蔣睿嵩，徐萌波，張 帆，胡偉鵬，鄧子辰

（1.四川大學(xué) 空天科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065；2.西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，西安 710048；3.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710129）

（我刊編委鄧子辰來稿）

引 言

航天器在穿過（飛離和再入）大氣層、受到空間碎片撞擊[1]等過程中，航天器結(jié)構(gòu)將呈現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，嚴(yán)重影響搭載在航天器上的精密器件的穩(wěn)定性和工作精度，甚至?xí)?dǎo)致精密儀器失效，以致航天任務(wù)失敗.因此，如何確保航天器上搭載的精密儀器在極端環(huán)境（包括沖擊載荷等）中的工作性能是航天器設(shè)計(jì)中的重要內(nèi)容之一.

當(dāng)前的航天器中搭載的精密器件常被集中封裝（如圖1所示）.集中封裝后，在航天器中選擇適當(dāng)?shù)奈恢茫ㄐ枰紤]溫度環(huán)境、濕度環(huán)境、動(dòng)力學(xué)環(huán)境、人機(jī)環(huán)境等因素）進(jìn)行安裝固定[2-3].在封裝后的安裝位置選擇過程中，無法再對(duì)精密器件的布局進(jìn)行優(yōu)化，這一局限性導(dǎo)致封裝后的精密儀器安裝在航天器某一動(dòng)力學(xué)環(huán)境相對(duì)安全的位置后，封裝薄板（upper/lower bearing plate）上仍然會(huì)存在局部共振區(qū)，局部共振區(qū)的存在對(duì)布置在共振區(qū)內(nèi)的精密器件穩(wěn)定性和精度影響顯著.因此，合理的設(shè)計(jì)過程應(yīng)當(dāng)是：首先，選擇封裝后的精密器件安裝位置；然后，以選擇的安裝位置的最不利載荷組合作為設(shè)計(jì)載荷依據(jù)，分析粘接有精密器件的封裝薄板的動(dòng)力學(xué)特性，對(duì)精密器件在封裝空間中的布局進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

圖1 航天器中電子元器件封裝示意圖[2]：(a) 三維模型；(b) 剖面圖Fig.1 The layout sketch of capsuled electron components in a spacecraft[2]:(a) the 3D model;(b) the profile

上述布局優(yōu)化設(shè)計(jì)工作最核心的難點(diǎn)是粘接有精密器件的封裝薄板的動(dòng)力學(xué)特性分析.與傳統(tǒng)的柔性薄板振動(dòng)分析不同的是，粘接有精密器件的柔性薄板厚度是非均勻的（薄板厚度可以描述成平面位置的非光滑函數(shù)），這為動(dòng)力學(xué)模型的求解帶來了巨大困難.

厚度非均勻薄板動(dòng)力學(xué)分析也一直是動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題.其中具有代表性的工作包括：Rumerman[4]給出了帶肋薄板強(qiáng)迫振動(dòng)問題的一個(gè)通解；Orrenius 和Finnveden[5]發(fā)展了有限元方法分析帶肋加勁板中的波傳播問題；Ichchou 等[6-7]較為系統(tǒng)地分析了帶肋板中波傳播規(guī)律，得到了一系列有意義的結(jié)果.作為影響精密器件穩(wěn)定性和精度的重要因素，封裝薄板局部共振問題屬于該系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)性質(zhì).近年來基于辛幾何理論[8-10]發(fā)展起來的保結(jié)構(gòu)方法[11-12]已被證實(shí)是精確捕捉動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)局部性質(zhì)的有效手段[13-15]，這些成果為解決封裝薄板局部共振問題提供了重要參考.因此，本文將首先發(fā)展保結(jié)構(gòu)方法分析粘接精密器件的封裝薄板局部共振問題；隨后，基于共振特性分析結(jié)果，考慮精密器件幾何尺寸、散熱要求等約束條件，對(duì)精密器件在封裝薄板上的布局進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，為航天器中精密器件布局設(shè)計(jì)提供參考.

1 粘接精密器件柔性封裝薄板的簡化動(dòng)力學(xué)模型

為方便后續(xù)動(dòng)力學(xué)建模及優(yōu)化設(shè)計(jì)，引入如下假設(shè)：① 忽略封裝薄板的阻尼耗散效應(yīng)；② 假定精密器件材料參數(shù)與封裝薄板相同；③ 假定封裝薄板上粘接布置有n個(gè)精密器件，第i個(gè)器件布置位置用該器件與封裝薄板接觸面 Ωi描述，如圖2所示.

圖2 精密器件與柔性封裝薄板簡化耦合模型Fig.2 The simplified dynamic model of the flexible panel assembled with precision devices

在上述假設(shè)前提下，考慮薄板振動(dòng)變形能和振動(dòng)動(dòng)能，Lagrange 函數(shù)可表述為

其中,Γ={(x,y)|x2+y2≤R2}為封裝薄板平面區(qū)域，ρ(x,y)=ρ0h(x,y)為粘接有精密器件柔性薄板的面密度，u=u(t,x,y)為封裝薄板面外振動(dòng)位移，D(x,y)=Eh3(x,y)/(12(1?ν2P))為粘接有精密器件柔性薄板的面外抗彎剛度，ρ0,E和 νP分別為薄板（精密器件）材料的密度、彈性模量和Poisson 比，h(x,y)為粘接有精密器件柔性薄板(x,y)處的薄板厚度，即

式中，hi為第i個(gè)精密器件厚度（高度），hp為薄板厚度.

由Hamilton 變分原理，得到粘接精密器件柔性封裝薄板振動(dòng)控制方程為

其中，R為封裝薄板半徑，ε為螺栓至封裝薄板邊界的最小距離.

初始條件和邊界條件分別為

2 簡化模型的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱破缺與保結(jié)構(gòu)分析

引入如下正則動(dòng)量：?tu=φ,?xu=w,?xw=ψ,?x(ψ+κ)=q,?yu=v,?yv=κ,?y(ψ+κ)=p，并定義狀態(tài)向量z=(u,φ,w,ψ,q,v,κ,p)T，式(3)即可轉(zhuǎn)化為以下一階矩陣形式：

其中，S(z)=?ρ(x,y)φ2/2?D(x,y)(wq?ψκ+pv)+D(x,y)(ψ2+κ2)/2+為廣義Hamilton 函數(shù)，系數(shù)矩陣為

值得注意的是，一階矩陣形式(7)中，廣義Hamilton 函數(shù)和系數(shù)矩陣均顯含位置坐標(biāo)，同時(shí)，廣義Hamilton 函數(shù)含有非光滑的沖激函數(shù).以上兩個(gè)特點(diǎn)即是系統(tǒng)(7)的對(duì)稱破缺因素.也正是因?yàn)樯鲜鰧?duì)稱破缺因素的存在，系統(tǒng)(7)只能稱之為廣義多辛形式而不能稱之為嚴(yán)格的多辛形式[11-12].

由上述對(duì)稱破缺因素決定的系統(tǒng)局部能量耗散可以表述為[11-12]

系統(tǒng)的局部能量耗散決定著系統(tǒng)局部動(dòng)力學(xué)行為，因此，在后續(xù)數(shù)值算法構(gòu)造及實(shí)現(xiàn)過程中，需要關(guān)注系統(tǒng)能量在非光滑邊界處（沖激函數(shù)涉及的切換時(shí)間和邊界位置）的能量耗散.

在薄板圓域內(nèi)對(duì)求解區(qū)域 Γ={(x,y)|x2+y2≤R2}進(jìn)行均勻剖分，剖分時(shí)設(shè)定空間步長分別為Δx和 Δy，并設(shè)定時(shí)間步長為Δt，采用隱式有限差分法對(duì)一階矩陣形式(7)進(jìn)行離散，得到一階矩陣形式(7)的Preissmann 差分格式[16-17].消去其中的中間變量，得到與Preissmann 差分格式等價(jià)的離散格式：

離散格式(9)中，

其中 Ξ={(j,i,k)|jΔt≤t?≤(j+1)Δt,iΔx≤x?≤(i+1)Δx,kΔy≤y?≤(k+1)Δy}.

相應(yīng)的離散形式的局部能量耗散表述為

其中

正是由于動(dòng)力學(xué)分析算法(9)在每一步迭代過程中能夠較為精確地保持系統(tǒng)的局部幾何性質(zhì)(局部能量耗散(11))，能夠精確捕捉薄板上的局部共振區(qū)，才使得后續(xù)布局優(yōu)化算法的優(yōu)化效率得到大幅提高，這是本文布局優(yōu)化設(shè)計(jì)相對(duì)于已有成果的最大特色和優(yōu)勢(shì).

3 布局優(yōu)化算法設(shè)計(jì)及優(yōu)化算例

本節(jié)中，考慮了n個(gè)精密器件布置在半徑為R的圓形柔性薄板上的情形.第i(i=1,2,···,n)個(gè)精密器件的特征尺寸以向量ai表示（本文僅考慮圓柱形狀和直六面體形狀的器件，圓柱形器件的特征尺寸向量包含底面半徑和器件高度兩個(gè)分量；直六面體器件的特征尺寸向量包含底面長度、底面寬度和器件高度三個(gè)分量）.在8 個(gè)連接螺栓處同時(shí)受到等大的沖擊載荷作用下，以n個(gè)精密器件與封裝薄板接觸區(qū)域最大振動(dòng)加速度的加權(quán)值作為優(yōu)化目標(biāo)，建立如下布局優(yōu)化問題：

其中,wi為第i(i=1,2,···,n)個(gè)精密器件的權(quán)重（描述該電子器件對(duì)精度和穩(wěn)定性的要求），(xi,yi)為第i(i=1,2,···,n)個(gè)精密器件底面與封裝薄板接觸面內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)，dij為第i個(gè)精密器件邊界與第j個(gè)精密器件邊界間的最小距離，di為第i個(gè)精密器件邊界與薄板邊界之間的最小距離，δ1為滿足散熱要求和安裝要求的最小器件間距，δ2為滿足散熱要求和安裝要求的器件與封裝薄板邊界的最小間距.第i(i=1,2,···,n)個(gè)精密器件底面與封裝薄板接觸面內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)處的面外加速度值 ?ttu(jΔt,xi,yi)由第2 節(jié)構(gòu)造的保結(jié)構(gòu)差分格式模擬得到.

上述布局優(yōu)化問題的主要求解步驟如下：

1) 精密器件初始位置確定.采用保結(jié)構(gòu)分析方法模擬未布置微電子器件柔性薄板面外振動(dòng)，找到振動(dòng)加速度較小的n個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)作為n個(gè)微電子器件布置的初始中心位置共n!種情況，其中si為特征尺寸向量ai的維數(shù)，對(duì)于圓柱形器件，si=2；對(duì)于直六面體器件，si=3，取其中滿足約束條件且wimax{?ttu(jΔt,xi,yi)}最小的情況確定為微電子器件布置的初始中心位置組合.

2) 精密器件布局位置局部優(yōu)化.以各精密器件底面幾何中心坐標(biāo)(xi0,yi0)為優(yōu)化變量，為減小優(yōu)化計(jì)算量，將各精密器件底面幾何中心坐標(biāo)(xi0,yi0)在 滿足(約束條件的情況下，在δ3i（δ3i為第i個(gè)精密器件特征尺寸向量ai中除了器件高度外的較小的分量值）范圍內(nèi)攝動(dòng) 這種優(yōu)化方法雖然無法得到全局最優(yōu)解，但是從后續(xù)優(yōu)化過程中我們發(fā)現(xiàn)，這一過程能夠有效降低wimax{?ttu(jΔt,xi,yi)}的值，計(jì)算各種情形下wimax{?ttu(jΔt,xi,yi)}的值，選取其中wimax{?ttu(jΔt,xi,yi)}達(dá)到最小時(shí)的值，及對(duì)應(yīng)的各精密器件底面幾何中心坐標(biāo)作為精密器件布局位置局部優(yōu)化結(jié)果.

3) 精密器件布置方位優(yōu)化.在確定了各精密器件底面幾何中心坐標(biāo)后，針對(duì)非中心對(duì)稱底面的精密器件，以其精密器件底面幾何中心坐標(biāo)為局部坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立局部坐標(biāo)系，以底面長邊方位角 αi（以圖2中x軸正向?yàn)槠鹗挤轿唬閮?yōu)化變量，在滿足約束條件的前提下，采用前述構(gòu)造的保結(jié)構(gòu)分析方法優(yōu)化精密器件的布置方位，使得的值達(dá)到最小.

在數(shù)值算例中，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)假定為：hp=0.002 m,R=0.5 m,E=2.914×109Pa,νP=0.37，ρ0=1 kg·m?2,Fˉ?=100 N.網(wǎng)格剖分步長及時(shí)間步長分別取為：Δx=Δy=0.002 m,Δt=0.001 s.

作為驗(yàn)證性算例，假定需要布局的精密器件有3 個(gè)，其基本參數(shù)如下：① 第一個(gè)器件為圓柱形器件，a1=[r,h1]T，其中r=h1=0.004 m；② 第二個(gè)器件為正四棱柱形器件，a2=[a2,h2]T，其中a2=h2=0.004 m；③ 第三個(gè)器件為直平行六面體器件，a3=[a3,b3,h3]T，其中a3=2b3=h3=0.004 m.

圖3給出了精密器件布局優(yōu)化過程中，精密器件加速度最大值的加權(quán)平均值a?=隨著迭代次數(shù)N的演化過程（在優(yōu)化程序中，設(shè)定當(dāng)a?的迭代相對(duì)誤差小于1 ×10?6時(shí)，優(yōu)化迭代終止）.

圖3 精密器件加速度最大值加權(quán)平均值演化過程Fig.3 Evolution of the weighted average of the maximum accelerated speed of the precision device

從優(yōu)化過程可以看出，精密器件布局位置局部優(yōu)化過程的迭代步數(shù)為N=187，在這個(gè)過程中，精密器件加速度最大值的加權(quán)平均值從 0.002 78 m·s?2降低至 4.549 41×10?4m·s?2，降低約100%≈83.64%；精密器件布置方位優(yōu)化過程的迭代步數(shù)為N=436?187=249，精密器件加速度最大值的加權(quán)平均值從4.549 41×10?4m·s?2降低至 3.322 92×10?4m·s?2，降低約×100%≈26.96%；整個(gè)優(yōu)化過程中，精密器件加速度最大值的加權(quán)平均值降低約88.05%，優(yōu)化效果較好.

4 結(jié) 論

確保航天器中精密電子元器件的工作穩(wěn)定性是保障航天任務(wù)實(shí)施的重要內(nèi)容.傳統(tǒng)航天器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中，先將精密電子元器件集中封裝在若干塊封裝薄板上，然后將布置好電子元器件的封裝薄板安裝在航天器適當(dāng)?shù)奈恢?在這一過程中，航天器結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)精密電子元器件的影響有所考慮，但是，精密器件的布局對(duì)航天器局部振動(dòng)特性的影響卻被忽略了.實(shí)際上，精密器件的布局將改變航天器局部振動(dòng)特性，甚至有可能在精密器件布置位置出現(xiàn)局部共振現(xiàn)象，因此，航天器設(shè)計(jì)過程中需要系統(tǒng)考慮精密器件布局優(yōu)化問題.

本文考慮粘接有若干不同形狀和尺寸大小的精密器件的柔性空間薄板振動(dòng)問題，采用Hamilton 原理建立系統(tǒng)的振動(dòng)方程；關(guān)注薄板振動(dòng)的局部集合特性，基于廣義多辛分析方法發(fā)展保結(jié)構(gòu)算法模擬厚度非均勻薄板的振動(dòng)特性；在采用保結(jié)構(gòu)算法精確捕捉薄板局部共振區(qū)的基礎(chǔ)上，以各精密器件布置位置薄板面外振動(dòng)加速最大值的加權(quán)平均值作為優(yōu)化目標(biāo)，考慮各器件的形狀和尺寸以及布置間隙要求等約束條件，對(duì)精密器件的布局進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).優(yōu)化結(jié)果顯示：基于保結(jié)構(gòu)算法提出的精密器件布局優(yōu)化設(shè)計(jì)方法能夠有效降低航天器局部振動(dòng)加速度，對(duì)航天器局部結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程有一定的指導(dǎo)意義.