改進的Logistic模型在中國城鎮(zhèn)化水平預測中的應用

王飛，趙文英，董瑩

摘要：依據中國城鎮(zhèn)化水平曲線變化的特點，在經典的Logistic模型基礎上，設計相對增長率函數，建立改進的Logistic模型應用于中國城鎮(zhèn)化水平的預測.研究結果表明，預測結果同經典Logistic模型和雙S曲線模型相比，擬合程度更高，其預測值可為相應決策部門制定政策提供參考.

關鍵詞：Logistic模型;相對增長率;城鎮(zhèn)化水平

[中圖分類號]F727/O29 [文獻標志碼]A

Application of Improved Logistic Model in the

Prediction of Urbanization Level in China

WANG Fei，ZHAO Wenying，DONG Ying

（School of Mathematical Science，Mudanjiang Normal University，Mudanjiang 157011，China）

Abstract：According to the characteristics of China's urbanization rate curve，based on the classical Logistic model，the relative growth rate function is designed，and an improved Logistic model is established to predict the level of urbanization in China.The results show that the fitting degree of the prediction results is higher than that of the classical Logistic model and the known double S curve model，and its prediction value can provide a reference for the corresponding decisionmaking departments to formulate policies.

Key words：Logistic model;relative growth rate;urbanization level

城市化水平是一個國家或地區(qū)社會和經濟發(fā)展程度的重要評價數據，也是城市發(fā)展規(guī)劃制定的重要依據.[12]Logistic模型在經濟、人口、流行病以及自然界描述種群數量等方面有著廣泛的應用，是一些復雜模型的基礎.[35]本文對Logistic模型進行改進，將改進的Logistic模型應用于中國城鎮(zhèn)化水平的預測，以期為加快中國城鎮(zhèn)化建設的進程提供理論依據.

1構建改進的Logistic模型

Logistic模型的基本假設為：（1）在確定的環(huán)境下考察某單一種群;（2）種群沒有遷入和遷出;（3）種群的相對增長率dxxdt是種群規(guī)模x的線性減函數;（4）K為定值.[6]

劉加奇和袁文燕認為，空間飽和容量K在一些領域不是一成不變的，會隨著經濟發(fā)展、技術革新、生產力水平的提升等外界條件的改變而改變.他們建立了改進的Logistic模型[10]，既有兩個飽和值的、拉伸的雙S型曲線模型：

dxdt=rx1-xka1-xb2+c.（1）

式（1）中，dxxdt與x之間為特殊的三次多項式關系.本文將在此基礎上，進一步將方程擴展為更一般化的一元三次多項式，最終形成拉伸的雙S型曲線.

針對雙S型曲線的特點，它的變化率表現(xiàn)為慢→快→慢→快→慢的上升過程，對應的函數值變化為：上升→下降→上升→下降，類似于M型曲線的變化過程.這個過程最簡單的函數為四次多項式，考慮到當x數量為0時，變化率為0，且開口向下，因此，四次多項式的常數項為0，最高次項系數小于0.建立雙S曲線的最初微分模型：

dxdt=x（r1x3+r2x2+r3x+r4）

x（0）=x0.（2）

改進的logistic模型（3）式有以下特征：

（1） 相對增長率dxxdt=r1x3+r2x2+r3x+r4，當滿足r1<0，且r3-r223r1≤0時，相對增長率為非線性減函數，滿足經典Logistic模型的假設條件（3）中減函數的特征.

（2）當r1=r2=0，r3=-r0k，r4=r0時，改進的模型（2）式簡化為為經典Logistic模型，此時飽和值xm=k.

（3）當滿足r1=-arkb2

r2=rbab+2ak

r3=-r2ab+a+ck

r4=r（a+c）

時，改進的模型（2）式簡化為模型（1）式，此時兩個飽和點分別為x1m=k，x2m=b.

2改進logistic模型的應用

1978年，我國的城鎮(zhèn)化水平為17.55 %，隨著時間的推移，城鎮(zhèn)化水平穩(wěn)步增長，到1995年第一個拉伸的S型曲線已經顯現(xiàn)，第一個飽和值也越來越明顯.這個階段，我國改革開放政策已經實施了十多年，其效果開始顯現(xiàn)，我國在經濟、科技、工業(yè)、農業(yè)等方面實現(xiàn)了大幅度的快速增長，社會生產力水平明顯提升，各行各業(yè)的發(fā)展帶動了城市的全面發(fā)展，城市的擴建、城市基礎設施的完善，使得大批農村剩余勞動力涌向城市，城市出現(xiàn)了更大的容納空間，使得城鎮(zhèn)化水平在1995年趨向飽和的情況下出現(xiàn)快速增長的態(tài)勢.截止到2019年，我國城鎮(zhèn)化水平達到60.6%，未來還會進一步增長.但城市在擴展的同時也受到一些因素的限制，例如要保證國家正常耕地面積不受破壞、要保證城市的經濟、教育、醫(yī)療等方面的協(xié)調發(fā)展等，所以城鎮(zhèn)化率不可能無限制的增長下去，必然在一定的生產力、有限的城市環(huán)境下出現(xiàn)第二個空間容納值，即第二個城鎮(zhèn)化水平的飽和值，從而形成第二段拉伸的S型曲線.圖1為中國城鎮(zhèn)化水平隨時間的變化散

點圖.

2.1模型的應用

對微分方程dxdt=x（r1x3+r2x2+r3x+r4）求解.考慮到解析解比較困難，這里對其進行離散化，取Δ t=1年，則有改進的logistic模型（2）式的離散解：

x（t+1）=x（t）+Δx=x（t）+x（t）r1x（t）3+

r2t（t）2+r3x（t）+r4，t=0，1，2，….（3）

其中，ri，i=1，2，3，4為參數.對參數利用最小二乘法進行估計，可知：r1=-1.80×10-7，r2=-5.71×10-6，r3=0.001 06，r4=0.011 310 022.得到中國城鎮(zhèn)化水平的預測模型為：

dxdt=x-1.80×10-7x3-5.71×10-6x2+

0.001 06x+0.011 310 022

x（0）=17.44.（4）

對應的兩個飽和點可以從特征（3）的方程組求出，求解得到近似解飽和點x1m=35.229 1，x2m=

74.417 0.應用模型（4）進行擬合預測，得到19772030年中國城鎮(zhèn)化水平的擬合值與預測值.擬合曲線見圖2.

2.2改進的logistic模型對未來城鎮(zhèn)化水平的

預測利用三種模型對中國19772019年城鎮(zhèn)化水平進行了擬合，對三種模型的擬合誤差求平方.測試結果表明，經典logistic模型預測相對誤差平方和為4.462 9，雙S曲線模型預測相對誤差平方和為3.780 1，改進的logistic模型預測相對誤差平方和為3.692 3.改進的logistic模型預測準確度高于經典的logistic模型，略高于雙S曲線模型，預測更接近實際值.

改進的logistic模型對我國20202030年城鎮(zhèn)化預測結果見表1.到2030年，我國的城鎮(zhèn)化水平增長開始緩慢，接近第二個飽和點.也就是說，想要使我國的城鎮(zhèn)化水平繼續(xù)快速增長，達到發(fā)達國家水平，必須在2030年前創(chuàng)造社會生產力新的增長方式，才能保證我國的城鎮(zhèn)化水平有更大的發(fā)展空間.

3小結

本文在經典logistic模型的基礎上建立了改進的logistic模型，模型具有更廣的應用范圍.改進的logistic模型準確度相對更高，更可信.

參考文獻

[1]趙文英，于良娟，謝威，等.基于PCAFUZZY的城鎮(zhèn)化發(fā)展水平綜合評價[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2021（1）：1620.

[2]廖飛，謝威，趙寶江，等.灰色模型在牡丹江市城鎮(zhèn)居民收入預測中的應用[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2014（3）：34.

[3]王壽松.單種群生長的Logistic模型[J].生物數學學報，1990，5（1）：2125.

[4]王延臣，段俊生，王彥.人口預報與LOGISTIC模型的改進[J].統(tǒng)計與決策.2006，（22）：136137.

[5]趙文英，葛禮霞.基于改進Logistic模型的黑龍江省城鎮(zhèn)化水平預測[J].數學的實踐與認識，2013，43（13）：4449.

[6]馬知恩.種群生態(tài)學的數學建模與研究[M].合肥：安徽教育出版社，1996.1117.

[7]劉加奇，袁文燕.Logistic模型的改進——雙S形曲線模型的研究[J].數學的實踐與認識，2008（17）：6065.

編輯：琳莉