曾子元，李云桓

(中國人民解放軍海軍裝備部駐廣州地區(qū)局軍事代表局駐貴陽地區(qū)軍事代表室，貴陽 550009)

0 引 言

四旋翼飛行器從其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析，是一種具有較強耦合性的非線性系統(tǒng)[1]，其受外界干擾影響的因素較多。但由于其具有良好的機動能力，在多種任務環(huán)境中都可以以較低的成本完成飛行任務，其控制律設(shè)計成為了一項研究熱點[2]。

在設(shè)計四旋翼飛行控制器的方法中主要有兩個大類[3]，一類是線性控制方法，另一類是非線性控制方法。除此之外，隨著智能算法的研究熱度上升，一些自學習的控制方法如利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡，以及模糊控制等方法在該領(lǐng)域也得到了相關(guān)的應用[4]。

在線性控制方法中，PID控制器[5]以其低成本、易于實現(xiàn)的優(yōu)點，較多地應用于工程實踐中。本文同樣采用了比例控制器表征狀態(tài)變量的理想變化率。但由于PID控制器控制參數(shù)整定繁瑣，不具備批量移植的能力，造成了其對不同四旋翼模型的魯棒性較差[6]。線性二次型調(diào)節(jié)控制器易于通過兼顧飛行性能指標的方式，調(diào)整飛行系統(tǒng)達到最優(yōu)狀態(tài)，因此在四旋翼飛行控制問題中，也有著較為廣泛的應用。

在非線性控制方法[7]中，對于欠驅(qū)動系統(tǒng)，反步法通過逆向構(gòu)造推導李雅普諾夫函數(shù)，確保系統(tǒng)穩(wěn)定性，在四旋翼飛行器的軌跡控制中得到了廣泛關(guān)注。滑?？刂芠8]也是一種魯棒性較強的控制方法，但對于實際的四旋翼飛行控制系統(tǒng)，滑模控制器的抖振較難抑制，因此會對系統(tǒng)表現(xiàn)的性能產(chǎn)生影響。

本文采用非線性動態(tài)逆方法結(jié)合擴張狀態(tài)觀測器[9]設(shè)計四旋翼飛行控制系統(tǒng)[10]。該方法較好地克服了干擾和參數(shù)攝動問題，同時系統(tǒng)控制輸入也被限定在合理的范圍內(nèi)，供實際系統(tǒng)參考。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 四旋翼動力學模型的建立

對如圖1所示的四旋翼飛行器建模[11-12]，設(shè)機體坐標系為Oxbybzb，地面坐標系為Oxyz，則兩個坐標系的關(guān)系如下式：

(1)

式中：ψ為偏航角；θ為俯仰角；φ為滾轉(zhuǎn)角。

圖1 四旋翼飛行器示意圖

由四旋翼飛行器的受力分析[13]可知，若轉(zhuǎn)速為Ω，圖1中的旋翼i將會產(chǎn)生如下的升力：

Ti=KTΩ2i=1，2，3，4

(2)

選取向量作為系統(tǒng)輸入，將升力進行如下轉(zhuǎn)換：

(3)

式中：U1表示施加在四旋翼飛行器上的總升力；U2、U3分別表示滾轉(zhuǎn)力矩和俯仰力矩的虛擬控制量；U4是偏航力矩的虛擬控制量。

四旋翼飛行器主要受到重力和四個旋翼提供的升力影響。重力在地面坐標系中如下式：

(4)

設(shè)四個旋翼的合升力為F，其在機體坐標系中如下式：

(5)

由式(1)兩坐標系的關(guān)系可得升力在地面坐標系中如下式：

(6)

由此可得在地面坐標系中的坐標變化如下式：

(7)

四旋翼飛行器相對于地面坐標系的角速度如下式：

(8)

式中，p、q、r與姿態(tài)角變化率的關(guān)系如下式：

(9)

式(7)、式(8)和式(9)組成的非線性系統(tǒng)即為四旋翼的動力學模型。

1.2 擴張狀態(tài)觀測器基礎(chǔ)

擴張狀態(tài)觀測器是一種基于系統(tǒng)模型以及控制輸入、估計干擾及攝動量的控制方法[14]，在設(shè)計控制律的應用中體現(xiàn)出良好的魯棒性。

對于常見的二階系統(tǒng)，其表達式如下式：

(10)

若對系統(tǒng)進行離散化，可得如下的離散狀態(tài)方程組：

(11)

對于如上的離散系統(tǒng)，可采用如下的擴張狀態(tài)觀測器：

(12)

式中：z1、z2分別為對于原系統(tǒng)狀態(tài)量和狀態(tài)量一階導數(shù)的觀測值；z3為擴張狀態(tài)，用于觀測原系統(tǒng)中的其他變量；函數(shù)fal可表示：

(13)

1.3 非線性動態(tài)逆法

采用非線性動態(tài)逆法[15]設(shè)計控制器，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 動態(tài)逆控制原理

由此可知，采用非線性動態(tài)逆法需要得知受控對象的準確模型，四旋翼的動力學模型已經(jīng)給出。此外，需要對系統(tǒng)的未知干擾項和參數(shù)攝動進行處理，擴張狀態(tài)觀測器被證明在這一問題中非常有效。

2 基于非線性動態(tài)逆和擴張狀態(tài)觀測器的復合控制器設(shè)計

四旋翼無人機作為一個較為復雜的非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的參數(shù)攝動多來自于系統(tǒng)的氣動參數(shù)變化，同時由于耦合等因素帶來的不匹配不穩(wěn)定性也是控制的難點。本文采用非線性動態(tài)逆和擴張狀態(tài)觀測器方法聯(lián)合設(shè)計姿態(tài)回路的控制律。

按照被控變量對控制輸入量響應快慢的特點，對它們進行分組控制，因此系統(tǒng)可以被分為多個回路，如圖3所示。

圖3 復合控制器原理框圖

由上節(jié)的系統(tǒng)模型，角速度p，q，r的響應速度最快，姿態(tài)角ψ，θ，φ響應速度次之，質(zhì)心位置在地面坐標系的坐標x，y，z響應速度最慢，故姿態(tài)控制系統(tǒng)可以作為獨立的內(nèi)外兩回路結(jié)構(gòu)，針對各回路的子系統(tǒng)，下面將逐一分析。

2.1 角速度回路控制律設(shè)計

在前面推導的角速度模型，將內(nèi)回路系統(tǒng)寫作：

(14)

式中：狀態(tài)變量x=[x1,x2,x3]T=[p,q,r]T，控制量u=[u2,u3,u4]T，d(t)為電磁等因素導致的不匹配不確定性干擾。

該系統(tǒng)的干擾主要來自于兩個方面：一是轉(zhuǎn)動慣量的參數(shù)攝動；二是控制量在施加到實際系統(tǒng)中，因電路中存在電磁干擾而對系統(tǒng)施加的額外擾動輸入。

加入如下的一階擴張狀態(tài)觀測器：

(15)

擴張狀態(tài)觀測器分別對三個方向的角速度進行估計觀測，同時對非線性環(huán)節(jié)和擾動輸入進行觀測。

根據(jù)動態(tài)逆控制器的有關(guān)規(guī)律得出如下控制律：

(16)

三個角速度通道完全獨立，可對某一通道進行論證。將控制律式(16)代入角速度系統(tǒng)式(14)：

(17)

由擴張干擾觀測器性質(zhì)可得，當參數(shù)增益足夠大時，觀測誤差有上界，即：

(18)

因此可用一個有界變量ξi=f(xi)+d(t)-z2i+k(xi-z1i)代換，|ξi|的上界滿足：

|ξi|≤k|x-z1i|+|f(x)+d-z2i|≤

kΔ1+Δ2=Δ

(19)

式中：k為正數(shù)。

設(shè)ei=xi-xci，有：

(20)

式(20)為跟蹤誤差系統(tǒng)的微分方程。

由線性系統(tǒng)理論可知，當擴張狀態(tài)觀測器誤差足夠小時，必存在一個足夠大的k值使跟蹤誤差一致穩(wěn)定，證畢。

2.2 角度回路控制律設(shè)計

設(shè)定姿態(tài)角指令為[φc,θc,ψc]，內(nèi)環(huán)角速度指令為[pc,qc,rc]，設(shè)定如下比例控制律作為姿態(tài)角控制律：

(21)

由四旋翼動力學模型，可得內(nèi)環(huán)角速度指令[pc,qc,rc]與姿態(tài)角變化率的關(guān)系如下：

(22)

3 仿真實驗

3.1 姿態(tài)控制對比仿真

首先對于施加參數(shù)攝動的四旋翼系統(tǒng)進行仿真實驗，驗證姿態(tài)角的控制和保持作用；接著，以滾轉(zhuǎn)角變化為例，對比了未使用擴張狀態(tài)觀測器的情況下，系統(tǒng)受到擾動輸入后的響應。

其中轉(zhuǎn)動慣量的參數(shù)攝動如表1所示，估計值即代表擴張狀態(tài)觀測器中采用的參數(shù)值，真實值為四旋翼模型中采用的參數(shù)值。

表1 轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)攝動表

設(shè)定滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角分別保持在1°、1°、-1°，實驗結(jié)果如圖4所示，經(jīng)過約0.5 s后，滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角均達到預定角度。

圖4 四旋翼無人機姿態(tài)仿真圖

下面實驗在系統(tǒng)穩(wěn)定后，加入如圖5所示的有色噪聲作為擾動輸入，觀察姿態(tài)輸出的變化。

圖5 擾動Simulink仿真圖

加入擴張狀態(tài)觀測器前后的角速度p如圖6所示。

圖6 擾動加入后角速度p仿真圖

在2 s處加入有色噪聲后，有擴張狀態(tài)觀測器的非線性動態(tài)逆控制器很快抑制了干擾，基本保持角速度恒為0，也即姿態(tài)不發(fā)生改變。

3.2 航跡控制器仿真

通過在姿態(tài)回路與角速度控制回路外增加四旋翼位置控制回路，使四旋翼模型可以根據(jù)位置指令，通過傳統(tǒng)的PID控制器，調(diào)節(jié)、控制姿態(tài)和角速度，并通過虛擬控制量中的總升力，使四旋翼模型產(chǎn)生質(zhì)心運動。

設(shè)定X方向位移6 m，Y方向位移10 m，Z方向位移-10 m，可以得到如圖7所示的響應曲線。系統(tǒng)在高度上的響應速度較慢，是由于飛行器在做與重力方向相反的位移。

圖7 四旋翼飛行器航跡仿真結(jié)果圖

該仿真結(jié)果間接說明了姿態(tài)控制系統(tǒng)的良好性能，可以在航跡控制中發(fā)揮良好的內(nèi)回路控制作用。

4 結(jié) 語

本文采用非線性動態(tài)逆法結(jié)合擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計了一套四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)，具有良好的控制精度和魯棒性，解決了四旋翼無人機的參數(shù)攝動、耦合、干擾和非線性等因素帶來的控制問題。本文經(jīng)過建立并分析四旋翼動力學模型，設(shè)計內(nèi)外回路控制律，以及仿真驗證，充分說明了該方法的有效性。