李文博,張芷毓,鄭友進,楊柳,馬佳,王珩,徐世峰

摘要：建立攪拌子的自旋運動微分方程，用豎直方向上動力學(xué)方程描述攪拌子運動狀態(tài).研究結(jié)果表明：攪拌子的懸浮狀態(tài)由攪的質(zhì)量、所受磁力的大小、轉(zhuǎn)速差和液體的粘滯系數(shù)共同決定;攪拌子的總運動狀態(tài)可以看做攪拌子擺動運動和旋轉(zhuǎn)運動的疊加狀態(tài);攪拌子懸浮狀態(tài)時的最佳實驗大小長度為5 mm;當(dāng)雷諾數(shù)較高時，流體徑向向外流動，流動的倒轉(zhuǎn)導(dǎo)致懸浮不穩(wěn)定.

關(guān)鍵詞：等效磁荷模型; 流體力學(xué); 磁懸浮; 徑向不穩(wěn)定

[中圖分類號]O441.2[文獻標(biāo)志碼]J

Study on Magneton Suspension in Viscous Fluid

LI Wenbo1 a，ZHANG Zhiyu1 b*，ZHENG Youjin2，YANG Liu1 a，MA Jia1 a，

WANG Heng1 a，XU Shifeng1 a

（1.Shenyang Aerospace University? a.College of Science;b.College of Automation，Shenyang 110136，China;

2.Mudanjiang Normal University，Physics and Electrical Engineering，Mudanjiang 157011，China）

Abstract：The differential equation of spin motion of the stirrer is established，and the state of motion of the stirrer is described by the kinetic equation in the vertical direction.The results show that the suspension state of the stirrer is determined by the mass of the stirrer，the magnetic force， the rotatingspeed difference and the viscosity coefficient of the liquid.The total motion state of the stirrer can be seen as a superposition of the oscillating and rotating motion of the stirrer; the optimal experimental size length when the stirrer is in suspension is 5 mm;when the Reynolds number is high，the fluid flows radially outward and the inversion of the flow leads to unstable suspension.

Key words：equivalent magnetic;charge model hydrodynamics;magnetic levitation;radial instability

1842年英國物理學(xué)家Earnshaw[12]提出磁懸浮概念：單靠永久磁鐵是不能將一個鐵磁體在所有六個自由度上都保持在自由穩(wěn)定的懸浮狀態(tài).1900年初，美國和法國的專家提出物體擺脫自身重力阻力并高效運營的猜想——也就是磁懸浮的早期模.1937年，德國人宵（Kemper）[3]申請了一項主動磁懸浮支承的專利，提出要采用可控電磁鐵才能實現(xiàn)穩(wěn)定的磁浮.這項專利成為磁懸浮列車和磁浮軸承研究的主導(dǎo)思想.弗吉尼亞（Virginia）大學(xué)的畢姆（Beams）和霍姆斯（Holmes）[4]采用電磁懸浮技術(shù)懸浮小鋼球，并通過鋼球在高速旋轉(zhuǎn)時所能承受的離心力測試試驗材料性能，測量過程中鋼球所達到的最高旋轉(zhuǎn)速度為1.8×107 rot/min，這可能是世界上最早采用磁懸浮技術(shù)支承旋轉(zhuǎn)體的應(yīng)用實例.磁懸浮研究主要是對磁懸浮列車、磁懸浮軸承以及無軸承電機的工業(yè)化研究，對磁懸浮原理的受力物體物理化受力分析稀缺.

在特定條件下“攪拌子”能在粘性流體中穩(wěn)定上升和懸浮，達到一個動態(tài)穩(wěn)定的狀態(tài).因此，運用磁力攪拌器研究攪拌子懸浮運動，建立等效磁荷模型和垂直耦合模型，可以研究不同轉(zhuǎn)速變化下攪拌子在旋轉(zhuǎn)磁鐵產(chǎn)生的磁場中的水平和豎直方向的受力狀況.筆者對粘性流體中的攪拌子進行流體力學(xué)和電磁學(xué)受力分析，解釋磁力攪拌器的“攪拌子”在攪拌時，在粘性流體中穩(wěn)定地上升和懸浮的原因，研究“攪拌子”動態(tài)穩(wěn)定的因素以及依賴的相關(guān)參數(shù).

研究運用MATLAB和SolidWork軟件進行仿真模擬實驗，在物理仿真軟件中進行數(shù)值計算，研究攪拌子內(nèi)部的受力情況以及外界條件對其動態(tài)穩(wěn)定的影響，為實驗研究提供數(shù)據(jù).

1模型建立

攪拌子受力分析方向主要分為水平和豎直兩個部分，水平方向上的受力平衡主要受磁力和粘滯阻力兩個方面影響.

1.1幾何模型

研究磁力對攪拌子的影響，通過實驗進行數(shù)值模擬.設(shè)定攪拌子規(guī)格為 φ 5 mm×20 mm，內(nèi)部為B形磁芯，磁鐵為20 mm×20 mm×8 mm的方形磁塊，磁鐵連接片具有良好的導(dǎo)磁性能.

簡化仿真模擬攪拌子受力，圖1和圖2為磁力攪拌器簡化模型.上方圓柱直徑78 mm，高67 mm，下方為釹磁鐵組成的磁力提供裝置.

1.2攪拌子懸浮水平方向受力分析

1.2.1等效磁荷模型的建立

當(dāng)轉(zhuǎn)動旋鈕時，驅(qū)動磁鐵開始轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)的兩塊磁鐵吸引攪拌子產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，此時攪拌子與磁場耦合.因為攪拌子產(chǎn)生的磁感線與兩個異號磁荷在空間中形成的磁感線相似，即可將攪拌子等效為磁偶極子.因此，在研究攪拌子受力以及其在磁場中的能量時，采用磁荷觀點構(gòu)建物理模型，見圖3.考慮攪拌子磁荷在旋轉(zhuǎn)磁場中對稱，將這一對磁偶極子簡化為一個磁單極子研究.[56]

1.2.2磁荷的計算

在磁場中有：B→=μ0H→. （1）

類比電荷得到遠場中的磁荷表達式：

H→=14πμ0Q1r2.（2）

計算其在平行方向上的分量：

H→=14πμ0Q1r2·2cosα.（3）

可以計算出

Q1=2πB（r2+L2）3/2r.（4）

1.2.3 慣性矩理論分析

偶極子在與磁場耦合時，根據(jù)剛體力學(xué)有：

L→=Imdθdt.（5）

其中，將攪拌子的質(zhì)量視為連續(xù)分布，則有

Im=∫r2dm.（6）

最終可知攪拌子所受的慣性矩為：

Imθ··=mr2d2θdt2.（7）

1.2.4攪拌子懸浮前動力學(xué)方程

磁偶極子在均勻磁場中所受合力為零，但會受到一個力矩的作用：

M→=Pm→×H→.（8）

對于一個旋轉(zhuǎn)的磁場，可以描述為：

H→=μB0ei ω0t.（9）

Pm→=q0×H→.（10）

假設(shè)粘滯阻力與速度成正比例關(guān)系，得到攪拌子的自旋運動微分方程為：

Imd2θdt2=-q0μ2iei（ω0t-θ）-e-i（ω0t-θ）-klθ.（11）

因為粘滯阻力，攪拌子轉(zhuǎn)速存在一個上限值，當(dāng)旋轉(zhuǎn)磁場轉(zhuǎn)速到達這個上限值時，粘滯阻力等于旋轉(zhuǎn)磁場提供的動力.繼續(xù)增大磁場的轉(zhuǎn)速，攪拌子脫耦，出現(xiàn)異步，攪拌子距離磁場高度越高，受力越小，所能達到的轉(zhuǎn)速越小.

1.3攪拌子懸浮垂直方向受力分析

1.3.1垂直運動耦合

考慮固定角度動力學(xué)方程，對垂直力提出以下模型，再次假設(shè)偶極子之間耦合（具有z-4的相關(guān)性）.

z··g′+z·vt-z0z4cos（θ-ωdt）+1=0.[1]（12）

其中，z為兩個磁極對準(zhǔn)φ=0和ωd=0平衡垂直分離時候的間隙長，vt為攪拌子在沒有任何磁力下平動的最終速度，g′為浮力修正后的重力加速度，實驗流體選取膠水，則

g′=ρ膠Vg-ρ水Vg/（ρV）=g-ρ水g/ρ膠≈4.9.

1.3.2攪拌子懸浮時豎直方向上動力學(xué)方程

在水平方向上解耦合后，攪拌子磁荷受到兩個旋轉(zhuǎn)磁荷的磁力

F→m±=14πμ0Q1Q2R2+r2±2Rrcos（θ）.（13）

其中，θ=2πnt，n為轉(zhuǎn)速，力的方向為磁荷連線方向.

該力在豎直方向的分量，既是磁荷懸浮的力：

Fmz=F→m·sinφ.（14）

所以：

Fmz=14πμ0Q1Q2·zR2+r2-2Rrcos（θ）3/2-

zR2+r2+2Rrcos（θ）3/2.（15）

考慮與磁荷豎直速度成比例的粘滯阻力與磁荷重力：

mz··=Fmc-mg-k1z·.[1]（16）

因此，攪拌子的懸浮狀態(tài)，由攪拌子的質(zhì)量所受磁力的大小、轉(zhuǎn)速差和液體的粘滯系數(shù)共同決定.

總之，兩塊磁鐵的狀態(tài)取決于角度，在低速情況下二者耦合，轉(zhuǎn)速增大到二者之間的角度差大于90°，此時攪拌子與磁場脫耦異步受到斥力.由公式（11）（12）可以推導(dǎo)出轉(zhuǎn)速差很小時，攪拌子不會解耦，而是會發(fā)生跳躍;質(zhì)量越大，穩(wěn)定懸浮高度越低;轉(zhuǎn)速差越大，穩(wěn)定懸浮高度越低，且上下波動幅度越小.因此，攪拌子的懸浮狀態(tài)由攪的質(zhì)量、所受磁力的大小、轉(zhuǎn)速差和液體的粘滯系數(shù)共同決定.

2流體對攪拌子的影響

2.1攪拌子在流體中的運動狀態(tài)

改變轉(zhuǎn)速，記錄攪拌子擺動狀態(tài)時角速度、旋轉(zhuǎn)運動時角速度，觀測攪拌子在不同時間內(nèi)整體轉(zhuǎn)動過的角度，實驗數(shù)據(jù)見圖4和圖5.擬合得出經(jīng)驗公式

θ（t）-θ0=Awsin（ωwt）+ωst.[1]（17）

公式（17）可以看做是自旋運動公式的一個解，對于攪拌子的總運動狀態(tài)，可以看做攪拌子擺動運動和旋轉(zhuǎn)運動的疊加狀態(tài).[78]

將旋轉(zhuǎn)速度、擺動角速度以及驅(qū)動角速度繪制在圖6中進行擬合，得出公式：

ωs+Awωw=32ωdown.（18）

ωw=ω2d-34ω2down.（19）

ω↓=2 33（ωs+Awωw）.（20）

2.2攪拌子在流體中的動力學(xué)特性

將攪拌子視為均勻圓柱體，則其在流場中振動時單位長度上受到的流體作用力為

F=-6πRdω2ωs1+R3δdωdt-6πη1+Rδω.（21）

δ=2ηωρ.（22）

ma=-6πRdω2ωs1+R3δ.（23）

ca=-6πR1+Rδω.（24）

其中，ωs為攪拌子振動頻率，ma為單位長度上的動力附加質(zhì)量，ca為單位長度上的動力附加阻尼，R為燒杯半徑，η為流體粘度.對二者無量綱化處理，最終得出

ma=33+kRη-φ-ω-1+k3Rδ.（25）

ca=11+kη-1+kRδ.（26）

2.3建立攪拌子在流場中的模型

當(dāng)攪拌子尺寸過大或者過小時，隨著粘滯系數(shù)增加，攪拌子難以跳起，攪拌子出現(xiàn)向邊緣漂浮現(xiàn)象;當(dāng)增加燒杯的半徑時，過大的燒杯會增加流體對攪拌子產(chǎn)生的附加質(zhì)量和附加阻尼，不易使攪拌子懸浮.[914]

2.3.1攪拌子規(guī)格的選取

攪拌子在流體中運動時，根據(jù)粘滯系數(shù)的表達公式

k=4πηllnlb.（27）

將攪拌子的長度設(shè)為自變量，在理論上可以通過研究攪拌子的大小對粘滯系數(shù)大小的影響，得出使附加阻尼最小的攪拌子大小.對k求偏導(dǎo)數(shù)之后，運用MATLAB軟件畫出k隨l的變化圖，見圖7和圖8.由圖7和圖8可知，攪拌子的大小約為5 cm時，粘滯系數(shù)達到最小值.

2.3.2對于漂移現(xiàn)象解釋的原因

理論上，假設(shè)攪拌子的運動與驅(qū)動磁鐵在相同的軸上，但是在實際的實驗中并沒有這樣的約束.在實驗中，攪拌子在低于臨界粘度的流體中保持在驅(qū)動磁鐵的重心位置.在計算上，采用的是排除流體慣性的無約束攪拌子數(shù)值模型，對于流體對攪拌子的影響過于簡化，也是徑向不穩(wěn)定的.這兩種結(jié)果都表明了徑向穩(wěn)定性的一個復(fù)雜的水動力起源.徑向不穩(wěn)定產(chǎn)生的原因有以下四點：沒有考慮流體慣性對攪拌子的約束，攪拌子無法保持與驅(qū)動磁鐵的中心位置保持一致，徑向流動方向不穩(wěn)定，振蕩引起邊界層厚度變化引起類似流動逆轉(zhuǎn).

2.3.3運動狀態(tài)研究

運用Tracker對攪拌子中心進行追蹤記錄，觀測其位置化.如圖9所示，在運動過程中，觀測攪拌子位置變化.

振蕩誘導(dǎo)流動下慣性力與粘性力之比

Res=2A2l2ρω/η.（28）

通過改變流體的種類反復(fù)進行實驗.當(dāng)Res=11.7±0.4，流體從攪拌子上面和側(cè)面被吸進，然后沿著攪拌子的軸流出.當(dāng)雷諾數(shù)Res=400±12，流體沿攪拌子軸線和軸上向內(nèi)被抽吸，并向外送至兩側(cè).故當(dāng)雷諾數(shù)較高時，流體徑向向外流動，流動的倒轉(zhuǎn)導(dǎo)致懸浮不穩(wěn)定.

2.4小結(jié)

（1）攪拌子在懸浮時是一種動態(tài)平衡：攪拌子的總運動是旋轉(zhuǎn)運動和擺動運動的疊加.

（2）過大過小的燒杯和攪拌子均對攪拌子的懸浮狀態(tài)造成影響.當(dāng)攪拌子的長度為5 mm時，攪拌子懸浮狀態(tài)最佳.

（3）漂移現(xiàn)象的產(chǎn)生是因為徑向不穩(wěn)定，原因有四點：沒有考慮流體慣性對攪拌子的約束，攪拌子無法保持與驅(qū)動磁鐵的中心位置一致，徑向流動方向不穩(wěn)定，振蕩引起邊界層厚度變化引起類似流動逆轉(zhuǎn).當(dāng)雷諾數(shù)較高時，流體徑向向外流動，流動的倒轉(zhuǎn)導(dǎo)致懸浮不穩(wěn)定.

3總結(jié)

本文以攪拌子和粘性流體為研究對象，研究攪拌子懸浮現(xiàn)象.從磁力和流體力學(xué)兩個角度出發(fā)，解釋懸浮前耦合、懸浮時、懸浮后期漂移現(xiàn)象這三個過程.采用數(shù)值模擬的方法，建立等效磁荷模型對物體受力進行分析，運用追蹤軟件Tracker軟件對攪拌子的運動軌跡進行追蹤.

（1）攪拌子的懸浮狀態(tài)由攪的質(zhì)量、所受磁力的大小、轉(zhuǎn)速差和液體的粘滯系數(shù)共同決定.攪拌子的狀態(tài)取決于二者間的角度，在低速的情況下二者耦合，轉(zhuǎn)速增大到二者之間的角度差大于90°時，攪拌子與磁場脫耦異步受到斥力;當(dāng)轉(zhuǎn)速差很小時，攪拌子不會解耦，而是會發(fā)生跳躍;攪拌子質(zhì)量越大，穩(wěn)定懸浮高度越低;轉(zhuǎn)速差越大，攪拌子穩(wěn)定懸浮高度越低，且上下波動幅度越小.

（2）攪拌子的總運動狀態(tài)可以看做攪拌子擺動運動和旋轉(zhuǎn)運動的疊加狀態(tài).攪拌子懸浮狀態(tài)時的最佳實驗長度為5 mm.

（3）攪拌子漂移現(xiàn)象的產(chǎn)生原因以及影響因素.由于沒有考慮流體慣性對攪拌子的約束，攪拌子無法保持與驅(qū)動磁鐵中心位置一致，徑向流動方向不穩(wěn)定，振蕩引起邊界層厚度變化引起類似流動逆轉(zhuǎn).當(dāng)雷諾數(shù)較高時，流體徑向向外流動，流動的倒轉(zhuǎn)導(dǎo)致懸浮不穩(wěn)定.

參考文獻

[1]Baldwin K A，de Fouchier J Betal.Magnetic Levitation Stabilized by Streaming Fluid Flows [J].Phys.Rev.Lett.，2018，121：064502.

[2]Earnshaw S，Trans.Cambridge Philos.Soc.[M].England：1842.7.

[3]Baldwin K A，Butler S Letal.Artificial tektites：an experimental technique for capturing the shapes of spinning drops [J].Sci.Rep.，2015（5）：7660.

[4]Subramaniam A B，Yang Detal.Noncontact orientation of objects in threedimensional space using magnetic levitation [J].Proc.Natl.Acad.Sci.U.S.A.，2014，111（36）：1298012985.

[5]袁振偉，褚福磊，王三保.橫向振動圓柱體在流體中的動力學(xué)特性 [J].工程力學(xué)，2006，23（8）：4952.

[6]冷春波，陳玉福，李建民，等.可調(diào)磁力攪拌器轉(zhuǎn)速對醬油中總酸和氨基酸態(tài)氮結(jié)果質(zhì)量控制的對比研究[J].河北醫(yī)學(xué)， 2013，19（9）：14361439.

[7]蔣井明，談巖舫.961型磁力攪拌器液體攪拌均勻性效果驗證[J].中國醫(yī)學(xué)裝備，2011，8（3）：3638.

[8]陳士清，李泉.懸浮式磁力攪拌器中磁力傳動裝置與永磁懸浮機構(gòu)的設(shè)計[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2013：425427.

[9]郭龍輝，張杰民，趙龍，等.一種植入式磁懸浮離心血泵的體外流體力學(xué)實驗研究[J].生物醫(yī)學(xué)工程研究，2011，30（2）：8285.

[10]唐志廉，邱永麟，丁瑞棟. 高粘性非牛頓流體攪拌的研究[J].化學(xué)工程，1989（4）：1420.

[11]JAMES Y.OLDSHUE，PH.D.PRESIDENT.螺旋攪拌器對高粘度流體與溶劑的混合所起作用[M].北京：中國農(nóng)業(yè)工程大學(xué)，1995：8083.

[12]張引.攪拌流化床干燥器流體力學(xué)特性和傳熱性能的研究[D].大連：大連理工大學(xué)：2002.

[13]朱孟正，趙春然.麥克斯韋方程組的四維協(xié)變形式[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2017（4）：3032.

[14]朱孟正，趙春然，蘇曉飛，張峰，袁廣宇，關(guān)于長細天線輻射的研究[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2007（3）：1819.

編輯：琳莉