王士旭 王永

摘要：本文主要針對具體的例題來討論測角三角網(wǎng)中條件方程的如何列立，以及提供找尋條件方程的方法與區(qū)分條件方程的類型。通過四個例題，具體地分析了利用條件平差進行解算時必要觀測數(shù)、各類條件方程個數(shù)的確定。該文中的分析思路相對靈活，不拘泥于具體算例，具有較好的適用性和靈活性。

關(guān)鍵詞：測角三角網(wǎng);條件方程;多余觀測值;必要觀測值;圖形條件;極條件

0 引言

在進行相關(guān)的測量作業(yè)時，對所要求的觀測數(shù)據(jù)進行測量平差是測量工作中不可缺失的一部分。如果想要進行正確的平差計算，需要操作者可以列出該測量作業(yè)正確平差解算的函數(shù)模型。在對它們進行列立之前，需要先進行必要觀測數(shù)和條件方程的確定。對于必要觀測數(shù)的確定，眾多學(xué)者進行了相關(guān)研究[1，3-5]。對于各類條件方程的列立，一些學(xué)者也進行了相應(yīng)的研究[5]。本文在之前成果的基礎(chǔ)上，針對必要觀測數(shù)的確定以及各類條件方程的確定進行了相關(guān)的分析和探究。本文主要研究關(guān)于測角三角網(wǎng)的必要觀測數(shù)據(jù)的確定以及各類條件方程的確定。

1 理論基礎(chǔ)

在進行平面控制時可供操作者選擇的網(wǎng)型有很多，如三角網(wǎng)，導(dǎo)線網(wǎng)，GNSS（CORS）網(wǎng)等。隨著科技的發(fā)展，GNSS在日常的使用中越來越普遍，專門的三角網(wǎng)已經(jīng)不經(jīng)常使用，但是在學(xué)習(xí)測量平差的過程中，三角網(wǎng)仍然是學(xué)生需要掌握的最為基本的一種網(wǎng)型。根據(jù)一般要求，大多數(shù)三角網(wǎng)的分類是依據(jù)觀測值的不同來劃分的，通?？蓪⑺鼈兎殖蓽y邊三角網(wǎng)、測角三角網(wǎng)和邊角同測網(wǎng)。同時，由于條件方程存在多種不同的類型，例如圖形條件（內(nèi)角和條件）、圓周條件（水平條件）、極條件、方位角條件、固定邊條件等。那么在三角網(wǎng)中進行條件平差時就需要進行判斷到底存在那些類型的條件方程，這時候就需要判斷一下三角網(wǎng)中都含有哪些基本幾何圖形了。在三角網(wǎng)中一般包括的基本幾何圖形包括單三角形、中點多邊形、大地四邊形和扇形。對于任何一個三角網(wǎng)，都可以視作由基本幾何圖形中的一個或若干個組成。在文獻[1，5]中，在觀測值充足的情況下，各基本幾何圖形的條件方程類型如下。

（1）對于圖形條件：三角網(wǎng)進行測量時必定會包含單三角形，如果這個三角網(wǎng)中單三角形的三個內(nèi)角都進行了觀測，同時得到了必要的數(shù)據(jù)，那么就存在圖形條件;只要在這個三角形中存在一個內(nèi)角沒有得到充分的觀測，就無法列出圖形條件。

（2）對于圓周條件：如果三角網(wǎng)中含有中點多邊形，那么就有可能存在圓周條件;具體能否列出圓周條件，還得看中點多邊形的中點上所有角度是否存在（不管是直接觀測的還是間接計算得到的，都可以視作存在）;如果存在中點多邊形且中點上的所有角度都存在，那么對于該圖形便就可以列出圓周條件;否則，不可以。例如圖1中就有一個以點P4為中點的中點四邊形或中點三邊形，所以肯定會存在圓周條件。

（3）對于極條件：如果所要面對的三角網(wǎng)中含有大地四邊形、扇形、中點多邊形，那么該圖形中存在極條件的可能性就很高;具體能否列出極條件，還得看這些基本幾何圖形中的所觀測的角度個數(shù)是否足夠，如果足夠，就可以列出;否則，不可以。注意：在判斷極條件時需要考慮該圖形中以哪個點作為極點來進行分析，在列極條件方程時該極點所在的角度就可以不用到方程中。

（5）對于固定邊條件：如果三角網(wǎng)中有兩條以上的邊的邊長已知，則可以列出固定邊條件;否則，不可以。

（6）再強調(diào)一下，對于條件方程之間的獨立性判斷是最難掌握的，也是最容易出錯的地方。關(guān)于這一點沒有統(tǒng)一固定的方法，通常的經(jīng)驗做法是看一下三角網(wǎng)中所含的幾種基本幾何圖形之間的獨立性情況，感興趣的讀者可以參考一些相關(guān)文獻。

2 確定步驟

對于該類問題，做一下實現(xiàn)步驟：

（1）首先確定觀測值是什么觀測值，比如是角度還是邊長，然后確定是測角三角網(wǎng)還是測邊網(wǎng)以及邊角網(wǎng)。

（2）確定已知數(shù)據(jù)為何種類型的數(shù)據(jù)，比如點坐標、邊長、角度（包括水平角和方位角）。

（3）確定已知數(shù)據(jù)是否可以作為方程的起算數(shù)據(jù)。起算數(shù)據(jù)一般是用來幫助確定該三角網(wǎng)的網(wǎng)型是否起到作用的數(shù)據(jù)。詳細參考文獻[1，5]。

（4）然后再看一下此幾何圖形是由哪些基本幾何圖形組成，然后依據(jù)各組成基本幾何圖形的情況來進行確定。詳細的解題過程的通過看下面的實例分析來了解。

3 實例分析

如圖1至圖4所示，求出各測角三角網(wǎng)按條件平差時條件方程的總數(shù)及各類條件的個數(shù)，其中Pi為待定點，為已知邊，為已知方位角。

此類題型在測量平差中非常具有典型性，掌握了該題后，關(guān)于必要觀測數(shù)和多余觀測數(shù)的判斷以及條件方程的列立就基本迎刃而解，可以方便讀者解決測角三角網(wǎng)中條件平差方程列立的基本問題。

3.1 必要觀測數(shù)的確定

以圖1為例，分兩種思路進行分析：

思路一：

（1）首先確定該幾何模型是一個測角三角網(wǎng);

（2）該圖形的已知數(shù)據(jù)有兩個已知點的坐標和兩個已知方位角，以及一條已知邊;由于已知的起算數(shù)據(jù)大于4，所以可以判斷出來該網(wǎng)是用來確定網(wǎng)中待定點的坐標數(shù)據(jù)的;

（3）為了可以得到圖形中待定點的坐標數(shù)據(jù)，這些已知的數(shù)據(jù)都是可以用來分析計算的，因此它們作為起算數(shù)據(jù)來輔助我們之后的數(shù)據(jù)處理分析（請注意：已知的數(shù)據(jù)未必是起算的數(shù)據(jù)，但起算的數(shù)據(jù)一定是已知的數(shù)據(jù)）。

（4）為為了確定圖形中待定點的坐標，只需要A、B兩點的坐標數(shù)據(jù)便可以做到。該圖中一共有4個待定點，即4×2=8個待確定數(shù)據(jù)。要確定圖形中的這8個數(shù)據(jù)，那我們一般是需要確定8個觀測值來輔助計算;但是題中已有2個起算方位角與1條已知邊輔助確立數(shù)據(jù)，這樣在8個觀測值中減去3個即可，即必要觀測數(shù)t=8-3=5 ;

（5）綜上，多余觀測數(shù)r=n-t=16 。

思路二：依據(jù)于公式t=2p-q-4來計算[6]，其中，p是所要分析的網(wǎng)中所有點的數(shù)目，q是所要分析的網(wǎng)中多余的獨立的起算數(shù)據(jù)的數(shù)目。首先要明確一點是該公式t=2p-q-4是針對于測角三角網(wǎng)的?？傻迷摼W(wǎng)共有點個數(shù)p=6，q=3（這個數(shù)怎么來的？這樣判斷：A、B兩點是必要的起算數(shù)據(jù)，方位角就是多余的起算數(shù)據(jù)，而且獨立），從而可得t=2×6-3-4=5 。

3.2 條件方程類型的確定

3.2.1 對于圖1的分析思路

多余觀測數(shù)r為16。下面確定其各類條件方程。

思路一：

（1）通過已知條件可以了解到該網(wǎng)是一個測角三角網(wǎng)，根據(jù)已知數(shù)據(jù)的個數(shù)以及類型，可知該網(wǎng)是為了求得待定點的坐標。

（2）該圖形可看作是一個以P4為中點、點P3P2AB為外點的中點四邊形和一個單△P2P1A的組合圖形（忽略點B與點P1、點B與點P2、點P1與點P3之間的連線）。觀察發(fā)現(xiàn)，該圖形中所有的水平角都進行了觀測。為了可以更好地確定其獨立性，我們需要先確定圖形條件，再來輔助確定其他的條件。

（3）根據(jù)中點四邊形的特點，其包含4個圖形條件、1個圓周條件和1個極條件;對于單△P1P2A，可以確定1個圖形條件;

（4）然后，依次連結(jié)點B與點P1、點B與點P2、點P1與點P3，會形成3個新的單三角形，從而又確定3個圖形條件;注意，雖然也形成了△BP1P2，但是它的圖形條件與其他的是相關(guān)的。

（5）連結(jié)三組點后，除了形成單三角形，還形成其他基本幾何圖形，如先連結(jié)點P1與點P3，會形成3-扇形P2-P1AP4P3，由此確定1個極條件;再連結(jié)BP2，會形成以P4為中點，BP2P3為外點的中點3邊形，由此確定1個極條件;再連結(jié)BP1，會形成大地四邊形ABP2P1，由此得1個極條件;

（6）進一步，根據(jù)已知的多余起算數(shù)據(jù)，由于邊AB和邊P2P3均邊長已知，由此可列出1個固定邊條件;

（7）依據(jù)已知邊AB的方位角與α1可建立1個固定角條件;

（8）依據(jù)已知邊AB的方位角與α2可建立1個固定角條件;

（9）綜上所述，通過分析可以得到8個圖形條件、1個圓周條件、4個極條件、1個固定邊條件和2個固定角條件用于條件平差。

思路二：

（1）可將整個圖形看作由3-扇形P2-P1AP4P3和單△ABP4和單△BP3P4組合而成，由3-扇形可確定4個圖形條件和1個極條件，由兩個單三角形可確定2個圖形條件;

（2）然后連結(jié)點BP2和點BP1，可增加2個圖形條件;連接兩組點后，形成了新的單三角形BP1P2，雖然增加1個圖形條件，但該圖形條件與前面的圖形條件相關(guān);此時該圖形中圖形條件的總數(shù)確定完畢，為8個;

（3）連結(jié)BP2后，會形成大地四邊形ABP2P1，由此可得1個極條件;還形成以P4為中點，BP2P3為外點的中點3邊形，由此得1個極條件和1個圓周條件;

（4）連結(jié)BP1后，形成大地四邊形BAP1P2，可得1個極條件;

（5）根據(jù)已知的起算數(shù)據(jù)，由已知邊AB和邊P2P3可建立1個固定邊條件;

（6）依據(jù)已知邊AB的方位角與α1可建立1個固定角條件;

（7）依據(jù)已知邊AB的方位角與α2可建立1個固定角條件;

（8）綜上分析，可確定8個圖形條件、1個圓周條件、4個極條件、1個固定邊條件和2個固定角條件用于條件平差。

3.2.2 對于圖2的分析思路

（1）首先確定該幾何模型是一個測角三角網(wǎng);

（2）存在兩個已知點A、B;可知該網(wǎng)是為了確定待定點的坐標。

（3）為了確定網(wǎng)中待定點的坐標數(shù)據(jù)，需要至少4個起算數(shù)據(jù)來輔助運算;而兩個已知點的個數(shù)剛好滿足條件，所以不存在多余的起算數(shù)據(jù)，q=0，將其代入測角網(wǎng)確定必要觀測數(shù)的方程可得到t=2×6-0-4=8，即必要觀測數(shù)為8。多余觀測數(shù)r=n-t=10。確定了條件方程的個數(shù)，通過分析圖形條件與已知數(shù)據(jù)的關(guān)系可得出條件方程的類型。

（4）該圖形可看作是由基本幾何圖形大地四邊形ABCD和單△ABE與單△BEF組合而成。由大地四邊形ABCD可以得到3個圖形條件和以及1個極條件;同樣在分析兩個單三角形時可以得到2個圖形條件;在此基礎(chǔ)上，連結(jié)點B和點E、點D和點F，由此可再確定2個圖形條件;同時，在3-扇形C-DAEB和3-扇形B-DAEF中，可再確定2個極條件。

（5）綜上分析，可以得到總觀測數(shù)n=18，必要觀測數(shù)t=8，多余觀測數(shù)r=10;即10個條件方程，其中有7個圖形條件，3個極條件，這些條件方程即可用于平差計算。

3.2.3 對于圖3的分析思路

（1）首先確定該幾何模型是一個測角三角網(wǎng);

（2）存在兩個已知點A、B;可知該網(wǎng)是為了確定待定點的坐標。

（3）為了得到待定點的坐標數(shù)據(jù)，需要至少4個起算數(shù)據(jù)來輔助計算;而兩個已知點的坐標剛好滿足條件，所以不存在多余的起算數(shù)據(jù)，q=0，將其代入測角網(wǎng)確定必要觀測數(shù)的方程可得到t=2×5-0-4=6，即必要觀測數(shù)為6。多余觀測數(shù)r=n-t=15-6=9。確定了條件方程的數(shù)量，之后分析圖形條件與已知數(shù)據(jù)的關(guān)系，嘗試得出條件方程的類型。

（4）該圖形可看作是由一個基本幾何圖形3-扇形P2-P1ABP3組成（忽視點B和點P1、點A和點P2間連線）。由于每個角度都進行了觀測，所以由3扇形可確定4個圖形條件和1個極條件;然后，連結(jié)點B和點P1、點A和點P2，可再確定2個圖形條件;然后，再依據(jù)大地四邊形ABP3P2和大地四邊形BAP1P2，可確定2個極條件;

（5）綜上分析，該題總觀測數(shù)n=15，必要觀測數(shù)t=6，多余觀測數(shù)r=9;即9個條件方程，其中有6個圖形條件，3個極條件，這些條件方程即可用于平差計算。

3.2.4 對于圖4的分析思路

（1）首先確定該幾何模型是一個測角三角網(wǎng);

（2）存在兩個已知點A、B;可知該網(wǎng)是為了確定待定點的坐標。

（3）為了得到待定點的坐標數(shù)據(jù)，需要至少4個起算數(shù)據(jù)來輔助計算;而兩個已知點的坐標剛好滿足條件，所以不存在多余的起算數(shù)據(jù)，q=0，將其代入測角網(wǎng)確定必要觀測數(shù)的方程可得到t=2×6-0-4=8，即必要觀測數(shù)為8。多余觀測數(shù)r=n-t=13-8=5。確定了條件方程的數(shù)量，之后分析圖形條件與已知數(shù)據(jù)的關(guān)系，嘗試得出條件方程的類型。

（4）該圖形可看作由大地四邊形P1AP2P3和大地四邊形P1BP4P3組合而成（忽視點B和點P2間連線）。但是，要注意點P2和P4所在點處角度未觀測，因此，可分別以P2、P4為極點，確定2個極條件方程;且由這兩個大地四邊形，只能確定2個圖形條件。

（5）然后，連結(jié)點B和點P2，可得到大地四邊形P1P2P3B，從而又可確定1個極條件（以P2為極點）。

（6）綜上分析，該題總觀測數(shù)n=13，必要觀測數(shù)t=8，多余觀測數(shù)r=5;即5個條件方程，其中有2個圖形條件，3個極條件，這些條件方程即可用于平差計算。

4 總結(jié)

條件方程的確定在測量平差中具有重要的地位，條件平差是一種重要的平差方法。采用條件平差進行解算，必須要先正確確定其必要觀測數(shù)、多余觀測數(shù)、各類條件方程的個數(shù)，才能正確地對測量問題進行平差解算。其對于網(wǎng)型相對簡單一點的幾何圖形，具有重要作用。但是，對于網(wǎng)型稍微復(fù)雜一點的幾何圖形，條件平差確實不是一種優(yōu)秀的方法，此時，往往采用間接平差等其他平差方法來求解。但是，無論如何，條件平差都是一種重要的不可忽視的平差方法。本文中給出的分析，思路靈活，一個問題可通過不同路線進行解析，因此，可以很好地進行互相驗證和推導(dǎo)。

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作者簡介：王士旭（2001.12-），男，漢族，山東陽谷人，本科在讀，現(xiàn)在山東科技大學(xué)資源學(xué)院從事測繪工程專業(yè)的學(xué)習(xí)。

通訊作者：王永（1978.9-），男，漢族，山東新泰人，碩士研究生，講師，現(xiàn)在山東科技大學(xué)任教，從事測量數(shù)據(jù)處理方面的研究工作。