王沐晨，李立州，張 珺，黃鈺棋，張 林，石 玥

（1.中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,太原 030051；2.太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系,太原 030001）

引 言

近年來(lái)，計(jì)算流體力學(xué)（computational fluid dynamics，CFD）成為發(fā)動(dòng)機(jī)和飛行器翼型氣動(dòng)設(shè)計(jì)和優(yōu)化的重要手段.但是，氣動(dòng)優(yōu)化[1]需要大量反復(fù)的CFD 分析，消耗的計(jì)算資源過(guò)大.因此，如何快速準(zhǔn)確地獲得不同形狀參數(shù)下翼型的氣動(dòng)力成為這類優(yōu)化的難點(diǎn).

為解決這一問(wèn)題，20世紀(jì)90年代Dowell[2]和Silva[3]提出了氣動(dòng)力降階模型方法（reduced order model，ROM），強(qiáng)調(diào)在計(jì)算精度不低于CFD的同時(shí)，大幅提高氣動(dòng)分析的效率[4-7].李立州等[8]用Volterra 級(jí)數(shù)降階模型建立了尾流激勵(lì)的發(fā)動(dòng)機(jī)葉片氣動(dòng)力預(yù)測(cè)方法，可以快速預(yù)測(cè)上游時(shí)變尾流激勵(lì)下葉片氣動(dòng)力振蕩.He[9]總結(jié)了用于葉輪機(jī)械流體分析的Fourier 方法.王梓伊等[10]和Zhang 等[11]以徑向基函數(shù)振型和PCA 振型為基模態(tài)，提出了可變結(jié)構(gòu)的非定常氣動(dòng)力降階模型方法.Yao 等[12]采用諧波平衡法(harmonic balance，HB)法，研究了自由流中固定圓柱體渦激振動(dòng)的鎖頻現(xiàn)象.Zhang 等[13]采用流固耦合氣動(dòng)彈性方法和系統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)建立了降階模型，通過(guò)ROM 提供的特征分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和振動(dòng)模態(tài).羅驍?shù)萚14]基于諧波平衡法建立了尾流激勵(lì)葉片振動(dòng)降階模型，可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)尾流激勵(lì)下的葉片振動(dòng).張鴻志等[15]通過(guò)本征正交分解法(proper orthogonal decomposition，POD)建立了氣動(dòng)彈性降階模型.Li 等[16]提出了一種基于弱非線性氣動(dòng)力降階模型的多步優(yōu)化方法，可以預(yù)測(cè)和優(yōu)化跨音速翼型氣動(dòng)力.張珺等[17]提出了一種基于弱非線性氣動(dòng)力降階模型的翼型優(yōu)化方法.

現(xiàn)有氣動(dòng)力降階模型大多適用于小擾動(dòng)問(wèn)題，在擾動(dòng)較大時(shí)精度下降很快.為解決這一問(wèn)題，越來(lái)越多的研究者討論用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立非線性氣動(dòng)力降階模型[18-19].尹明朗等[20]提出了一種基于CFD 帶驗(yàn)證信號(hào)的氣動(dòng)力降階模型，用于跨聲速氣動(dòng)力預(yù)測(cè)，加強(qiáng)了模型在不同頻率和振幅下的泛化能力.Kou 等[21]提出了一種多核神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)降階模型，并將其應(yīng)用于非線性非定常氣動(dòng)力問(wèn)題.本文基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（convolutional neural networks，CNN）模型，建立了形狀大擾動(dòng)情況下的翼型非線性氣動(dòng)力降階模型，采用該降階模型對(duì)翼型進(jìn)行優(yōu)化，討論了訓(xùn)練信號(hào)數(shù)據(jù)降維對(duì)該降階模型精度的影響.

1 基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型的翼型優(yōu)化方法

1.1 翼型徑向基函數(shù)參數(shù)化方法

采用徑向基函數(shù)（radial basis function,RBF）對(duì)翼型進(jìn)行參數(shù)化，具體方法是將原翼型與參數(shù)化的擾動(dòng)疊加，形成新的翼型：式中，yu0(x)和yu(x)為原上翼面形狀與擾動(dòng)后上翼面形狀，x為翼型上表面的橫坐標(biāo)，yd0(x)和yd(x)為原下翼面形狀和擾動(dòng)后下翼面形狀，fk(x)為徑向基函數(shù)，ai為上翼面形狀控制參數(shù)，bi為下翼面形狀控制參數(shù)，xk為徑向基函數(shù)節(jié)點(diǎn)位置，取x1=0.15，x2=0.25，x3=0.35，x4=0.45，x5=0.55，x6=0.65，x7=0.75.

1.2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[22]作為一種深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，在非線性大擾動(dòng)問(wèn)題的預(yù)測(cè)上具有優(yōu)勢(shì).針對(duì)問(wèn)題的非線性程度的不同，可以對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型深度、激活函數(shù)等進(jìn)行設(shè)計(jì)，得到適當(dāng)?shù)木矸e神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.通過(guò)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值與真值的誤差的反向傳播，可以對(duì)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練[23].

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常由輸入層、池化層、卷積層、全連接層和輸出層組成（圖1）.第l層卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算公式如下：

圖1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The convolutional neural networks’ structure diagram

式中，Xnl表示第l層輸出值的第n個(gè)特征，Wnl表示第l層第n個(gè)卷積核的權(quán)重矩陣，表示第l?1層的輸出，eln表示偏置項(xiàng)，g(·)表示激活函數(shù).

通常選擇ReLU 函數(shù)作為激活函數(shù)[24]，其公式如下：

本文用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，建立形狀參數(shù)非線性大擾動(dòng)下翼型的氣動(dòng)力降階模型.

翼型參數(shù)變化對(duì)氣動(dòng)力影響可以表示為

其中，p(x)為壓力系數(shù)，τ(x)為摩擦因數(shù)，ψ為氣動(dòng)力系統(tǒng)模型.

將式(1)代入式(5)可得翼型參數(shù)對(duì)氣動(dòng)力影響的模型：

由于yu0,yd0和fk均已知，故翼型參數(shù)對(duì)氣動(dòng)力影響的模型可以簡(jiǎn)化為

用式(3)和(4)表示式(7)，可得翼型壓力系數(shù)p′n(x)和 摩擦因數(shù)τ′n(x)的第一層卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

式中，A1n(x)和B1n(x)為p1n(x)對(duì) 應(yīng)的第一層第n個(gè)卷積核的權(quán)重，C1n(x)和D1n(x)為τ1n(x)對(duì)應(yīng)的第一層第n個(gè)卷積核的權(quán)值，E1n(x)和F1n(x)為第一層p1n(x)，τ1n(x)的偏置項(xiàng).

由式(1)可知，中間層的卷積模型可以表示為

式中，pln(x),τln(x) 表示第l層卷積層的輸出結(jié)果，表示第l?1層的輸出結(jié)果，Rln，Qln分別表示壓力系數(shù)pln(x) 、摩擦因數(shù)τln(x)對(duì) 應(yīng)的第n個(gè)權(quán)值，eln，dnl分別表示壓力系數(shù)pln(x) 、摩擦因數(shù)τln(x)對(duì)應(yīng)的偏置項(xiàng).

最后一層卷積層與輸出層采用linear 函數(shù)結(jié)合，構(gòu)建卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全連接層進(jìn)行激活輸出，其函數(shù)表示為

式中，pmn(x)，τmn(x)表示最后一層卷積層的輸出結(jié)果，Gn，Hn分別表示壓力系數(shù)pn(x)、摩擦因數(shù) τn(x)對(duì)應(yīng)的第n個(gè)權(quán)值，Ln，Kn分別表示壓力系數(shù)pn(x)、摩擦因數(shù)τn(x)對(duì)應(yīng)的偏置項(xiàng).

2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型方法的算例

2.1 算例說(shuō)明

以NACA0012 翼型為初始翼型，驗(yàn)證基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的氣動(dòng)力降階模型方法.采用CFD 模擬得到不同參數(shù)翼型的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，模擬采用Spalart-Allmaras 湍流模型，理想氣體，攻角為0?，溫度為300 K.因?yàn)镹ACA0012為對(duì)稱翼型，上、下翼面參數(shù)對(duì)氣動(dòng)力的影響也是對(duì)稱的，故本文只給出了上翼面參數(shù)調(diào)整后的氣動(dòng)力數(shù)據(jù).這些翼型（圖2）和氣動(dòng)力數(shù)據(jù)（圖3）被用于訓(xùn)練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型.

圖2 不同參數(shù)的翼型Fig.2 Airfoils with different parameters

圖3 不同參數(shù)翼型的氣動(dòng)力：(a) 壓力系數(shù)p；(b) 摩擦因數(shù)τFig.3 Aerodynamics of the airfoils with different parameters:(a) pressure coefficient p;(b) skin friction coefficient τ

2.2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型的訓(xùn)練

將翼型的形狀參數(shù)作為輸入，翼型的氣動(dòng)力作為輸出，訓(xùn)練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型.訓(xùn)練好的降階模型可以用來(lái)預(yù)測(cè)不同形狀翼型的氣動(dòng)力.為了降低卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型的階數(shù)和參數(shù)個(gè)數(shù)，采取參數(shù)池化(parameterized pooling,PP)法[25]和RBF 擬合法對(duì)氣動(dòng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，然后再進(jìn)行卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型的訓(xùn)練.為方便比較，本文也給出了氣動(dòng)力不降維的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)降階模型.也就是說(shuō)，本文總計(jì)給出了3 種卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型.

采用這3 種卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型和CFD 模型，計(jì)算了一種新形狀參數(shù)下翼型(圖4)的氣動(dòng)力.圖4中新翼型的參數(shù)擾動(dòng)量為形狀控制點(diǎn)翼型厚度的25%.圖5中CFD為仿真結(jié)果，AOD為氣動(dòng)力數(shù)據(jù)未降維的結(jié)果，PP為氣動(dòng)力數(shù)據(jù)池化降維的結(jié)果，RBF為氣動(dòng)力數(shù)據(jù)徑向基擬合降維的結(jié)果.從圖5的結(jié)果看出，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型有著很高的精度，氣動(dòng)力數(shù)據(jù)RBF 擬合降維的降階模型更為精確.根據(jù)分析可知：氣動(dòng)力數(shù)據(jù)降維會(huì)使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中待定參數(shù)的個(gè)數(shù)減少，在氣動(dòng)力數(shù)據(jù)相同的情況下數(shù)據(jù)降維的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)降階模型的參數(shù)更少，收斂更好，預(yù)測(cè)精度相應(yīng)地會(huì)更高.從圖4和圖5可以看出翼型變化比較大，但氣動(dòng)力預(yù)測(cè)的精度依然較高，由此可知卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型可以預(yù)測(cè)較大擾動(dòng)下的翼型氣動(dòng)力.

圖4 大擾動(dòng)的翼型Fig.4 Airfoils of large disturbance

圖5 翼型氣動(dòng)力：(a) 壓力系數(shù)p；(b) 表面摩擦因數(shù)τFig.5 Airfoil aerodynamics:(a) pressure coefficient p;(b) skin friction coefficient τ

2.3 基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型的翼型優(yōu)化

基于精度最高的RBF 氣動(dòng)力數(shù)據(jù)降維的降階模型，采用遺傳算法，以翼型形狀參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，以增加最大升阻比為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行優(yōu)化.為防止優(yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)翼型畸形的情況，將各翼型參數(shù)的最大擾動(dòng)量設(shè)置為形狀控制點(diǎn)翼型厚度的25%.翼型各參數(shù)的上、下限和優(yōu)化結(jié)果如表1所示.

表1 翼型優(yōu)化結(jié)果Table 1 Airfoil optimization results

采用精度最高的RBF 氣動(dòng)力數(shù)據(jù)降維的降階模型優(yōu)化翼型，結(jié)果如圖6所示.圖7給出了優(yōu)化得到翼型的壓力系數(shù)和摩擦因數(shù).為了檢驗(yàn)降階模型的優(yōu)化結(jié)果，用CFD 計(jì)算該翼型的壓力系數(shù)和摩擦因數(shù).從結(jié)果來(lái)看：采用RBF 氣動(dòng)力數(shù)據(jù)降維的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)與CFD的結(jié)果一致.

圖6 翼型優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Airfoil optimization results

圖7 氣動(dòng)力降階模型的優(yōu)化結(jié)果：(a)壓力系數(shù)p；(b)摩擦因數(shù)τFig.7 Aerodynamic ROM optimization results：(a)pressure coefficientp；(b)skin friction coefficient τ

3 總 結(jié)

本文研究了基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型的翼型氣動(dòng)力優(yōu)化方法，其主要思想是用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立參數(shù)對(duì)翼型氣動(dòng)力影響的降階模型，用該氣動(dòng)力降階模型預(yù)測(cè)形狀參數(shù)大擾動(dòng)下翼型的氣動(dòng)力，并用該降階模型優(yōu)化翼型的氣動(dòng)力.算例的結(jié)果表明：在形狀參數(shù)大擾動(dòng)的情況下，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型可以較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)翼型氣動(dòng)力；采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型優(yōu)化翼型的方法是可行的.本文討論了氣動(dòng)力訓(xùn)練數(shù)據(jù)的池化降維法和RBF 擬合降維法對(duì)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)力降階模型精度的影響，結(jié)果表明：氣動(dòng)力訓(xùn)練數(shù)據(jù)降維會(huì)使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中待定參數(shù)的個(gè)數(shù)減少，在訓(xùn)練數(shù)據(jù)相同的情況下數(shù)據(jù)降維的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)降階模型的收斂會(huì)更好，預(yù)測(cè)精度會(huì)更高.