傅洪波，陳小偉，謝國喜

(廣州醫(yī)科大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，廣東 廣州 511436)

K空間也稱為傅里葉空間，是由帶有空間編碼信息的磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging, MRI)信號(hào)填充而成的數(shù)據(jù)矩陣，每一組MRI圖像都有其相應(yīng)的K空間數(shù)據(jù)矩陣，它們是傅里葉變換對(duì)的關(guān)系，對(duì)K空間數(shù)據(jù)進(jìn)行反傅里葉變換，就能重建出MRI圖像.因此K空間是MRI信號(hào)空間編碼的基礎(chǔ)，也是掌握磁共振成像理論的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

但是，K空間信號(hào)表達(dá)式的數(shù)學(xué)物理推導(dǎo)過程鮮見于各類論著及論文中.前期調(diào)研發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有國內(nèi)外論著，包括大量教材，直接給出K空間的信號(hào)表達(dá)式[1-3]，再結(jié)合相應(yīng)圖示，以幾何化的直觀方式講述K空間是什么和怎樣形成，很少有論文(著)對(duì)K空間信號(hào)表達(dá)式的來源進(jìn)行討論，而是更多是關(guān)注磁共振技術(shù)新發(fā)展、數(shù)值仿真和實(shí)際應(yīng)用[4-6].其中論文[7]雖然能針對(duì)成像數(shù)據(jù)與K空間之間的關(guān)系進(jìn)行數(shù)理推導(dǎo)，但推導(dǎo)過程偏于簡單，缺乏一些關(guān)鍵細(xì)節(jié)，比如針對(duì)法拉第感應(yīng)定律的相關(guān)推導(dǎo)，仍采用磁化強(qiáng)度矢量，而非定律要求的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，對(duì)兩者關(guān)系也未詳細(xì)說明，導(dǎo)致整個(gè)推導(dǎo)過程中的數(shù)學(xué)物理過程難以理解.另外，我們在互聯(lián)網(wǎng)上也了解到, 比如，Albert Einstein College of Medicine和Massachusetts Institute of Technology開設(shè)相應(yīng)MRI課程，涉及K空間的部分，也未曾給出一個(gè)邏輯完整的介紹，因此根據(jù)上述調(diào)研的結(jié)果，我們認(rèn)為有必要對(duì)此問題展開研究，形成相應(yīng)的教學(xué)支撐.

值得一提的是，Haack E Mark 和 Brown Robert W等人合作的2部著作[8,9]從嚴(yán)密的物理模型和數(shù)學(xué)處理給出了磁共振三維信號(hào)一般表達(dá)的推導(dǎo)，但理解該推導(dǎo)過程難度甚高，既要掌握電動(dòng)力學(xué)的相應(yīng)物理模型又要熟悉矢量微分等數(shù)學(xué)處理，另外一些關(guān)鍵細(xì)節(jié)也被省略，沒有和序列匹配起來，教與學(xué)兩方面都殊為不易.但是深刻理解磁共振成像K空間信號(hào)表達(dá)式既是磁共振成像理論學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和關(guān)鍵，也是相關(guān)技術(shù)性研發(fā)的理論基石，特別是國內(nèi)MRI這種關(guān)鍵醫(yī)療設(shè)備仍大量依賴國外產(chǎn)品的背景下，加強(qiáng)我國大學(xué)相應(yīng)的教學(xué)，具有深遠(yuǎn)意義.

針對(duì)這一問題，本文在相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，以大學(xué)普通物理理論為基礎(chǔ)，并從自旋回波序列這一最基本的成像序列出發(fā)，結(jié)合梯度磁場的空間編碼過程、以實(shí)例的形式完成K空間信號(hào)表達(dá)式的數(shù)學(xué)物理推導(dǎo)，并給出推導(dǎo)過程中的相關(guān)細(xì)節(jié)和依據(jù)，試圖給學(xué)習(xí)者提供一個(gè)既簡單明了，又便于系統(tǒng)地掌握K空間信號(hào)模型.

1 磁共振成像與K空間概述

磁共振成像是利用核磁共振原理進(jìn)行成像的技術(shù)，其成像過程簡述如下：自旋原子核在靜磁場B0的作用下磁化產(chǎn)生宏觀磁化強(qiáng)度矢量(以下簡稱磁化矢量)，磁化矢量在射頻場的作用下產(chǎn)生橫向分量，橫向分量在梯度磁場的作用下實(shí)現(xiàn)空間編碼，對(duì)經(jīng)過空間編碼的磁共振信號(hào)進(jìn)行采集、解調(diào)、濾波和放大等處理后，成為填充K空間的數(shù)據(jù)，對(duì)K空間數(shù)據(jù)進(jìn)行逆傅里葉變換就可以重建出掃描圖像.K空間信號(hào)S(kx,ky)與重建圖像ρ(x,y)之間是傅里葉變換對(duì)的關(guān)系：

S(kx,ky)=?ρ(x,y)e-i2π(kxx+kyy)dxdy

(1)

接下來，我們對(duì)式(1)給出相應(yīng)模型和推導(dǎo).

2 微元模型的建立

根據(jù)量子力學(xué)理論[8,9]，處于靜磁場中，磁化的氫核產(chǎn)生縱向磁化矢量最大值為

(2)

其中B0為靜磁場的磁場強(qiáng)度，ω0為質(zhì)子的共振頻率，γ為磁旋比，k為玻耳茲曼常量，T為熱力學(xué)溫度，?為約化普朗克常量，ρ表示該體積內(nèi)的自旋密度(質(zhì)子密度)數(shù).

為方便起見，假設(shè)成像層面垂直于靜磁場，成像層面為xy平面，層厚為Δz，選取該層面內(nèi)一個(gè)體素微元Δzdxdy為研究對(duì)象，根據(jù)式(2)可構(gòu)造微元：

Dρ0(x,y)dxdy

(3)

其中，D=γ2?2B0/12kT，ρ0(x,y,z)為體素微元的質(zhì)子體密度，這樣ρ0(x,y,z)Δzdxdy表示該體素微元內(nèi)的質(zhì)子數(shù)，由于斷層厚度Δz為常量，可以重新定義ρ0(x,y)為二維像素微元的質(zhì)子面密度，這樣乘以微元面積dxdy后仍等于對(duì)應(yīng)質(zhì)子數(shù).

圖1 自旋回波序列和空間編碼梯度磁場

為處理方便，我們僅討論TE時(shí)刻后采集的數(shù)據(jù).結(jié)合式(3)和Bloch方程可知Mxy在回波時(shí)間TE后的信號(hào)大小變化的表達(dá)式為

(4)

當(dāng)90°射頻脈沖激發(fā)后，縱向磁化矢量翻轉(zhuǎn)為橫向磁化矢量Mxy，受靜磁場和梯度磁場作用，將以角速度ω進(jìn)動(dòng)，其大小與Mxy所處位置磁場強(qiáng)度的大小成正比.設(shè)某時(shí)刻它與x軸正向的夾角為ωt+φ，則斷層微元內(nèi)的橫向磁化矢量Mxy在x和y軸的投影大小分別為：

(5)

(6)

式(5)、式(6)中的共有項(xiàng)ωt、φ為：

(7)

(8)

其中BGx、BGy分別為頻率編碼和相位編碼的磁場梯度大小，tx為頻率編碼梯度磁場作用時(shí)間，ty為相位編碼梯度磁場作用時(shí)間.根據(jù)圖1可知，先進(jìn)行相位編碼再進(jìn)行頻率編碼.

圖2 xy平面的橫向磁化矢量和正交采集線圈示意圖

3 磁共振信號(hào)的采集

磁共振成像信號(hào)是根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律進(jìn)行采集獲得的.如圖2所示，如果在頻率編碼梯度時(shí)間的同時(shí)，在x-y軸分別放置一個(gè)有效接收面積為S的閉合線圈，旋轉(zhuǎn)變化的橫向磁化矢量Mxy將使得穿過線圈的磁通量發(fā)生變換，變化的磁通量將在閉合線圈上產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，由此檢測到磁共振成像信號(hào)，采集得到的數(shù)據(jù)就是K空間數(shù)據(jù).

受論著[8]啟發(fā)，我們做出以下分析：磁共振成像樣品置于靜磁場B0中，發(fā)生磁化后，產(chǎn)生縱向磁化矢量M0，假設(shè)成像組織是由各向同性的順磁物質(zhì)構(gòu)成的，總的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為靜磁場強(qiáng)度B0和介質(zhì)磁化電流產(chǎn)生的附加磁場B′的矢量和[10]：

B=B0+B′

(9)

根據(jù)磁化理論可知，真空磁導(dǎo)率為μ0，在靜磁場中的磁化矢量為M0的介質(zhì)，產(chǎn)生的附加磁場B′為

B′=μ0M0

(10)

因此在射頻90°脈沖作用下，橫向磁化矢量Mxy在靜磁場作用下產(chǎn)生的附加磁場最大值為

B′=μ0M0

(11)

該附加磁場在接收線圈處產(chǎn)生相應(yīng)變化磁通量，即

Φ=B′·S

(12)

其中S為線圈的有效接收面積.

由于接收線圈中總的磁通量是所有微元dxdy的附加磁場B′的累加貢獻(xiàn)，結(jié)合定積分定義，根據(jù)式(5)、式(6)和式(12)，可得圖2中x和y軸處的感應(yīng)線圈中產(chǎn)生的磁通量分別為

Φx(t)=?Sμ0dMx=

(13)

Φy(t)=?Sμ0dMy=

(14)

其中S為線圈總的有效接收面積，為簡單計(jì)，這里設(shè)兩組線圈的S相等.

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動(dòng)勢為

(15)

將式(13)、式(14)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(16)

(17)

εx(t)=-?μ0Sω0C(x,y)sin(ωt+φ)dxdy

(18)

εy(t)=?μ0Sω0C(x,y)cos(ωt+φ)dxdy

(19)

4 K空間的積分表達(dá)

K空間是復(fù)空間，K空間數(shù)據(jù)是由x、y方向測得的信號(hào)強(qiáng)度分別作為復(fù)數(shù)信號(hào)的實(shí)部和虛部，即

ε(t)=εy+iεx

(20)

根據(jù)歐拉公式得

ε(t)=μ0ω0SC(x,y)e-i(ωt+φ)dxdy

(21)

成像斷層的所有微元集成后的磁共振信號(hào)為

ε(t)=?μ0ω0SC(x,y)e-i(ωt+φ)dxdy

(22)

實(shí)際應(yīng)用中在得到式(22)之前，還需借助信號(hào)“解調(diào)”技術(shù)消除上面式(18)、式(19)感應(yīng)信號(hào)中類似載波的高頻成分ω0.解調(diào)是用頻率接近或等于ω0的正弦或余弦函數(shù)與信號(hào)相乘.比如用參考信號(hào)sin(ω0t+ω0ty)乘以式(21)，借助三角恒等式，可得解調(diào)后信號(hào)為

sig=sin(ω0t+ω0ty)sin(ωt+φ)=

(23)

對(duì)于式(23)中對(duì)應(yīng)高頻信號(hào)部分，利用低通濾波去掉，只剩下Δω對(duì)應(yīng)的低頻部分，對(duì)于虛部通道也做類似處理，最終式(21)變?yōu)?/p>

ε(t)=?μ0ω0C(x,y)e-i(Δωt+Δφ)dxdy

(24)

其中

(25)

(26)

需要說明的是對(duì)于式(25)而言，當(dāng)施加線性梯度磁場時(shí)(設(shè)中心處梯度為零)，解調(diào)后信號(hào)可表達(dá)為

(27)

式(27)中梯度磁場?B/?x在信號(hào)采集時(shí)間Ts內(nèi)只是空間x值的函數(shù)，其大小不隨時(shí)間變化，這是使用線性梯度場且不考慮梯度切換情況的特例.如圖1所示，該梯度沿時(shí)間軸依時(shí)序施加，但對(duì)于某一空間位置上的梯度磁場大小不變.其實(shí)，類似處理相位梯度磁場帶來的相位變化，我們可認(rèn)為Δωt就是頻率編碼通過時(shí)間t帶來的累積相位，此時(shí)表達(dá)式(27)重寫為

(28)

積分形式的式(28)成為教科書中常見的表達(dá)，這種積分表達(dá)式在更復(fù)雜的磁場梯度的時(shí)變技術(shù)中還有其他應(yīng)用和解釋.必須指出的是，式(28)的積分表達(dá)的時(shí)間區(qū)間[0,t]，本推導(dǎo)中以TE時(shí)刻為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，即為[0,Ts/2].至于y方向的相位編碼的整個(gè)積分時(shí)間也記為[0,t]，則為相位編碼梯度磁場的獨(dú)立的實(shí)施加載時(shí)間.

借此機(jī)會(huì)，我們補(bǔ)充說明下，借助K空間的對(duì)稱性，本推導(dǎo)涉及的采集信號(hào)實(shí)際只填充一半K空間，實(shí)際上，由于K空間的共軛對(duì)稱性，另一半K空間數(shù)據(jù)也可以用本文的方法進(jìn)行討論.而填充一半K空間，類似于快速成像中的“半掃描技術(shù)”(通常意義是利用相位編碼帶來的矩陣行的對(duì)稱性)，也稱作部分傅里葉(Phase Partial Fourier).我們采用該技術(shù)概念的目的是為了模型的簡化和表達(dá)的一致性，比如回波信號(hào)按exp(-t/T2)規(guī)律衰減，沒有涉及TE重聚相前采集的另一半信號(hào)，以此避免帶來的描述和解釋的復(fù)雜性，而按照圖2，實(shí)際采集的信號(hào)是完整的.

接下來，利用式(25)、式(26)，給出K空間的“k”的定義表達(dá)式：

(29)

(30)

再令ρ(x,y)=μ0ω0SC(x,y)，此時(shí)ρ(x,y)構(gòu)成學(xué)者俎棟林、高家紅在文獻(xiàn)[1]提出的“廣義自旋密度”.最終式(24)可重新表達(dá)為

ε=S(kx,ky)=?ρ(x,y)e-i2π(kxx+kyy)dxdy

式(1)的再次呈現(xiàn)，也意味著我們完成了對(duì)K空間信號(hào)的定量公式的推導(dǎo).

5 討論與總結(jié)

正如前文所述，K空間雖然是磁共振成像的重點(diǎn)內(nèi)容，但其理解殊為不易.以式(1)而言，一旦無法清楚其來龍去脈，可能產(chǎn)生一些誤解，比如簡單理解ρ(x,y)就是自旋密度，甚至沒有意識(shí)到K空間是復(fù)數(shù)空間.至于K空間和諸多前期概念(比如加權(quán)成像)之間的邏輯關(guān)系，在缺乏相應(yīng)數(shù)理邏輯背景時(shí)，真正透徹地理解磁共振成像更是無從談起.因此，本文通過一個(gè)斧鑿和裁剪過的數(shù)模模型給出了相應(yīng)的邏輯推導(dǎo)的前提和過程，給K空間信號(hào)一個(gè)系統(tǒng)的、定量的、簡單的解釋.

本研究的系統(tǒng)性在于有效地串聯(lián)了一系列前置概念，并把采集和信號(hào)處理相關(guān)環(huán)節(jié)也納入其中，形成完整、緊密的邏輯鏈，同時(shí)也加深了MRI加權(quán)圖像與K空間信號(hào)的聯(lián)系與理解.其定量化體現(xiàn)為各邏輯環(huán)節(jié)的公式化，最終自然地過渡到K空間信號(hào)表達(dá)式即式(1).簡單性在于本論文在推導(dǎo)過程中合理降低了相應(yīng)物理模型和數(shù)學(xué)處理的復(fù)雜度，給出一個(gè)實(shí)例化、具體化、解釋性強(qiáng)的K空間信號(hào)模型.