尹承利

(山東省泰安英雄山中學(xué))

(本試卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘)

參考公式數(shù)據(jù)和公式

1.回歸直線^y＝^bx＋^a的斜率和截距的最小二乘估計公式

2.線性相關(guān)中的相關(guān)系數(shù)公式r＝

χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1.某校不到40歲的教師有350人，40歲及以上的教師有140人，為了了解普通話在該校的推廣普及情況，用分層抽樣的方法，從全體教師中抽取一個樣本容量為70人的樣本進行普通話水平測試，則“不到40歲的教師”樣本數(shù)為( ).

2.一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13，16，18，x，26，27，28，31，其中位數(shù)為22，則x是( ).

A.18 B.19 C.20 D.21

3.在下列兩個分類變量X，Y的樣本頻數(shù)列聯(lián)表中，判斷X，Y之間有關(guān)系的是( ).

y1 y2 總計x1 a b a＋b x2 c d c＋d總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d

4.某校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100).若某班不高于60分的人數(shù)是15人，則60分是第( )分位數(shù).

A.20% B.30% C.40% D.50%

5.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中12個月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖.圖中點A表示10月的平均最高氣溫約為15℃，點B表示4月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是( ).

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.7月的平均溫差比1月的平均溫差大

C.3月和11月的平均最高氣溫基本相同

D.平均氣溫高于20℃的月份有5個

6.為了解某家庭人均用電量y(單位:kW·h)與氣溫x(單位:℃)的關(guān)系曾由下表數(shù)據(jù)計算出回歸直線方程為^y＝－x＋50，現(xiàn)表中有一數(shù)據(jù)被污損(*處)，則被污損的數(shù)據(jù)為( ).

氣溫x/℃ 30 20 10 0人均用電量y/(kW·h) 20 30 * 50

A.35 B.40 C.45 D.48

7.2021年春節(jié)期間央視推出的“中國詩詞大會(第6季)”在社會各界引起了巨大反響.為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某中學(xué)舉行了一次別開生面的“中國詩詞”比賽活動，統(tǒng)計了甲、乙兩班各6名學(xué)生比賽的成績?nèi)鐖D所示，設(shè)甲、乙兩班數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為，標(biāo)準(zhǔn)差依次為s1，s2，則( ).

8.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回歸直線方程是且x1＋x2＋…x8＝2(y1＋y2＋…y8)＝6，則當(dāng)時，y的估計值為( ).

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.)

9.從某大學(xué)隨機選取的8名女大學(xué)生，其體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，用最小二乘法建立的回歸方程為^y＝0.849x－85.712，則下列結(jié)論中正確的是( ).

A.若某女大學(xué)生身高增加1cm，則其體重約增加0.849kg

B.若某女大學(xué)生身高為172cm，則可斷定其體重必為60.316kg

C.若根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出樣本相關(guān)系數(shù)為r＝0.798，則表明體重與身高有很強的正相關(guān)關(guān)系

D.若根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出相關(guān)指數(shù)為R2＝0.64，則表明女大學(xué)生的體重差異有64%是由身高引起的

10.下列說法正確的是( ).

A.一組數(shù)據(jù)可能有兩個眾數(shù)

B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后方差沒有變化

C.一組數(shù)據(jù)的方差一定是正數(shù)

D.在樣本的頻率分布直方圖中，一共有n個小矩形，若中間一個小矩形的面積是其余n－1個小矩形面積和的且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為32

11.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，如圖是隨機調(diào)查該中學(xué)高三年級男、女生各100名是否喜歡籃球運動的等高條形圖，陰影部分的高表示喜歡該項運動的頻率，則下列說法正確的是( ).

A.以題中樣本的頻率作為概率，則該中學(xué)高三年級學(xué)生喜歡籃球運動的概率為

B.有99.5%的把握認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生是否喜歡籃球運動與性別無關(guān)

C.有99.9%的把握認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生是否喜歡籃球運動與性別有關(guān)

D.性別決定是否喜歡籃球運動

12.經(jīng)驗表明，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高.下面給出某林場在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時收集的某種樹的數(shù)據(jù)(如表)和繪制的線性回歸方程的殘差圖.

編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12胸 徑/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2樹 高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7

根據(jù)上表和殘差圖，則下列說法正確的是( ).

A.樹高y與胸徑x之間具有正相關(guān)關(guān)系

B.斜率^b≈0.2499

C.預(yù)測當(dāng)樹的胸徑為50.6cm時，樹的高度約是31.467m

D.由殘差圖可知線性回歸方程的擬合效果較好

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.高二(1)班有男生28名，女生22名，在一次數(shù)學(xué)模塊檢測中，男生的平均分是121分，女生的平均分是119分.則該班全體學(xué)生的平均分是_________分.

14.在某項才藝競賽中，有9位評委，主辦單位規(guī)定計算參賽者比賽成績的規(guī)則如下:剔除評委中的一個最高分和一個最低分后，再計算其他7位評委的平均分作為此參賽者的比賽成績.現(xiàn)有一位參賽者所獲最高分為86分、最低分為45分，若未剔除最高分與最低分時9位評委的平均分為76，則這位參賽者的比賽成績?yōu)開________分.

15.某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系，隨機抽取高二年級20名學(xué)生某次考試成績(百分制)得到2×2列聯(lián)表.

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀 數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀 合計物理成績優(yōu)秀 5 2 7物理成績不優(yōu)秀 1 12 13合計 6 14 20

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計算，你有_________的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系.

16.為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組.右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為_________;第2人是第_________分位數(shù)(第一空2分，第二空3分).

四、解答題(本題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(10分)某中學(xué)高二年級有男生520人，女生480人，按男、女生進行分層，通過分層抽樣的方法，得到男、女生在某次考試中數(shù)學(xué)學(xué)科的平均成績分別為110.6分和108.2分.

(1)如果在各層中按比例分配樣本，總樣本量為100，那么在男、女生中分別抽取了多少名?

(2)在(1)的情況下，請估計高二年級全體學(xué)生的平均成績.

18.(12分)某運動生理研究課題組統(tǒng)計了10名長跑運動員和10名同齡非運動員的心率(單位:次/分)，并繪制了如右圖所示的莖葉圖.

(1)根據(jù)莖葉圖比較運動員和非運動員哪類人群的心率較高，哪類人群的心率較穩(wěn)定;

(2)用平均數(shù)和方差檢驗(1)中所得結(jié)論是否正確.19.(12分)2022年北京冬奧運動會即第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月4日至2月20日在北京和張家口舉行，某研究機構(gòu)為了了解大學(xué)生對冰壺運動的興趣，隨機從某大學(xué)生中抽取了100人進行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計男生與女生的人數(shù)比為9∶11，男生中有20人表示對冰壺運動有興趣，女生中有15人對冰壺運動沒有興趣.

(1)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“對冰壺運動是否有興趣與性別有關(guān)”?

有興趣 沒有興趣 合計男20女15合計 100

(2)用分層抽樣的方法從樣本中對冰壺運動有興趣的學(xué)生中抽取6人，求抽取的男生和女生人數(shù).

20.(12分)某高三年級有500名學(xué)生，為了了解數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)從中隨機抽出若干名學(xué)生在一次測試中的數(shù)學(xué)成績，制成如下頻率分布表.

組頻數(shù) 頻率[85，95) ① ②[95，105) 0.050[105，115) 0.200[115，125) 12 0.300[125，135) 0.275[135，145) 4 ③[145，155] 0.050合計 ④

(1)根據(jù)上面圖表，求出①②③④處應(yīng)填的數(shù)值;

(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出[85，155]的頻率分布直方圖及折線圖;

(3)根據(jù)題中信息估計總體平均數(shù)，并估計總體落在[129，155]中的頻率.

21.(12分)學(xué)習(xí)成績與學(xué)習(xí)時間存在相關(guān)關(guān)系，一定條件下，學(xué)習(xí)時間越長，學(xué)習(xí)成績越好.為研究學(xué)習(xí)成績與時間的關(guān)系，某校高一數(shù)學(xué)研究小組通過調(diào)查研究得到某班8位同學(xué)學(xué)習(xí)時間和數(shù)學(xué)成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.

時間x/h 0.1 0.3 0.5 1 1.5 2 2.5 3數(shù)學(xué)成績y/分55 72 73 69 75 78 81 80.5

觀察散點圖，現(xiàn)考慮用線性模型y＝bx＋a或?qū)?shù)函數(shù)模型y＝clnx＋d分別對兩個變量的關(guān)系進行擬合.已求得用線性模型擬合的回歸方程為^y＝6.2611^x＋64.407，相關(guān)系數(shù)r1＝0.7997.

(1)求用對數(shù)函數(shù)模型y＝clnx＋d擬合的相關(guān)系數(shù)，并由此對兩種模型擬合進行評價與選擇.

(2)根據(jù)(1)的選擇結(jié)果，求回歸方程.

∑8 i＝1uiyi ˉu ˉu2∑8 i＝1u2 i ∑8 i＝1yi ∑8 i＝1y2 i 490.22×9.776－16.7948－0.1358 0.01842 9.93862 583.5 43049.2 0.6923

其中ui＝lnxi.

22.(12分)在某電信部門執(zhí)行的新的電話收費標(biāo)準(zhǔn)中，本地網(wǎng)營業(yè)區(qū)內(nèi)的通話費標(biāo)準(zhǔn):前3分鐘為0.2元(不足3分鐘按3分鐘計算)，以后的每分鐘收0.10元(不足1分鐘按1分鐘計算).在一次實習(xí)作業(yè)中，某同學(xué)調(diào)查了A，B，C，D，E五人某天撥打的本地網(wǎng)營業(yè)區(qū)內(nèi)的電話通話時間情況，其原始數(shù)據(jù)如下表所示.

A B C D E第一次通話時間 3分 3分45秒 3分55秒 3分20秒 6分第二次通話時間 0分 4分 3分40秒 4分50秒 0分第三次通話時間 0分 0分 5分 2分 0分應(yīng)繳話費/元

(1)在上表中填寫出每人應(yīng)繳的話費;

(2)設(shè)通話時間為t分鐘，試根據(jù)上表完成下表的填寫(即這五人在這一天內(nèi)的通話情況統(tǒng)計表);

時間段 頻數(shù)累計 頻數(shù) 頻率 累計頻率0＜t≤3 丅 2 0.2 0.2 3＜t≤4 4＜t≤5 5＜t≤6合計 正正

注:累計頻率就是樣本數(shù)據(jù)小于某一數(shù)值的頻率.

(3)若該地網(wǎng)營業(yè)區(qū)原來執(zhí)行的電話收費標(biāo)準(zhǔn)是每3分鐘為0.20元(不足3分鐘按3分鐘計算)，問這五人這天的實際平均通話費與原通話標(biāo)準(zhǔn)下算出的平均通話費相比，是增多了還是減少了?增或減了多少?