張定強 王金燕

摘? ? 要：教材是課程的重要載體，不僅承載可教可學的數(shù)學知識，還包含組織和引導教與學的效用，體現(xiàn)“如何教”和“如何學”的動態(tài)屬性，以及隱性地承載與傳播社會文化價值的功能.采用以定性為主、定量為輔的教材研究方法，從教學內容的安排與組織兩方面來整體把握研究對象，可以深入挖掘教材的編寫意圖.因“數(shù)據(jù)分析觀念”是學生發(fā)展的十大核心概念之一，故對現(xiàn)行三版教材中的“統(tǒng)計與概率”內容進行分析研究，有助于對各教材的設計理念、呈現(xiàn)意蘊等作精細的挖掘，掌握編寫者編排的真實意圖，從而更好地運用教材服務教學.

關鍵詞：初中數(shù)學教材;內容編排;統(tǒng)計與概率

一、研究背景

隨著信息技術的飛速發(fā)展和大數(shù)據(jù)時代的到來，運用數(shù)據(jù)進行分析、推斷以及決策已經成為21世紀公民必備的素養(yǎng).《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》將“統(tǒng)計與概率”作為4大內容領域之一列入數(shù)學課程，《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“《課程標準》”）進一步明確“統(tǒng)計與概率”的核心目的是發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，并將這一核心目的確定為學生發(fā)展的十大核心概念之一.這種“觀念”是需要學生在親身經歷的過程中培養(yǎng)出來的對一組數(shù)據(jù)的“領悟”，由一組數(shù)據(jù)所想到的、所推測到的，以及在此基礎上，對于“統(tǒng)計與概率”獨特的思維方法和應用價值的認識[1].教材是課程的重要載體，“以教材為依據(jù)”已經成為“教、學、研”的一個重要特征.數(shù)學教材已不再僅僅靜態(tài)地承載可教可學的數(shù)學知識，還包含組織和引導教與學的效用，體現(xiàn)著“如何教”和“如何學”的動態(tài)屬性，以及隱性地承載與傳播社會文化價值的功能[2].

目前研究教材的思路有兩種.第一種多運用史寧中團隊的課程難度模型，將課程難度量化后進行靜態(tài)間的比較[3]，但該模型對“課程”的定位是基于課標視角的，課標和教材屬于上下位關系，二者承載的功能和屬性有所差異，有研究者提出這種模型應用于教材后，對“教材所負載的課程經驗本身的認知困難”的屬性有較好的反映，卻缺乏對“教材編寫或課程開發(fā)過程中試圖消解上述認知困難而所作出的努力程度”的反映[4]，特別是在“一標多本”下，教材編寫差異更多地體現(xiàn)在“開發(fā)過程中試圖消解認知困難所作出的努力程度”上，而非其“所負載的課程經驗困難程度”上.第二種是運用定性為主、定量為輔的研究方法，從教學內容的安排、組織兩方面整體把握研究對象，深入挖掘教材編寫意圖.本文運用第二種研究思路，對我國發(fā)行較多、使用較廣泛的三版教材中的“統(tǒng)計與概率”內容進行比較分析，以期引發(fā)教育工作者的思考，提升教材建設和使用的水平.

二、研究設計

（一）研究對象

筆者選取按照《課程標準》編寫、審定通過的由人民教育出版社2012年出版、北京師范大學出版社2013年出版以及華東師范大學出版社2012年出版的三版初中數(shù)學教材（以下分別簡稱“人教版”“北師大版”和“華東師大版”），對其中的“統(tǒng)計與概率”內容進行比較分析.

（二）研究方法

筆者采用文本分析法、定性研究法和定量研究法對三版教材的“統(tǒng)計與概率”內容進行比較：在宏觀層面，先從教材的靜態(tài)屬性方面加以研究，包括分析“統(tǒng)計與概率”的章節(jié)占比、章節(jié)體例和目錄設置，然后從動態(tài)屬性對章節(jié)結構進行分析;在微觀層面，剖析不同版本教材知識的引入和呈現(xiàn)方式.

三、研究結果及分析

（一）章節(jié)占比

筆者統(tǒng)計三版教材中“統(tǒng)計與概率”在不同年級所占頁碼數(shù)，并計算其占比（不包含詞匯索引和數(shù)學實驗附圖等），得到如表1所示的結果：三版中所占的比重都相對較低，均未超過15%.其中，華東師大版各年級占教材的比重隨年級升高而遞增，且總體占比最高;北師大版各年級占比差異大，總體占比居中;人教版占教材的總體比重最低，僅接近10%.

（二）章節(jié)體例

三版教材的章節(jié)體例如表2.

1.相同之處

從表2可看出：三版教材在體例上均按照章節(jié)順序展開.章首有章前言，小節(jié)內容是教材的核心，節(jié)內設置有問題或問題情境、探究過程、小貼士、例題、練習和習題等，還包括拓展延伸性質的諸如“實驗與探究”“讀一讀”“閱讀材料”等欄目，章末設置復習題.

2.不同之處

在章前言，人教版用較多的篇幅介紹背景知識以引出本章探討的主要問題，章主題圖為真實情境;北師大版以多個簡短的提問為主，列有明確的章學習目標，主題圖為虛擬人物;華東師大版呈現(xiàn)一個完整且圖文并茂的問題情境，情境下方包含與本章核心內容強相關的一則引語.在章末，人教版和華東師大版設置“小結”欄目，給出本章知識結構圖和要點回顧;北師大版設置“回顧與思考”欄目，以問題串為主啟發(fā)學生自主梳理章節(jié)知識，建立個性化的認知框圖.

對于“統(tǒng)計與概率”活動，人教版在節(jié)末和章末分別設置了“課題學習”和“數(shù)學活動”欄目，從兩種形式上助推學生發(fā)展[5];北師大版在書末設置了與本冊內容相關的“綜合與實踐”欄目，值得一提的是，盡管北師大版九年級下冊沒有“統(tǒng)計與概率”章節(jié)，但依然提供了兩個與統(tǒng)計、概率相關的“綜合與實踐”活動，便于學生鞏固知識和綜合應用;而華東師大版則在每章末尾設置了與章內容相呼應的“綜合與實踐”活動.

（三）目錄設置

分析三版教材“統(tǒng)計與概率”內容目錄，可知人教版共有3章9節(jié)內容（含兩節(jié)課題學習）、3個數(shù)學活動;北師大版共有4章13節(jié)內容、6個“綜合與實踐”活動;華東師大版共有4章9節(jié)內容（分為21個小節(jié)）、4個“綜合與實踐”活動.

縱向觀察目錄設置，筆者發(fā)現(xiàn)：人教版的結構體系最凝練，章節(jié)命名簡明，以“實驗與探究”“信息技術應用”“閱讀與思考”等拓展欄目升華本小節(jié)知識，數(shù)學味濃厚;北師大版章節(jié)數(shù)目居中，從“統(tǒng)計圖的選擇”“從統(tǒng)計圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢”等章節(jié)名可知，其較為重視學生對圖表的靈活運用;華東師大版的結構體系最為翔實，部分小節(jié)名以問句形式呈現(xiàn)，如“數(shù)據(jù)有用嗎”“這樣選擇樣本合適嗎”等，引導學生自主思考，小節(jié)名稱和拓展欄目中多次提到計算器和計算機的使用，說明教材較注重與信息技術的融合.此外，華東師大版拓展欄目的數(shù)量是最豐富的，在內容上還將文學、英語等知識與“統(tǒng)計與概率”內容進行了跨學科統(tǒng)整.

（四）章節(jié)結構

三版教材“統(tǒng)計與概率”內容中統(tǒng)計和概率知識都是分章獨立編寫的，其中：人教版統(tǒng)計占2章，概率占1章，結構安排為先統(tǒng)計后概率;北師大版統(tǒng)計和概率各占2章，并且交替呈現(xiàn);華東師大版統(tǒng)計占3章，概率占1章，呈現(xiàn)順序為統(tǒng)計—概率—統(tǒng)計.

1.結構呈現(xiàn)

具體而言，人教版和北師大版統(tǒng)計部分的結構設計較為相似，均遵循數(shù)據(jù)從收集、整理、描述（表示）到分析、預測的過程;華東師大版先呈現(xiàn)了數(shù)據(jù)的收集、表示和初步處理，最后在九年級下冊用單獨一章來闡述“樣本與總體”.這樣，人教版和北師大版基本按照“收集數(shù)據(jù)→全面調查（普查）和抽樣調查→統(tǒng)計圖→數(shù)據(jù)的集中趨勢→數(shù)據(jù)的離散程度”的順序呈現(xiàn)知識，而華東師大版則是以“收集數(shù)據(jù)→扇形統(tǒng)計圖→數(shù)據(jù)的集中趨勢→數(shù)據(jù)的離散程度→普查和抽樣調查（含直方圖）”的順序呈現(xiàn)知識.

在概率部分，三版教材各有特點：人教版遵循“隨機事件→概率→用列舉法求概率→用頻率估計概率”的順序，經歷了“理論分析→重復試驗求隨機事件的概率”的過程;北師大版遵循“可能性→頻率穩(wěn)定性→概率→等可能事件概率→用樹狀圖或表格求概率→用頻率估計概率”的順序，相較人教版對概率的直接引入，北師大版以試驗中頻率的趨近值引出概率，經歷了“從重復試驗→理論分析→重復試驗求隨機事件的概率”的過程;而華東師大版的知識順序為“不確定現(xiàn)象→不確定現(xiàn)象的規(guī)律→概率→頻率與概率→用樹狀圖或表格求概率”，經歷了“重復試驗→理論分析→重復試驗→理論分析求隨機事件的概率”的過程，可以看出華東師大版是先讓學生反復體會頻率和概率的辯證關系，最后引出用樹狀圖或表格求概率的方法.

2.分析討論

綜合來看，人教版和北師大版中的統(tǒng)計和概率既分章獨立編寫，內容上也沒有明顯的銜接或相互融通，基本上是先學統(tǒng)計再學概率，這是因為統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隱藏著概率特性[6].華東師大版雖然也分章編寫，兩部分內容卻相互聯(lián)系，這種聯(lián)系既包括統(tǒng)計對概率知識的鋪墊，也包括概率對統(tǒng)計知識的加深理解.

例如不同于從直方圖中引出頻數(shù)，華東師大版在“統(tǒng)計與概率”內容的學習伊始第15章第1節(jié)《數(shù)據(jù)的收集》中就已明確介紹了頻數(shù)和頻率的概念，設計擲骰子收集數(shù)據(jù)、記錄頻數(shù)和頻率的活動，與第25章第1節(jié)《在重復試驗中觀察不確定現(xiàn)象》形成過渡與銜接.同樣，第28章第3節(jié)《借助調查做決策》中的“例2”與第25章第2節(jié)第1小節(jié)《概率及其意義》中的“思考”欄目前后呼應，幫助學生在第三學段末綜合理解“統(tǒng)計與概率”的內容.這也就能解釋為何華東師大版要把“樣本與總體”作為單獨一章放在九年級下冊學習.基于推斷性統(tǒng)計分析是利用樣本數(shù)據(jù)去推測總體的情況，因此，理解用樣本估計總體是這塊知識需要突破的重難點.經過概率一章的學習，學生已經對“隨機”的含義有了更為深刻的理解，能進一步感悟數(shù)據(jù)的隨機性和規(guī)律性.在這種認知基礎下，以擲骰子中“幾次試驗說明不了什么問題”來闡述樣本的代表性，理解“樣本容量應該足夠大”這一內涵，學生接受起來將更為容易，也能揭示出概率思想對理解統(tǒng)計的重要意義.而直方圖能較好地反應數(shù)據(jù)分布情況，華東師大版用逐漸擴大的樣本分布直方圖來代表趨近于總體數(shù)據(jù)的分布情況，為樣本估計總體的意義解析提供了新視角.這一視角對理解簡單隨機抽樣或直方圖的性質，都能起到很好的支撐作用，同時也能為學生在高中階段將要學習的正態(tài)分布統(tǒng)計模型奠定基礎.

（五）知識的引入和呈現(xiàn)方式

教材中的知識內容以什么樣的方式引入和呈現(xiàn)，直接影響著教師的教和學生的學.筆者發(fā)現(xiàn)，三版教材中“統(tǒng)計與概率”部分在內容的引入和呈現(xiàn)上存在共同點，如都注重使用不同類型的問題情境引入內容、利用圖表幫助學生建立數(shù)據(jù)分析觀念等，但同時也各具特色.

1.人教版更為概括和抽象

人教版將“統(tǒng)計與概率”內容用9節(jié)講完，其余2節(jié)為應用性質的課題學習.在統(tǒng)計部分，以第10章第1節(jié)《統(tǒng)計調查》為例，人教版以一個完整的數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程向學生傳達了從調查問卷的選取和設計、字母代替數(shù)的計數(shù)技巧、劃記法記錄表格到條形圖、折線圖的回顧、扇形圖角度算法等知識，接續(xù)介紹了抽樣調查的代表性和簡單隨機抽樣，最后以一個歸納概括結束本小節(jié).相比之下，同樣的內容北師大版用了2.5節(jié)講授，華東師大版用了1章外加2小節(jié)，可見人教版的知識介紹簡單直接，注重數(shù)學知識的統(tǒng)整應用.概率部分也是如此，相較于北師大版和華東師大版2～3次的螺旋進階，人教版從理論分析到用頻率估計概率完成了概率內容的全部講解，每個知識點環(huán)環(huán)相扣，從引入、概念、例題到歸納，內容的抽象性和概括性較為明顯.

2.北師大版更注重分步驟和多視角

每個學習者接受知識的程度和建構知識的方式不同，因而在接受新概念或程式的過程中，分步驟和多視角的講解就能給學習者更多的理解空間.與其他兩版相比，北師大版在某些知識的講述上要更為細致和多樣.例如《數(shù)據(jù)的表示》一節(jié)，北師大版在問題情境中以三步提問啟示學生用扇形統(tǒng)計圖表示數(shù)據(jù)，展現(xiàn)從計算扇形百分比到親自繪制統(tǒng)計圖的步驟.除此之外，還在“做一做”中引發(fā)學生對扇形統(tǒng)計圖的整體感知和逆向思考，在“議一議”中提示學生兩個扇形圖區(qū)域不能直接看百分比大小進行比較，在“想一想”中表明未加處理的重復數(shù)據(jù)不能直接繪制扇形統(tǒng)計圖等.對于直方圖，北師大版以條形統(tǒng)計圖在實際應用中的局限性作為引導，讓學生整體感知和體會直方圖存在的必要性，這里并不要求學生的掌握程度一次到位，而是在后續(xù)知識中詳細介紹了如何對相對復雜的數(shù)據(jù)進行分組、確定組距、統(tǒng)計頻數(shù)、畫直方圖等步驟.學生通常容易混淆條形圖和直方圖，不理解二者的本質區(qū)別，這樣分步講解，既能讓學生明晰兩種統(tǒng)計圖的性質，又突破了畫直方圖的重難點.用頻率穩(wěn)定性引出概率時，北師大版的第一個實驗活動是擲圖釘，擲圖釘?shù)慕Y果自然不同于傳統(tǒng)拋硬幣得到的正反兩面頻率相近，盡管初中的概率問題大多是等可能事件，但在學習伊始就經歷這樣的數(shù)學活動，卻能很好地消解學生對隨機事件概率所持有的一種“特殊感”.

3.華東師大版更注重經歷各種活動

教材在展現(xiàn)人類文明精華的同時，也要考慮學生探究時的心理邏輯、歸納時的同化順應以及認知中的整合建構，“統(tǒng)計與概率”內容的獨特性在于學生是在數(shù)據(jù)活動中學習新知的，因此設計各種“統(tǒng)計與概率”活動就顯得尤為重要.三版教材在引入和呈現(xiàn)知識時都注重探究性和活動性.相比之下，華東師大版提供了各種填空和空白圖表讓學生補充、繪制，如“拋擲兩枚硬幣頻數(shù)、頻率統(tǒng)計表”“頻率隨拋擲次數(shù)變化趨勢圖”“平均投擲骰子幾次擲得1次6”和附錄中的“男/女同學身高、體重數(shù)據(jù)表”等，甚至在練習題中也設置了各種空圖表，意在讓學生經歷活動后統(tǒng)計填寫，這樣將活動過程顯化和量化，能在一定程度上促進師生對“統(tǒng)計與概率”活動的重視程度和實踐水平.另外，華東師大版對活動經歷的注重程度還體現(xiàn)在計算器和計算機的使用上.一方面，教材中使用計算器和計算機的頻率較高，如“用計算器求平均數(shù)”“用計算器求方差”“用計算器模擬試驗”“用計算機畫圖”“用計算機求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)”等;另一方面，教材對使用計算器和計算機的講解過程較為詳細，例如《用計算器求平均數(shù)》一小節(jié)是將前一節(jié)的例題作為數(shù)據(jù)對象，分步講解了數(shù)據(jù)的輸入和輸出過程，展示真實的操作流程圖，最后提出讓學生實際動手操作，求得計算結果.

值得一提的是，華東師大版多次呈現(xiàn)了“試錯”過程和“不完美”情境.如在《利用統(tǒng)計圖表傳遞信息》一節(jié)中有這樣一個問題：“與29屆北京奧運會相比，我國代表團在30屆獲得的獎牌總數(shù)有所下降，你怎么解釋這個結果呢？”此處提供的問題情境并不完全按照學生預期的走勢發(fā)展，需要結合實際背景剖析現(xiàn)象，理性分析，客觀地評價和認識數(shù)據(jù)，進而真正了解研究對象.又如在引出“方差”概念時，華東師大版先提供了一種學生容易想到的“用數(shù)據(jù)與平均數(shù)差值的累加來反映一組數(shù)據(jù)離散程度”的方案，方案被否決后，又讓學生自行設計表示離散程度的方法，從而探索“方差”所蘊含的本質思想，后續(xù)“思考”欄目中的問題“7次測試中小明因故缺席2次，怎樣比較誰的成績更穩(wěn)定”，也是引導學生去解決那些在生活中普遍存在的“不完美”“不理想”的現(xiàn)象，進而更好地理解和掌握“方差”.同樣，在說明簡單隨機抽樣的樣本量要足夠大時，華東師大版也以試錯的方式，分別用樣本數(shù)為5，10，40的直方圖分布情況和總體直方圖分布情況進行對比，帶領學生逐步感悟用樣本估計總體的本質和關鍵.

四、結語

隨著課改的有序推進，“一標多本”下各教材間同一性與多樣化并存的現(xiàn)實使得教材的設計理念、呈現(xiàn)意蘊有所不同，這就為教材的豐富與發(fā)展提供了空間，也為教材的使用者留下了廣闊的探索機會，教師需要更加精細化地挖掘教材間的異同，掌握編寫者編排的真實意圖，從而更好地運用教材服務教學.

參考文獻：

[1]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：95.

[2]楊慧娟，郭蓉蓉，孟夢，等.中韓小學數(shù)學教材中分數(shù)除法的比較研究[J].數(shù)學教育學報，2020（2）：64-69.

[3]孔凡哲，史寧中.現(xiàn)行教科書課程難度的靜態(tài)定量對比分析——以初中數(shù)學課程標準實驗教科書“不等式”、“四邊形”課程內容為例[J].教育科學，2006（3）：40-43.

[4]閆春更，周青，王婷婷.教科書難度評價的模型建立與方法改進[J].上海教育科研，2015（9）：42-45.

[5]王建波，曹一鳴.中美澳初中數(shù)學教材統(tǒng)計內容比較研究[J].數(shù)學教育學報，2016（3）：14-19.

[6]張奠宙.大千世界的隨機現(xiàn)象[M].南寧：廣西教育出版社，1999：2.