魏 建，孫祥娥

(長江大學(xué) 電子信息學(xué)院，湖北 荊州 434023)

旅行時(shí)方程在各向同性或橢圓各向異性介質(zhì)中可表示為一種炮點(diǎn)-接收點(diǎn)間距離平方的形式，在地震信號處理中起著重要作用，多用于速度分析、偏移成像、數(shù)據(jù)處理變換等關(guān)鍵處理步驟中[1]。

由于具有垂直對稱軸的橫向各向同性(transverse isotropy with vertical symmetry axis, VTI)介質(zhì)的復(fù)雜性，近似計(jì)算已經(jīng)成為估計(jì)旅行時(shí)的重要研究方向。估計(jì)各向異性介質(zhì)中旅行時(shí)的方法主要有移位雙曲線近似法[2]、忽略S波影響的偏移距4階近似計(jì)算方法[3]、基于泰勒級數(shù)展開的4階近似方法[4-6]。隨著研究的深入，更準(zhǔn)確的估計(jì)旅行時(shí)方法如基于移位雙曲線的隨機(jī)變換法[7]、廣義時(shí)差近似的旅行時(shí)計(jì)算方法[8-9]、基于擾動理論的計(jì)算方法[10-12]、基于高階泰勒級數(shù)系數(shù)使用Padé逼近法來近似長偏移時(shí)差的方法[13]、使用最大范數(shù)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并利用模擬退火算法求解的擴(kuò)展廣義時(shí)差近似計(jì)算方法中常系數(shù)的方法[14]以及基于三參數(shù)隨機(jī)變換方法的旅行時(shí)計(jì)算方法[15]等相繼被提出。

與近幾年提出的新方法相比，基于泰勒級數(shù)的旅行時(shí)計(jì)算方法在準(zhǔn)確性和應(yīng)用方面還存在差距，但在理論研究的推導(dǎo)與計(jì)算方面仍有一定優(yōu)勢。另外，基于泰勒級數(shù)的旅行時(shí)計(jì)算方法的研究與應(yīng)用更多集中在平方計(jì)算公式上，對于非平方形式的基于泰勒級數(shù)的計(jì)算方法的研究并不多。本研究以非平方形式的基于泰勒級數(shù)的計(jì)算公式為基礎(chǔ)提出一種新的旅行時(shí)計(jì)算方法，通過一種降價(jià)補(bǔ)償處理方式來保證基于泰勒級數(shù)的旅行時(shí)計(jì)算有效性，并通過分析和實(shí)驗(yàn)測試來證明所提出的方法可以提高旅行時(shí)的準(zhǔn)確性、縮短與正演旅行時(shí)的差距。

1 基于降階補(bǔ)償處理的旅行時(shí)計(jì)算方法

1.1 一般旅行時(shí)公式

在各向同性介質(zhì)或VTI等各向異性介質(zhì)中，利用各種方法在分析基于泰勒級數(shù)的旅行時(shí)方程時(shí)主要以P波模式為主，本研究在理論推導(dǎo)和模型實(shí)驗(yàn)中同樣只考慮P波。

通過文獻(xiàn)[5，16]提出的基于泰勒級數(shù)展開的推導(dǎo)方法，得到旅行時(shí)T(x)與偏移距x2之間的一般近似形式：

(1)

(2)

式中：T(0)為零偏移距旅行時(shí)，vNMO為正常時(shí)差速度，Sj(j=2,3,4)為異質(zhì)性參數(shù)。

S2=1+8η，

(3)

其中參數(shù)η由Alkhalifah等[3,18]定義為：

(4)

式中ε和δ均為Thomsen參數(shù)。

1.2 基于降階補(bǔ)償?shù)穆眯袝r(shí)計(jì)算公式

Ursin等[5]在式(1)的基礎(chǔ)上，為了解決旅行時(shí)計(jì)算公式中的4階泰勒級數(shù)隨著偏移距的增加計(jì)算精度迅速下降的問題，提出一種可以更好計(jì)算VTI介質(zhì)的遠(yuǎn)偏移距旅行時(shí)的偏移距4階計(jì)算公式[5]：

(5)

其中

(6)

為進(jìn)一步提高大偏移距情況下的走時(shí)計(jì)算精度，將式(5)擴(kuò)展為偏移距的6次高階計(jì)算公式：

(7)

(8)

Hubral等[16]指出，旅行時(shí)公式中高階項(xiàng)的形式是一種復(fù)雜的數(shù)學(xué)表示，在泰勒級數(shù)展開的基礎(chǔ)上，旅行時(shí)公式可以使用更多的高階項(xiàng)來提高近似精度，但旅行時(shí)公式會被這種增加高階項(xiàng)的形式所限制。另外，在使用實(shí)際地震數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)，在有高階項(xiàng)近似的情況下，處理結(jié)果會得到一些沒有實(shí)用價(jià)值的冗余信息。所以，通常不建議使用更高階項(xiàng)做進(jìn)一步近似處理?；谝陨戏治觯褂酶叩?次方項(xiàng)進(jìn)行近似處理是不合適的。故將式(7)中偏移距的6次方項(xiàng)降為偏移距的4次方項(xiàng)進(jìn)行處理，稱其為偏移距的降階近似，以此來表現(xiàn)高階項(xiàng)近似的另一種形式，有：

(9)

其次，從泰勒級數(shù)角度分析可知，偏移距階數(shù)的降低不僅改變了泰勒級數(shù)的高階近似原有性質(zhì)，還會對中、遠(yuǎn)偏移距旅行時(shí)計(jì)算產(chǎn)生影響。當(dāng)無法通過方程內(nèi)部的偏移距、時(shí)間和速度來降低這種變化帶來的影響時(shí)，需要從方程外部尋找解決方案，即使用補(bǔ)償方法進(jìn)行處理。需要明確的是，一方面，補(bǔ)償?shù)哪康牟皇亲屄眯袝r(shí)等于正演旅行時(shí)；另一方面，零偏移距雙程旅行時(shí)并不會因偏移距的改變而發(fā)生變化，所以補(bǔ)償方法不能對偏移距等于零時(shí)計(jì)算出的旅行時(shí)產(chǎn)生影響。因此，從以下兩點(diǎn)進(jìn)行考慮：從旅行時(shí)公式和正演旅行時(shí)的定義看，兩者都是一種記錄波經(jīng)地層反射的時(shí)間形式；從計(jì)算方法看，通過射線理論計(jì)算出的正演旅行時(shí)與旅行時(shí)公式計(jì)算中所需的速度、時(shí)間均與地層深度有關(guān)系，并且地層深度是由每層的厚度所組成?；谝陨蟽牲c(diǎn)，本研究提出一種基于4階旅行時(shí)公式與正演旅行時(shí)的近似補(bǔ)償方法來解決降階近似帶來的影響：

(10)

式中，fb為正演旅行時(shí)，n為模型層數(shù)。

將式(9)、式(10)進(jìn)行組合，并替換化簡系數(shù)d3、D1、D2后，形成在VTI介質(zhì)中應(yīng)用的基于降階補(bǔ)償(descending order componsation， DOC)的旅行時(shí)計(jì)算新方法：

(11)

其中:

(12)

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在文獻(xiàn)[5]給出的常用模型參數(shù)基礎(chǔ)上，將水平層狀VTI介質(zhì)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖畲笊疃?、最大偏移距分別設(shè)置為5 000和10 000 m，實(shí)驗(yàn)所需的正演旅行時(shí)由模型第一層的紅色三角形來記錄。具體參數(shù)如表1所示，實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D1所示。實(shí)驗(yàn)對比方法有：移位雙曲線法[2](記為SH)、廣義時(shí)差近似法[8](記為GMA)和微擾理論法[10-12](記為A-Shanks)。分析將從旅行時(shí)計(jì)算實(shí)驗(yàn)與時(shí)差實(shí)驗(yàn)進(jìn)行說明，測試深度分別為500、1 500、2 800和4 600 m。

圖1 層狀實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.1 Experimental of the layered model

表1 層狀模型參數(shù)Tab. 1 Parameters of the layered model

圖2為4種計(jì)算方法在4個(gè)不同深度得到的旅行時(shí)曲線圖。由圖2可看出，DOC計(jì)算方法同移位雙曲線法、廣義時(shí)差近似法和微擾理論法一樣可以有效計(jì)算旅行時(shí)。從每個(gè)深度近、中、遠(yuǎn)3個(gè)偏移距分析可知： 在近偏移距2 000 m附近，相比其他3種方法，DOC方法計(jì)算出的旅行時(shí)在淺層深度500 m時(shí)具有明顯優(yōu)勢，但在其他3個(gè)深度處的優(yōu)勢不明顯。在中偏移距4 000 m、遠(yuǎn)偏移距8 000 m附近，DOC方法計(jì)算的旅行時(shí)在4個(gè)深度對比中均明顯好于另外3種方法，其中淺層深度的優(yōu)勢最為顯著。

圖2 4種方法在4個(gè)不同深下的旅行時(shí)計(jì)算結(jié)果對比Fig. 2 Comparison of the results of the traveltime calculation by 4 methods at 4 different depths

另外，若計(jì)算出的旅行時(shí)能進(jìn)一步縮短與正演旅行時(shí)的差距，也可證明DOC計(jì)算方法的準(zhǔn)確性增加[19]。利用式

(13)

進(jìn)行時(shí)差實(shí)驗(yàn)，式中tc表示各方法計(jì)算出的旅行時(shí)。圖3是4種方法計(jì)算出的4個(gè)不同深度的時(shí)差曲線圖。當(dāng)深度為500 m時(shí)， DOC方法在近偏移距2 000 m、中偏移距4 000 m以及遠(yuǎn)偏移距8 000 m的時(shí)差值均更小，即與正演旅行時(shí)的差距更小。當(dāng)深度為1 500、2 800與4 600 m時(shí)，DOC旅行時(shí)計(jì)算方法在同樣偏移距處依然保持時(shí)差值更小的優(yōu)勢，但整體差異沒有淺層時(shí)明顯，也證明圖2中關(guān)于DOC方法在旅行時(shí)實(shí)驗(yàn)中的分析，說明DOC方法計(jì)算的旅行時(shí)更準(zhǔn)確，得到的旅行時(shí)縮短了與正演旅行時(shí)的差距。

圖3 4種方法在4個(gè)不同深度下的時(shí)差實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果Fig. 3 Comparison of the results of the moveout experiment by 4 methods at 4 different depths

3 結(jié)論

地震數(shù)據(jù)處理中VTI介質(zhì)旅行時(shí)的計(jì)算一直是研究的重點(diǎn)內(nèi)容，如何提高旅行時(shí)計(jì)算的準(zhǔn)確性、縮短與正演旅行時(shí)的差距十分重要。本研究提出一種應(yīng)用于VTI介質(zhì)中的基于降階補(bǔ)償?shù)穆眯袝r(shí)計(jì)算方法，即DOC旅行時(shí)計(jì)算方法。

在以VTI介質(zhì)模型為基礎(chǔ)的旅行時(shí)計(jì)算實(shí)驗(yàn)和時(shí)差實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，分別將DOC旅行時(shí)計(jì)算方法與移位雙曲線法、廣義時(shí)差近似法和微擾理論法進(jìn)行對比。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在不同深度的近偏移距2 000 m、中偏移距4 000 m、遠(yuǎn)偏移距8 000 m附近，DOC旅行時(shí)計(jì)算方法的精度較高，尤其在淺層深度500 m時(shí)具有明顯優(yōu)勢，說明DOC方法比其他3種計(jì)算方法在減小與正演旅行時(shí)的差距方面表現(xiàn)好，對解決旅行時(shí)計(jì)算中存在的問題起到了良好作用。