：

其中：R=（6nH+6H-5L）2ε022（n-α）4L4

求解式（18）和式（20）并取有意義的解集，可得復合結構保持穩(wěn)定的必要條件是充填體與煤柱塑性區(qū)寬度應同時滿足：

3 “充填體-煤柱”復合結構影響因素

根據(jù)式（21），復合結構發(fā)生突變失穩(wěn)的影響因素主要包括采場巷道寬度L、煤層埋深H 以及開采階段數(shù)N 等。開采階段可解釋為：巷式充填開采或連采連充過程中，通常采用多輪次循環(huán)開采的方式回收煤柱，每個循環(huán)輪次成為1 個開采階段。以塑性區(qū)寬度作為評判標準，分別求解充填體承載部分和煤柱承載部分發(fā)生突變失穩(wěn)的臨界條件[22]。一般采場巷道寬度L 取4～7 m，煤層埋深L 取200～800 m，以及開采階段數(shù)N 取2～5。根據(jù)前人的研究成果，復合結構維持穩(wěn)定的臨界核區(qū)率取65%[23]，得到的充填體與煤柱承載部分的穩(wěn)定性臨界曲面如圖3和圖4。

圖3 充填體承載部分突變失穩(wěn)臨界曲面Fig.3 The catastrophe instability critical surfaces of the filling body part

圖4 煤柱承載部分突變失穩(wěn)臨界曲面Fig.4 The catastrophe instability critical surfaces of the coal pillar

若以采場巷道寬度作為不變量，復合結構保持穩(wěn)定的最大允許煤層埋深隨開采階段數(shù)的增加而降低。這一結果表明，充填體突變失穩(wěn)是臨近采場巷道采掘對充填體產(chǎn)生反復擾動，致使其內(nèi)部累計損傷的結果。開采階段數(shù)對充填體內(nèi)部損傷的影響表現(xiàn)為擾動次數(shù)，采場巷道寬度表現(xiàn)為擾動距離。若以煤層埋深作為不變量，開采階段數(shù)越大，復合結構保持穩(wěn)定的最大允許采場巷道寬度越小。這一結果表明，減小空頂面積可減低充填體內(nèi)部損傷值的累積程度。若以開采階段數(shù)作為常量，復合結構保持穩(wěn)定的最大允許煤層埋深與最大允許采場巷道寬度近似呈負指數(shù)函數(shù)關系，可表示為H=λeζL，采場結構突變失穩(wěn)臨界擬合曲線的待定參數(shù)見表1 和表2。其中，R2表示擬合曲線與計算結果的相關程度。

表1 充填體承載部分擬合參數(shù)Table 1 The fitting parameters in the filling body part

表2 煤柱承載部分擬合參數(shù)Table 2 The fitting parameters in the coal pillar part

對比上述結果發(fā)現(xiàn)，相同地質(zhì)與開采條件下，煤柱承載部分復合結構發(fā)生突變失穩(wěn)的臨界曲線始終位于充填體承載部分的下方，表明煤柱較充填體更易發(fā)生破壞失穩(wěn)。這一結果可解釋為充填體剛充入采空區(qū)時處于散體狀態(tài)，只有當充填材料凝固以及覆巖運移對充填體產(chǎn)生擠壓，充填體才逐漸承載。而原巖應力下，煤柱處于三向受力狀態(tài)，當采場巷道采掘后，煤柱的側向壓力解除，采動卸荷作用對煤柱造成了第1 次損傷。頂板下沉的初始階段，主要由煤柱承擔覆巖載荷，直到充填體與煤柱能夠復合承載，覆巖運移對煤柱造成了第2 次損傷。從復合結構的承載過程來看，充填體是以覆巖運移為前提的被動承載過程，而煤柱承載是受采動卸荷與覆巖運移的逐漸損傷過程。

4 工程案例驗證

王臺鋪煤礦開采煤層為XV 煤，煤層平均厚度2.4 m，傾角1°～2°。研究區(qū)域工作面走向長度330 m，傾向長度160 m，埋深220 m。工作面內(nèi)雙翼布置采場巷道，采場巷道與運輸主巷夾角為50°，采場巷道寬度為6 m，劃分為4 個開采階段，復合結構寬度為18 m，即開采參數(shù)為N=4，L=6 m，H=220 m。

將實際開采的工作面進行簡化處理：①巷式充填開采具有周期性，模擬全部采場巷道的采掘與充填得到的是周期性的數(shù)據(jù)；②建立的力學模型將復合結構承載特征簡化為平面應變問題，采場巷道長度選取適當即可；③采場巷道尺寸遠小于工作面尺寸。

建立尺寸為400 m（長）×400 m（寬）×230 m（高）的數(shù)值計算模型，工作面尺寸為120 m（走向）×100 m（傾向），走向和傾向邊界煤柱分布為140 m 和150 m。覆巖采用Mohr-Coulomb 模型，充填體與煤層采用strain-softening 模型。

4.1 應力分布特征

各開采階段連采連充期間，沿工作面推進方向煤柱與充填體上方垂直應力分布如圖5。

圖5 復合結構垂直應力分布特征Fig.5 Vertical stress distribution characteristics of composite structure

由圖5 可以看出：垂直方向的原巖應力為5.42 MPa。巷式充填過程中，垂直應力沿工作面推進方向呈周期性分布，周期長度為開采階段數(shù)與采場巷道寬度的乘積。由于應變軟化作用，充填體邊界為應力降低區(qū)，并向內(nèi)部延伸過程中逐漸恢復；煤柱邊界出現(xiàn)應力集中現(xiàn)象，向內(nèi)部延伸過程中先降低再逐漸恢復。

4.2 塑性區(qū)分布特征

各開采階段結束，煤柱與充填體上方塑性區(qū)分布如圖6。

圖6 復合結構內(nèi)塑性區(qū)分布特征Fig.6 Distribution characteristics of plastic zone of composite structure

由圖6 可以看出：煤柱與充填體的破壞形式為剪切破壞；第1 階段結束，剪切破壞發(fā)生在煤柱邊緣，而充填體內(nèi)未發(fā)現(xiàn)破壞；第2、第3 階段結束，在新充入的充填體約束邊界處，產(chǎn)生新的剪切破壞，靠近充填體一側，剪切破壞發(fā)生在第2 階段充填體上，靠近煤柱一側，剪切破壞發(fā)生在煤柱上；第4 階段結束，剪切破壞位置發(fā)生在新充入的充填體兩側，位置與第3 階段剪切破壞的位置一致；塑性區(qū)位置對應于煤柱邊界的垂直應力集中位置和充填體垂直應力的谷值位置。

4.3 垂直應力對復合結構穩(wěn)定性的影響

分別提取上述4 個開采階段結束后采場最大垂直應力、復合結構上方最大垂直應力差值及復合結構塑性區(qū)寬度的數(shù)值計算結果，復合結構垂直應力變化與塑性區(qū)寬度相關性如圖7。

圖7 復合結構垂直應力變化與塑性區(qū)寬度相關性Fig.7 Correlations between vertical stress variation and plastic zone width of composite structure

由圖7 可以看出：復合結構塑性區(qū)寬度與最大垂直應力差值之間存在相關性，二者的相關系數(shù)約為0.91。垂直應力差值越大，復合結構塑性區(qū)寬度越接近采場失穩(wěn)的臨界值，表明采場內(nèi)垂直應力的不均勻分布是導致采場發(fā)生突變失穩(wěn)的主要原因；整個采充過程中，復合結構最大垂直應力相對穩(wěn)定，在1.33～1.47 倍原巖應力之間，而采場內(nèi)的變量似乎只有復合結構的成分（煤柱由充填體逐步置換）。由于充填體屬于被動支撐結構，采場巷道開采后覆巖應力首先作用在煤柱上方，然后隨著充填體、煤柱及覆巖的相互作用發(fā)生轉移。

因此，煤柱尺寸越小，復合結構上方垂直應力差值越大，采場結構越容易發(fā)生突變失穩(wěn)，且突變失穩(wěn)更易發(fā)生在煤柱承載部分，這與圖3 和圖4 的計算結果相吻合。

5 結 語

1）分析了“充填體-煤柱”復合結構承載特征，建立了復合結構總勢能平衡曲面方程，基于燕尾型突變狀態(tài)變量屬性與平衡曲面方程實根數(shù)之間的關聯(lián)性，得出了以塑性區(qū)寬度為指標的復合結構破壞失穩(wěn)的判別公式。

2）分析了采場巷道寬度、煤層埋深以及開采階段數(shù)等開采參數(shù)對復合結構穩(wěn)定性的影響，繪制了三者共同作用下復合結構破壞失穩(wěn)臨界曲面，結果表明，相同地質(zhì)條件與開采條件下煤柱較充填體更易發(fā)生破壞失穩(wěn)。

3）分析了復合結構承載過程中垂直應力及塑性區(qū)分布特征，發(fā)現(xiàn)復合結構塑性區(qū)寬度與最大垂直應力差值之間存在相關性，二者的相關系數(shù)約為0.91，垂直應力差值越大，塑性區(qū)寬度越接近復合結構破壞失穩(wěn)的臨界值。

4）結合工程案例，復合結構最大垂直應力在1.33～1.47 倍原巖應力之間，塑性區(qū)寬度約為2.0～4.4 m之間，巷式開采過程中，復合結構核區(qū)率始終不低于75.6%，破壞失穩(wěn)判別公式的準確性得到了驗證。