圓錐曲線最值問題的不同思路分析

?重慶市秀山高級中學(xué)校 胡 紅

1 定義法求最值

所謂定義法，主要是從幾何圖形的定義和性質(zhì)著手找到其中的關(guān)系進(jìn)而求最值的解題方法.運(yùn)用定義法求解圓錐曲線最值問題，解題思路大致為：①找到與所求值相關(guān)的平面幾何定義或性質(zhì)，如三角形兩邊之和大于第三邊等;②列出相關(guān)的不等式并求解，綜合考慮即可得到所求最值.如以下例1所示.

解：由題意可得，橢圓C的右焦點為F(2,0),則左焦點為F′(-2,0).

由|PA|+|PF|=8，可得

結(jié)合||PA|-|PF′||≤|AF′|=2，可得

解得9≤m≤25.

故m的最大值為25.

2 函數(shù)法求最值

運(yùn)用函數(shù)法求與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，主要是圍繞所求變量構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求出相關(guān)最值.用該方法解答圓錐曲線最值問題的大致思路為：①假設(shè)與所求問題相關(guān)的點的坐標(biāo)為(x,y)，建立所求量與假設(shè)變量的關(guān)系；②借助圓錐曲線方程和點到直線的距離公式，使問題轉(zhuǎn)化為以唯一變量表達(dá)的函數(shù)解析式;③判斷變量范圍進(jìn)一步確定最值[1].具體解題步驟如例2所示.

分析：本題包含許多未知點，需要按部就班求出相關(guān)點.首先設(shè)點P的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出與之相關(guān)的方程組，得到具體坐標(biāo)；然后根據(jù)點M到直線AP的距離等于|MB|，得到|MB|的值與點M的坐標(biāo).由于問題是求橢圓上的點到點M距離的最小值，假設(shè)橢圓上任意一點為(x0,y0)，根據(jù)兩點間距離公式得到函數(shù)解析式，進(jìn)而求出所求距離的最小值.

解：設(shè)P(x1,y1)(y1>0).

由A(-6,0)，B(6,0)，F(xiàn)(4,0)，可得

設(shè)M(m,0)到直線AP的距離為d,則

解得m=2，則點M(2,0).

設(shè)橢圓上任意一點N(x0,y0)到點M距離為d′，則

由題意可得F(-1,0)，于是有

f(t)=t2+2t+3，t∈[-1,1].

因為函數(shù)f(t)的對稱軸為t=-1，所以函數(shù)f(t)在[-1,1]上單調(diào)遞增.

因此f(t)的最大值為f(1)=6.

3 不等式法求最值

不等式法也是求解圓錐曲線最值問題常見的一種方法，主要借助基本不等式或柯西不等式求出相關(guān)最值[2].解題的大致思路為：①設(shè)出問題所涉及的元素的坐標(biāo)或方程；②聯(lián)立圓錐曲線方程化簡得到只含有一個變量的方程，利用韋達(dá)定理求出x1+x2，x1x2的表達(dá)式，③將所求問題表達(dá)為與x1+x2，x1x2有關(guān)的式子，運(yùn)用基本不等式或柯西不等式求出最值.具體解題思路和步驟如例3所示.

解：由題意得F(0,1).

設(shè)直線l：y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2).

由韋達(dá)定理，得x1+x2=4k，x1x2=-4.

于是y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，

|AB|=y1+y2+2=4k2+4.

聯(lián)立l1，l2得到方程組并求解，得

所以點P(2k,-1),于是

總之，根據(jù)上述不同的圓錐曲線求最值問題的例題分析，可以得到定義法、函數(shù)法以及不等式法的具體解題思路.針對不同類型的問題，采取相對應(yīng)的方法進(jìn)行解答.在解題過程中，應(yīng)加強(qiáng)對已知條件的分析和應(yīng)用，借助已知條件和相關(guān)性質(zhì)構(gòu)建不等式或函數(shù).