陳雨青，馮舒婷，岑泳欣，周效良

(1. 河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 211100； 2. 嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 湛江 524048)

0 引言

一直以來,疾病是人類死亡的主要原因之一,傳染病卻是能危害更多人死亡的疾病,隨著氣候變暖、環(huán)境惡化,一些新型的惡性傳染病帶來的問題日益突出.人們對傳染病的認(rèn)識逐漸加深,通過建立合適的傳染病模型,達(dá)到控制和治療疾病的效果,是研究離散傳染病模型的真正意義所在[1-2].

最近幾年,人們越來越關(guān)注離散SIS(susceptible-infected-susceptible)傳染病模型的研究,而且得到了豐富的研究成果[3-6],其中模型平衡點的穩(wěn)定性、疾病的持久性、滅絕性以及模型分岔等動力學(xué)性態(tài)是大多數(shù)學(xué)者熱衷研究的問題.例如Castillo-Chavez等[4]建立了一類離散 SIS 傳染病模型,分析了該模型的動力學(xué)行為.王振國等[5]研究了一類具有非線性傳染率的SIS 網(wǎng)絡(luò)傳染病模型的動力學(xué)行為,討論了該模型的跨臨界分岔.Allen等[6]提出了一類SI、SIR和SIS離散傳染病模型,分析了這類模型平衡點的穩(wěn)定性.

考慮染病的母親把疾病傳染給嬰兒的概率為p(0

(1)

其中：Λ指易感者的常數(shù)輸入,β指傳染率系數(shù),b,d分別表示出生率和死亡率,B表示輸出率,α表示因病死亡率,γ表示染病者的恢復(fù)率.模型中所有參數(shù)為正常數(shù)且垂直傳染率為1.將模型(1)離散化得到

(2)

模型(1)的基本再生數(shù)為

本文首先探討系數(shù)參數(shù)對特征值的影響,得到雙曲平衡點的類型及其穩(wěn)定性.接下來，對于非雙曲的平衡點,利用中心流型定理研究了模型(2)無病平衡點E0的跨臨界分岔和flip分岔,以及地方病平衡點E*的跨臨界分岔.最后，我們給出模型(2)分岔的生物學(xué)解釋.

1 平衡點性質(zhì)

定理1平衡點Eo有以下性質(zhì)：

(ⅰ)如果R0∈l1,l2,平衡點Eo非雙曲;

(ⅱ)如果R0∈C0,平衡點Eo漸近穩(wěn)定;

(ⅲ)如果R0∈C1,C2,平衡點Eo為不穩(wěn)定結(jié)點.

定理2平衡點E*有以下性質(zhì)：

2 跨臨界分岔與flip分岔

2.1 無病平衡點Eo的跨臨界分岔與flip分岔

定理3當(dāng)R0=1時,無病平衡點E0將產(chǎn)生跨臨界分岔.具體過程如下：在R0=1處實施微小的擾動使得R0<1時,E0雙曲且穩(wěn)定,E*雙曲且不穩(wěn)定,使得R0>1時,E0雙曲且不穩(wěn)定,E*雙曲且穩(wěn)定,在R0=1處,平衡點E0非雙曲.

證明對于平衡點E0,當(dāng)R0=1時,有λ2=1,λ1=1-?,把ξ1=R0-1看做分岔參數(shù),將J(E0)寫為Jξ1(E0)，得到

其特征值λ1和λ2對應(yīng)的特征向量為(1,0)τ,(w1,1)τ.其中

令

并利用變換(S,I)τ=T(u,v)τ,將系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

(3)

由文獻(xiàn)[8]定理2.2.4可知,在ξ1附近平衡點(u,v)=(0,0)的穩(wěn)定性與分岔可通過其在中心流型上一參數(shù)族映射來確定,中心流型形式如下:

Wloc(0,0)={(u,v,ξ1)∈R3|u=h(v,ξ1),h(0,0)=0,Dh(0,0)=0,|v|<δ,|ξ1|<δ}.

(4)

將式(4)代入式(3),可得一維映射

(5)

驗證下面式子成立：

(6)

定理4當(dāng)R0∈l2時,系統(tǒng)(2)在無病平衡點E0經(jīng)歷flip分岔;具體地講,當(dāng)α2>0時,系統(tǒng)(2)在平衡點E0分岔的2周期軌穩(wěn)定;當(dāng)α2<0時,系統(tǒng)(2)在平衡點E0分岔出的2周期軌不穩(wěn)定.

其中

系統(tǒng)(2)在不動點E0經(jīng)歷flip分岔需滿足：

其中

由文獻(xiàn)[9]定理3.5.1可知,當(dāng)R0∈l2時,平衡點E0經(jīng)歷flip分岔.

2.2 地方病平衡點E*的跨臨界分岔

定理5當(dāng)R0=1時,模型(2)在地方病平衡點E*產(chǎn)生跨臨界分岔,其雙曲性和穩(wěn)定性的變化與定理3所述相同.

證明對于平衡點E*,當(dāng)R0=1時,有λ2=1,λ1=1-?,把ζ=R0-1看做分岔參數(shù),將J(E*)寫為Jζ(E*)得到

利用變換將模型(2)變?yōu)?/p>

(7)

解得

故式(8)表達(dá)式為

(8)

將式(8)代入式(7)得到

通過計算驗算如下式子成立：

從而模型(2)在E*產(chǎn)生跨臨界分岔.

3 數(shù)值模擬

在本節(jié)，我們對于模型(2)給出一些數(shù)值模擬結(jié)果，對理論研究進(jìn)行驗證.

例1令Λ=0.03,β=0.1,α=0.1,b=0.1,d=0.1,p=0.5,q=0.5,B=0.05,γ=0.1,通過計算,R0<1,選取3組初始值(S0,I0)為:(1.8,0.3),(1.6,0.4),(1.3,0.5),從圖1可知E0(0.6,0)是穩(wěn)定的.

選取Λ=0.3,β=0.1,α=0.1,b=0.1,d=0.1,p=0.5,q=0.5,B=0.05,γ=0.1,并選取3組初始值(S0,I0)為:(1.2,1.3),(1.6,0.4),(1.3,0.7),如圖2所示,滿足當(dāng)R0>1時,E*全局漸近穩(wěn)定.

從圖1和圖2可以看出：當(dāng)R0<1時,E0穩(wěn)定，而E*不穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時,E*穩(wěn)定,而E0不穩(wěn)定.因此在平衡點E0和E*處均產(chǎn)生跨臨界分岔.

圖1 E0穩(wěn)定Fig.1 E0is stable圖2 E*穩(wěn)定Fig.2 E*is stable

圖3 flip分岔Fig.3 Flip split

4 分岔的生物學(xué)解釋