陳凱倫，梁向前

(山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590)

在設計匿名投票方案的過程中，如何保證投票人投票信息的匿名性是一個關鍵問題。一個安全的電子投票協(xié)議，不僅能夠抵御多種方式的攻擊，還應該保護投票人信息不被泄露。Chaum[1]在1981年首次利用經(jīng)典密碼體制，提出了保護投票人身份的匿名投票協(xié)議。隨后，諸多學者在投票協(xié)議的設計方面進行研究，提出了許多電子投票協(xié)議。隨著量子計算機的發(fā)展，Shor[2]在1999年提出了著名的Shor算法，在量子計算機幫助下，這一算法使得大整數(shù)分解問題變得不再困難，這表明基于計算復雜性的經(jīng)典密碼協(xié)議在量子時代易于被攻破。因此，設計能夠抵抗量子攻擊的安全投票協(xié)議具有重要意義。

一個安全的投票方案需要滿足以下安全要求[3]：

1) 隱私性。除投票人之外，其他人無法通過投票信息獲取投票人的身份信息。

2) 不可重用性。每一張選票只能由投票人使用一次。

3) 可驗證性。每一位投票人的選票是否被正確統(tǒng)計，可由投票人本人核實。

4) 合法性。只有合法的投票人才能投票。

5) 公平性。在投票過程結束之前，沒有人能夠預先獲取投票結果。

2002年，Christandl等[4]對隱藏發(fā)送人和接收人身份的問題進行研究，提出一種用于經(jīng)典比特匿名傳輸和接收的量子協(xié)議，開啟了在量子信道中傳遞秘密信息的研究。2007年，Vaccaro等[5]提出一個只有兩個選項的旅行投票協(xié)議，該協(xié)議將糾纏態(tài)的各個粒子分發(fā)到不同的站點并且利用任一站點的不可訪問性來保證投票的匿名性和隱私性。之后，Bonanome等[6]和Hillery等[7]對該協(xié)議進行改進，修補了可能存在的安全漏洞。2008年，Okamoto等[8]基于共軛編碼對量子態(tài)的使用方式做了改進，設計了更高效的協(xié)議。同年，Li和Zeng[9]提出了新的量子投票方案，實現(xiàn)在眾多候選人中投票。隨后，基于不同的量子態(tài)，眾多專家學者在這一領域做了大量的工作，并提出許多量子投票協(xié)議。Jiang和He等[10]利用基于連續(xù)變量的量子糾纏態(tài)的性質，提出一種安全的量子投票協(xié)議，該協(xié)議可以保護每個投票人的投票隱私。通過使用多維量子糾纏態(tài)、保密的選票和索引號，Wang等[11]提出一種量子匿名自統(tǒng)計投票協(xié)議來保護投票人的隱私。2017年，Zhang等[12]設計了一個基于量子代理盲簽名的投票協(xié)議，對于量子匿名安全投票協(xié)議的設計具有啟發(fā)意義，不少研究人員受到啟發(fā)，相繼提出一些新的、不同類型的量子投票協(xié)議[13-24]。

通過對以往方案的總結分析，受到Zhang等[25]提出的多方量子秘密共享協(xié)議的啟發(fā)，利用僅通過聯(lián)合測量才可以從d維糾纏態(tài)中提取相位信息的性質，本研究設計特殊的選票結構，提出一種基于d維糾纏態(tài)的安全量子投票協(xié)議，在投票過程中，投票人獲得選票中心分發(fā)的一張可分離的選票，可以在三個不同的地點投票，由計票人在公告欄上宣布投票結果。通過分析，方案滿足投票人對隱私保護的安全需求，滿足投票方案的安全要求。

1 預備知識

本研究需要應用以下基礎理論知識[2,5]：

d維糾纏態(tài)：

(1)

設x為整數(shù)，對應的相位旋轉局部算子Ux操作可表示為[28]：

(2)

對狀態(tài)為|φ0〉 的任何一個粒子執(zhí)行Ux操作后，狀態(tài)變?yōu)椋?/p>

(3)

(4)

2 量子安全匿名投票協(xié)議

2.1 協(xié)議中的符號表示

為了描述方便，本研究用MC表示投票管理中心(manage center)，用Bob1、Bob2和Bob3表示選票收集站，Charlie表示計票人，Alice表示投票人，QD代表糾纏態(tài)的第四粒子組成的序列，BN為糾纏態(tài)的前3個粒子序列組成的未進行投票的選票，B1N*、B2N*和B3N*分別代表拆分開之后進行投票后的選票，B1E、B2E和B3E分別為選票收集站Bob1、Bob2和Bob3進行加解密操作之后的選票。

2.2 投票過程

量子投票過程如圖1所示，具體分為4個階段。

圖1 量子投票過程圖Fig. 1 Diagram of the quantum voting process

2.2.1 初始階段

1) 投票管理中心(MC)驗證投票人Alice的身份并確認Alice的合法性。若Alice身份合法，MC為Alice隨機生成唯一的投票ID號，記為序列PMC∈{0,1}5m，這里m表示ID號的位數(shù)。否則，Alice被禁止投票。

2) Bob1、Bob2和Bob3分別與合法的投票人Alice通過QKD協(xié)議共享會話密鑰KB1A、KB2A和KB3A∈{0,1}N，這里N=n+m，n表示投票信息長度。

3) Bob1、Bob2和Bob3分別與Charlie共享會話密鑰KB1C、KB2C和KB3C∈{0,1}N。

2.2.2 選票分配階段

(5)

2) MC將前三個量子序列{QA,QB,QC}打包為一個序列BN={QA,QB,QC}發(fā)送給Alice，MC保留序列QD。這里要說明的是，發(fā)送的序列中需要插入誘餌粒子來確保傳輸?shù)陌踩裕唧w操作方法可參考文獻[14]。如果檢測雙方通過竊聽檢測，證明無竊聽行為發(fā)生，協(xié)議可以繼續(xù)，否則需要重新執(zhí)行協(xié)議。

2.2.3 投票階段

1) Charlie建立一個公告欄。

2) Alice通過計算收到的量子數(shù)來確認選票序列BN的完整性。Alice根據(jù)自己的投票內容生成二進制投票信息M={m1,m2,…,m5n}∈{0,1}5n，然后合并序列M和PMC，得到序列M*=M‖PMC={m1,m2,…,m5n,…,m5(n+m)}，之后Alice使用算子Ux將信息M*編碼到選票BN上。為了方便，下文中記n+m=N，其具體編碼規(guī)則如下：

Xi=24×m5i-4+23×m5i-3+22×m5i-2+21×m5i-1+20×m5i,i=1,2,…,N。

(6)

3) Alice將選票BN*分為三部分，每個部分可以分別表示如下：

(7)

5) Alice通過安全信道分別將B1N*、B2N*和B3N*發(fā)送給Bob1、Bob2和Bob3。

2.2.4 計票階段

B1E={EKB1C(B1N)},
B2E={EKB2C(B2N)},
B3E={EKB3C(B3N)}。

(8)

2) Bob1、Bob2和Bob3將量子序列B1E、B2E和B3E無錯誤的發(fā)送給Charlie。

3) Charlie接收到量子序列之后，由Bob1、Bob2和Bob3通知投票管理中心MC，Alice已經(jīng)完成投票，并且選票已經(jīng)發(fā)送給Charlie。MC將粒子序列QD和PMC通過量子安全信道發(fā)送給Charlie。

4) 在使用通信密鑰KB1C、KB2C和KB3C分別解密B1E、B2E和B3E之后，利用MC傳輸?shù)牡谒膫€量子序列QD，Charlie可以獲得完整的選票：

(8)

(9)

(10)

5) Charlie通過將Xk轉換為二進制數(shù)m5k-4、m5k-3、m5k-2、m5k-1、m5k來獲取信息M*′，即Charlie得到了M′和PMC′。如果PMC′=PMC，Charlie在公告板上公布相應的投票ID號PMC和投票信息M′；否則Charlie拒絕這次投票。

3 安全性分析

3.1 隱私性

在量子投票協(xié)議中，隱私性主要表現(xiàn)為：除了投票人自己，沒有人可以通過投票信息獲取投票人身份信息，也不能通過投票人身份信息獲取投票人的投票信息。只有確保選票的安全，才能確保投票人的隱私安全。本部分分析投票過程中的安全性和隱私性，具體討論在選票分配階段和投票階段泄露投票人信息的可能性。

作為一個外部竊聽者Eve，存在兩種攻擊方式。

一種是在選票分配階段，Eve偽裝成合法投票人竊取選票并發(fā)送給投票人?？紤]Eve截獲了序列BN中的任意粒子數(shù)x的情況。假設協(xié)議中使用的誘餌粒子的比例為ξ0。如果x

(11)

如果誘餌粒子的比例ξ0足夠大，則概率接近“0”。此時，Eve截獲選票中有用的粒子的概率幾乎為0。在竊聽檢查的安全保護下，這種攻擊是失敗的。

另一種方法是在投票階段截取選票，即Eve有可能截獲Alice發(fā)送的粒子。在這種情況下，約化密度矩陣與未執(zhí)行操作前相同：

(12)

可以知道，Eve不能從截獲的粒子上獲得任何有效信息。同樣的，考慮Eve截獲兩個或三個粒子的情況下，根據(jù)約化密度矩陣可以得知Eve依然不能獲得任何有效信息。根據(jù)量子Fourier變換的性質，Eve只有對糾纏態(tài)的所有粒子進行聯(lián)合測量才能獲得其相位信息，然而這是不可能實現(xiàn)的，因此Eve無法獲得Alice的投票信息。

另外，考慮投票過程中其他參與者試圖獲得整個投票信息的情況。由于參與者可以獲得部分投票信息，因此在獲取全部投票信息方面具有一定的優(yōu)勢。但是通過對協(xié)議中參與者攻擊的安全性分析，只有MC或Charlie可以同時訪問所有的粒子。但對于MC來說，他無權參與投票階段。同樣，對Charlie來說，Alice的真實身份是絕對保密的，因為他只被允許在計票階段得知Alice的秘密投票ID號序列PMC。在此基礎上，由于多個投票站的存在，Charlie無法直接聯(lián)系投票人，這不僅保證了投票人的合法性，也保護了投票人的身份信息不被泄露。因此，多個投票站可以有效防止合謀攻擊。

分析結果表明，攻擊者獲取的信息不會威脅到投票人的隱私性。

3.2 不可重用性

在該協(xié)議中，MC是高度可信的。在投票階段，當MC接收到投票者的身份信息后，MC負責驗證投票者身份的合法性，并檢查是否是第一次投票。如果是第一次投票，量子序列(量子選票)以及ID號被發(fā)送給投票人，否則投票人沒有權利進行投票。通過這種方式，可以保證投票人沒有重復投票。

3.3 可驗證性

每個投票人都有專屬的唯一的投票序列號PMC，由MC分配，投票人身份信息和投票序列號PMC是一對一的對應關系。投票人完成投票后，計票員Charlie將在公告欄上公布唯一的PMC及其相應的投票結果M′。每個投票人都可以查看公告板，以確定投票信息是否正確地被統(tǒng)計。由于每個合法投票者都有一個唯一的PMC，并且選票信息中包含唯一的PMC，計票人Charlie可以在投票和計票階段通過比較PMC來驗證每個投票者身份的有效性。

3.4 合法性

參與投票的投票人需要在初始階段將身份信息發(fā)送給MC進行認證。認證合法后，MC再給每個合法投票人生成唯一的ID號并向其發(fā)送可用于投票的粒子序列。若投票人不滿足投票條件，那么將無法執(zhí)行此投票協(xié)議。另外，投票人只有一次投票機會并且要對自己的選票負責。

3.5 公平性

每個投票人都有平等的投票機會，每一張選票都獨立。在投票階段，每個投票人可以根據(jù)自己的意愿進行投票，不能從其他投票人那里獲得投票信息。在計票階段，每一位投票人的投票信息都會得到正確的統(tǒng)計。根據(jù)d維糾纏態(tài)的性質，計票人Charlie只有在獲得完整的量子序列時才能計算投票結果。因此，在投票過程結束之前，任何人不能獲得投票結果，從而保證了投票的公平性。

4 結論

本研究提出一個量子安全投票協(xié)議，協(xié)議執(zhí)行過程中，d維糾纏態(tài)的特性可以有效保護投票人隱私信息。每個合法投票人只有一張選票，以保證投票的公平性和不可重用性。在投票階段，投票人把選票分成三部分，拆分他們的隱私信息，使得任何單獨獲得部分選票的投票站都無法獲得投票人的有效信息。該協(xié)議容易推廣到使用多個選票收集站的場景上，可確保選票在傳輸過程中的安全性。經(jīng)過分析，方案保證了投票人的隱私信息在投票過程中不被竊取。此外，本研究提出的保護隱私思想對量子秘密共享等領域的研究也具有一定參考價值。