多站無(wú)源時(shí)差定位可觀測(cè)性分析

王 銳

（91439 部隊(duì)，遼寧 大連 116041）

在無(wú)源定位跟蹤系統(tǒng)中，可觀測(cè)性分析已經(jīng)成為一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容，是實(shí)現(xiàn)無(wú)源定位跟蹤的前提，只有當(dāng)目標(biāo)狀態(tài)完全可觀測(cè)時(shí)，定位跟蹤問(wèn)題才有唯一可靠的解[1-2]。分析不同定位體制下的目標(biāo)可觀測(cè)性，可以在保證系統(tǒng)可觀測(cè)性的前提下，盡可能地減少觀測(cè)器數(shù)目和觀測(cè)次數(shù)，完成目標(biāo)定位跟蹤，提高跟蹤實(shí)時(shí)性，有效節(jié)省傳感器資源。

針對(duì)時(shí)差定位體制下的組網(wǎng)多觀測(cè)器可觀測(cè)問(wèn)題進(jìn)行研究。首先，在不考慮系統(tǒng)測(cè)量誤差的情況下，針對(duì)二維平面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，以代數(shù)方程解的唯一性作為可觀測(cè)準(zhǔn)則進(jìn)行分析，給出系統(tǒng)可觀測(cè)的結(jié)論。但在實(shí)際系統(tǒng)中，由于傳感器和導(dǎo)航設(shè)備都會(huì)帶來(lái)一定的系統(tǒng)測(cè)量誤差，因此，對(duì)存在測(cè)量誤差的多觀測(cè)器無(wú)源定位跟蹤系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行分析，給出了系統(tǒng)不可觀測(cè)時(shí)多觀測(cè)器的運(yùn)動(dòng)方程約束及觀測(cè)器構(gòu)型對(duì)定位精度的影響。

1 多觀測(cè)器測(cè)時(shí)差可觀測(cè)性分析

測(cè)時(shí)差定位又叫雙曲線定位法或反羅蘭法，它利用測(cè)量目標(biāo)的輻射信號(hào)到達(dá)兩個(gè)接收站的時(shí)間差來(lái)完成定位，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、定位精度高等特點(diǎn)[3]。測(cè)時(shí)差定位系統(tǒng)采用如下工作方式：在多觀測(cè)器中選定一個(gè)主觀測(cè)器，其他的作為輔助觀測(cè)器，輔助觀測(cè)器i接收目標(biāo)輻射的信號(hào)，并把它實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)發(fā)到主觀測(cè)器，主觀測(cè)器同時(shí)接收目標(biāo)輻射的信號(hào)及輔助觀測(cè)器轉(zhuǎn)發(fā)來(lái)的信號(hào)，并測(cè)量它們之間的到達(dá)時(shí)間差，有

其中，r0為目標(biāo)到主觀測(cè)器的視線距離；ri為目標(biāo)到輔助觀測(cè)器i的視線距離；di為主觀測(cè)器到輔助觀測(cè)器i連線（基線Li）的長(zhǎng)度，為已知常數(shù)；c為光速。

令ΔR=cΔt-d，表示目標(biāo)到達(dá)主觀測(cè)器與輔助觀測(cè)器i 的距離差，則式（1）可簡(jiǎn)化為：

因此，可以用距離差代替時(shí)間差。設(shè)目標(biāo)相對(duì)于觀測(cè)器i在x方向上的距離、速度和加速度分別表示為rxi，νxi，axi，y方向上為ryi，νyi，ayi，則觀測(cè)方程為：

其中，c為聲波在空氣中的傳播速度；vi為零均值的高斯白噪聲，對(duì)應(yīng)的方差為。

在二維平面內(nèi)，假設(shè)時(shí)差定位系統(tǒng)由三個(gè)觀測(cè)器構(gòu)成，其中S0（xob0，yob0）為主觀測(cè)器，S1（xob1，yob1）和S2（xob2，yob2）為輔助觀測(cè)器，輻射源坐標(biāo)為（xt，yt），如圖1 所示。

圖1 多觀測(cè)器時(shí)差無(wú)源定位系統(tǒng)配置圖

根據(jù)式（2）所示時(shí)差無(wú)源定位原理，觀測(cè)方程可對(duì)應(yīng)表示為：

將式（5）帶入式（4），整理得到：

解上式二元一次方程組，可得：

式中，Φ（a，b）表示（a，b）的相角，Φ∈[-π，π)。

由式（7）可知，當(dāng)x1cosθ+y1sinθ+△R1=0 或x2cosθ+y2sinθ+△R2=0 時(shí)，目標(biāo)不可觀測(cè)。如圖1 所示，若令θ=θ′，此時(shí)有

當(dāng)θ滿足式（9），有x1cosθ+y1sinθ+△R1=0，此時(shí)目標(biāo)不可觀測(cè)。由以上分析可以看出，當(dāng)三觀測(cè)器位置不重合時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)位于任意兩觀測(cè)器連線及其延長(zhǎng)線上時(shí)，目標(biāo)不可觀測(cè)。

2 存在系統(tǒng)測(cè)量誤差可觀測(cè)性分析

在時(shí)差定位跟蹤系統(tǒng)中，考慮到達(dá)時(shí)間測(cè)量誤差、觀測(cè)器導(dǎo)航誤差和觀測(cè)器本身的測(cè)量誤差，對(duì)多觀測(cè)器時(shí)差無(wú)源定位跟蹤系統(tǒng)的可觀測(cè)性進(jìn)行分析[4-5]。這里為了分析問(wèn)題方便，并不是一般性，假設(shè)輻射源位于坐標(biāo)原點(diǎn)，觀測(cè)器配置如圖2 所示。

圖2 時(shí)差無(wú)源定位系統(tǒng)配置圖（存在測(cè)量誤差）

對(duì)式（3）給出的三觀測(cè)器無(wú)源定位表達(dá)式中的到達(dá)時(shí)間差ti，觀測(cè)器位置（xi，yi）分別取微分得：

根據(jù)圖2 的時(shí)差系統(tǒng)觀測(cè)器配置圖，有

將（11）帶入（10）得：

求解dx，dy得：

假設(shè)各觀測(cè)器的測(cè)量誤差均為零均值，且彼此不相關(guān)的高斯白噪聲。到達(dá)時(shí)間的測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差為，各觀測(cè)器導(dǎo)航誤差標(biāo)準(zhǔn)差為

對(duì)dx，dy分別做統(tǒng)計(jì)，即可得目標(biāo)位置（x，y）的誤差分析結(jié)果：

根據(jù)時(shí)差無(wú)源定位系統(tǒng)誤差幾何稀釋度定義，有

由式（15）可以看出，定位誤差的大小與兩個(gè)因素有關(guān)：一個(gè)是幾何因子G，它反應(yīng)了輻射源和觀測(cè)器間的相對(duì)幾何位置對(duì)定位誤差大小的影響；另一個(gè)是測(cè)量因子M，它反應(yīng)了系統(tǒng)的測(cè)量精度對(duì)定位誤差的影響，這里包括到達(dá)時(shí)間差的測(cè)量誤差和觀測(cè)器自身的導(dǎo)航測(cè)量誤差。即有

其中，

這里我們重點(diǎn)分析幾何因子G對(duì)目標(biāo)可觀測(cè)性的影響，得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

結(jié)論1：如果α+β=θ，當(dāng)時(shí)，即其中任意兩個(gè)觀測(cè)器連線關(guān)于目標(biāo)和另一觀測(cè)器的連線對(duì)稱(chēng)時(shí)，定位誤差最小。

結(jié)論2：當(dāng)α=0 或β=0 時(shí)，G 為無(wú)窮大，即目標(biāo)位于任意兩觀測(cè)器連線及其延長(zhǎng)線時(shí)，定位誤差無(wú)窮大。

結(jié)論3：由于α和β的對(duì)稱(chēng)性，為了平均定位誤差最小，三個(gè)觀測(cè)器最好成等腰或等邊三角形分布。若觀測(cè)器成等腰三角形分布，目標(biāo)位于底邊的中垂線上，定位誤差取得最小值；若等邊三角形分布，目標(biāo)位于三角形的幾何中心時(shí)，定位誤差最小。

3 結(jié)束語(yǔ)

目標(biāo)的可觀測(cè)性是目標(biāo)被動(dòng)跟蹤中的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容，若能從一個(gè)測(cè)量矢量中唯一確定目標(biāo)的狀態(tài)，那么目標(biāo)是可觀測(cè)的。在理想測(cè)量模式和誤差測(cè)量模式下，針對(duì)時(shí)差定位體制，使用代數(shù)方程唯一解方法對(duì)多觀測(cè)器無(wú)源定位的可觀測(cè)性進(jìn)行分析。在目標(biāo)可觀測(cè)的條件下，可有效節(jié)省傳感器資源，保證無(wú)源定位跟蹤的收斂速度。