劉鑒興, 張?zhí)祢U, 柏浩鈞, 葉紹鵬

(1. 重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院, 重慶 400065;2. 重慶郵電大學(xué)信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400065)

0 引 言

極化碼是2009年由Arikan根據(jù)信道極化現(xiàn)象提出的一種理論上可以達(dá)到香農(nóng)極限的信道編碼方案,該編碼技術(shù)相比于Turbo碼和低密度奇偶校驗(yàn)(low-density parity-check,LDPC)碼,其優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在編譯碼復(fù)雜度低、理論可達(dá)香農(nóng)極限以及在中短碼下?lián)碛懈玫恼`塊率(block error rate,BLER)性能等。由于極化碼優(yōu)異的性能,我國(guó)提出的極化碼方案被選定為5G中eMBB(增強(qiáng)移動(dòng)帶寬)場(chǎng)景控制信息信道的編碼方案?，F(xiàn)在中國(guó)的IMT-2020(5G)推進(jìn)組已經(jīng)在實(shí)用的場(chǎng)景下對(duì)極化碼進(jìn)行了測(cè)試,測(cè)試結(jié)果滿(mǎn)足國(guó)際電信聯(lián)盟對(duì)于傳輸速率、低通信時(shí)延和海量終端連接等要求。極化碼在衛(wèi)星通信和深空探測(cè)方面也有不錯(cuò)的應(yīng)用前景。

近幾年來(lái),信道編碼參數(shù)盲識(shí)別已成為非合作信號(hào)處理領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)問(wèn)題。極化碼是一種非系統(tǒng)線性分組碼,針對(duì)線性分組碼的盲識(shí)別研究比較多且較成熟。文獻(xiàn)[4]提出秩準(zhǔn)法,利用秩虧的現(xiàn)象識(shí)別線性分組碼碼長(zhǎng),但是該算法只能用于無(wú)誤碼的情況。文獻(xiàn)[5]利用高斯列消元后的分析矩陣,計(jì)算出各列列重及其均值和方差,并根據(jù)均值差值和方差差值來(lái)識(shí)別碼長(zhǎng)。文獻(xiàn)[6]將循環(huán)碼的候選校驗(yàn)矩陣與二進(jìn)制流構(gòu)造的截獲矩陣相乘,并根據(jù)判決門(mén)限得到的校驗(yàn)矩陣識(shí)別出碼長(zhǎng)、同步時(shí)刻和生成矩陣。文獻(xiàn)[7]針對(duì)里德-所羅門(mén)(Reed Solomon,RS)碼提出了一種軟判決算法,遍歷本原多項(xiàng)式進(jìn)行初始碼根匹配并利用平均校驗(yàn)符合度識(shí)別碼長(zhǎng)和本原多項(xiàng)式。除此之外,對(duì)于其他信道編碼的盲識(shí)別研究也較成熟,比如遞歸型系統(tǒng)卷積碼(recursive systematic convolutional code,RSC)、LDPC碼和Turbo碼。但是目前國(guó)內(nèi)外針對(duì)極化碼參數(shù)的盲識(shí)別研究很少,文獻(xiàn)[14]采用遍歷碼長(zhǎng)和刪除概率的方法來(lái)構(gòu)造零空間矩陣,通過(guò)與碼字比特流迭代相乘的匹配度來(lái)識(shí)別碼長(zhǎng)和信息比特位數(shù)。該方法需要遍歷兩個(gè)參數(shù),復(fù)雜度較大。文獻(xiàn)[15]通過(guò)刪除生成矩陣的一行來(lái)構(gòu)造對(duì)偶向量,根據(jù)不同碼長(zhǎng)的碼率特性來(lái)識(shí)別碼長(zhǎng)和信息比特位數(shù)和位置。該方法復(fù)雜度也較大,識(shí)別碼長(zhǎng)時(shí)需要正確識(shí)別每個(gè)碼長(zhǎng)下的碼率,這會(huì)大大降低可靠性。

由于極化碼屬于非系統(tǒng)碼,其分析矩陣不具有系統(tǒng)碼的一般性質(zhì),且沒(méi)有Turbo碼碼字與生成多項(xiàng)式之間的關(guān)系。所以傳統(tǒng)的方法無(wú)法有效地識(shí)別極化碼參數(shù)。針對(duì)極化碼識(shí)別困難的問(wèn)題,本文利用其生成矩陣已知且滿(mǎn)秩這一特性,提出了一種基于信息矩陣估計(jì)的極化碼參數(shù)盲識(shí)別算法。該算法首先利用生成矩陣的逆矩陣和截獲比特流構(gòu)造的碼字矩陣得到估計(jì)的信息矩陣,在無(wú)誤碼情況下根據(jù)映射之后的分析矩陣所含的信息識(shí)別出碼長(zhǎng)、信息比特位數(shù)和位置分布,在有誤碼的情況下利用分析矩陣在零均值比下的峰值識(shí)別出碼長(zhǎng),再根據(jù)該碼長(zhǎng)的分析矩陣識(shí)別出信息比特位數(shù)和位置分布。

1 極化碼原理

1.1 信道極化理論

信道極化理論是Arikan在2008年提出的,信道極化分為信道合并和信道分裂兩部分。信道合并指以遞歸的方式將給定的B-DMC(二進(jìn)制輸入離散無(wú)記憶信道)組合成矢量信道::→,這里的,分別表示輸入輸出符號(hào)集合,=2,≥0。遞歸從第0階(=0)開(kāi)始,遞歸的第1階(=1)是將兩個(gè)獨(dú)立的信道組合成信道:→,如圖1所示。

圖1 信道W2Fig.1 Channel W2

根據(jù)以上的遞歸規(guī)律,可以依次得到信道,,…,,…的結(jié)構(gòu)。信道的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 信道WN的結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of channel WN

圖2中,表示比特翻轉(zhuǎn)操作,目的是將輸入序列進(jìn)行重排,先排奇數(shù)元素,再排偶數(shù)元素。經(jīng)過(guò)Arikan教授的證明,當(dāng)趨近無(wú)窮的時(shí)候,子信道的容量會(huì)呈現(xiàn)兩極分化,一種是信道容量為1的無(wú)噪聲信道,另一種是信道容量為0的純?cè)肼曅诺馈?/p>

信道極化是極化碼的理論依據(jù),其編碼思想就是將信息比特用信道容量為1的無(wú)噪聲信道傳輸,凍結(jié)比特用信道容量為0的噪聲信道傳輸。

1.2 極化信道可靠性估計(jì)

信道可靠性估計(jì)是為了挑選出適合傳輸信息比特的信道。Arikan提出使用巴氏參數(shù)和對(duì)稱(chēng)信道容量來(lái)計(jì)算B-DMC的可靠性和信道的傳輸速率。首先介紹巴氏參數(shù)()和對(duì)稱(chēng)信道容量()的定義:

(1)

(2)

式中:(|)表示信道轉(zhuǎn)移概率;()是使用信道等概率傳輸0、1時(shí)的最高速率;()是當(dāng)傳輸0或1時(shí)最大似然判決錯(cuò)誤概率的上限。當(dāng)刪除概率為時(shí),就有()=,則()∈[0,1]。

對(duì)于任意B-DMC對(duì)稱(chēng)容量和巴氏參數(shù)之間都有如下關(guān)系:

(3)

(4)

可以得到當(dāng)巴氏參數(shù)()越小,對(duì)稱(chēng)信道容量()越大,信道就越可靠,反之則()越小,信道就越不可靠。

對(duì)于任意B-DMC子信道的巴氏參數(shù)計(jì)算遞歸過(guò)程如下:

(5)

(6)

當(dāng)信道為二進(jìn)制刪除信道(binary erasure channel, BEC)時(shí)式(5)中可以取等號(hào)。根據(jù)式(5)和式(6)可以計(jì)算出BEC各個(gè)子信道的錯(cuò)誤概率,比較大小就能得到錯(cuò)誤概率最小的個(gè)子信道。圖3給出了BEC信道在刪除概率為0.5時(shí),各個(gè)子信道的巴氏參數(shù)分布情況。從圖中可以看出經(jīng)過(guò)信道極化后巴氏參數(shù)趨近于0和1,即信道的可靠性呈現(xiàn)為兩個(gè)極端。

圖3 BEC巴氏參數(shù)分布Fig.3 Bhattacharyya parameter distribution in BEC

1.3 極化碼編碼

極化碼是一種二元線性分組碼,其碼字序列可以用信息序列和生成矩陣相乘得到:

(7)

=?

(8)

(9)

(10)

式中:表示2階單位矩陣。矩陣由變化得到,先將中奇數(shù)列排入前2列,再將偶數(shù)列排入后2列，和分別表示為

(11)

(12)

(13)

2 極化碼盲識(shí)別原理

2.1 識(shí)別數(shù)學(xué)模型

2.2 識(shí)別原理

??=,表示=2階單位矩陣。

采用數(shù)學(xué)歸納法證明

容易證明·=

假設(shè)?·?=2

根據(jù)克羅內(nèi)克積運(yùn)算可以得到?(+1)

(14)

那么

(15)

則有?·?=。

證畢

(16)

證畢

證畢

證畢

2.3 極化碼參數(shù)識(shí)別方法

(17)

式中:×表示×階的全1矩陣。定義()為×第列中元素1的比例減去元素-1的比例,即

(18)

式中:(=1,2,…,)表示×中第列向量;, 表示×中第行第列元素。當(dāng)不存在誤碼時(shí),×中凍結(jié)比特所對(duì)應(yīng)的列()=1,信息比特所對(duì)應(yīng)的列()會(huì)接近于0。當(dāng)誤碼較小的時(shí)候,凍結(jié)比特所對(duì)應(yīng)的列中1的比例將遠(yuǎn)大于-1的比例,即()值會(huì)大于0。當(dāng)誤碼較大時(shí),凍結(jié)比特所對(duì)應(yīng)的列中-1的比例會(huì)接近1的比例,即()值會(huì)接近0。這時(shí)就需要設(shè)定合適的門(mén)限值來(lái)區(qū)分對(duì)應(yīng)凍結(jié)比特所在位置還是信息比特所在位置。如果在進(jìn)行碼長(zhǎng)遍歷的時(shí)候每個(gè)碼長(zhǎng)下都進(jìn)行門(mén)限的求取和判決,不僅會(huì)大大增加復(fù)雜度而且還會(huì)降低可靠度,當(dāng)遍歷其中一個(gè)碼長(zhǎng)時(shí),信息比特位數(shù)識(shí)別錯(cuò)誤將會(huì)導(dǎo)致整體碼率的識(shí)別錯(cuò)誤。為了規(guī)避這個(gè)問(wèn)題本文引入了零均值比的概念:

(19)

式中:()表示該碼長(zhǎng)下矩陣×中元素1的比例減去元素-1的比例,由于當(dāng)遍歷碼長(zhǎng)小于真實(shí)碼長(zhǎng)時(shí),碼率會(huì)大于真實(shí)碼率,這會(huì)導(dǎo)致矩陣×中信息比特位置對(duì)應(yīng)的列數(shù)增多,×中元素1的比例就會(huì)降低,則()會(huì)小于真實(shí)碼長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的()。當(dāng)遍歷碼長(zhǎng)大于真實(shí)碼長(zhǎng)時(shí),碼率等于真實(shí)碼率,但是×會(huì)包含更多的誤碼,導(dǎo)致其中元素1的比例降低,則()也會(huì)小于真實(shí)碼長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的()。所以可以得出結(jié)論,當(dāng)遍歷碼長(zhǎng)等于真實(shí)碼長(zhǎng)時(shí),()會(huì)出現(xiàn)峰值。因此，可以作為識(shí)別碼長(zhǎng)的依據(jù),即

(20)

識(shí)別出碼長(zhǎng)后,再根據(jù)×中各列的()值以及門(mén)限識(shí)別出信息比特位數(shù)以及位置。

2.4 求取門(mén)限

由于在實(shí)際通信過(guò)程中,分析矩陣×會(huì)受到誤碼影響,通過(guò)分析×中信息比特和凍結(jié)比特對(duì)應(yīng)列的(),可以得到兩種不同的分布特性。再根據(jù)極大極小準(zhǔn)則得到判決門(mén)限,×中()<對(duì)應(yīng)列的索引就為信息比特位置,反之為凍結(jié)比特位置。具體過(guò)程如下。

(21)

那么,×中第行第列元素, 就可以表示為

(22)

當(dāng)誤碼率為時(shí),對(duì)應(yīng)凍結(jié)比特所在的位置。, =0要成立,需要誤碼的位置發(fā)生在生成多項(xiàng)式系數(shù)不為0的位置上，且誤碼個(gè)數(shù)為0或者為偶數(shù)。所以, =0的概率就為

(23)

因?yàn)樵诜呛献餍诺乐胁恢老闰?yàn)信息,所以采用極大極小化準(zhǔn)則來(lái)求解門(mén)限。假設(shè)對(duì)應(yīng)信息比特所在的列的事件為H,對(duì)應(yīng)凍結(jié)比特所在的列的事件為H。在二元通信系統(tǒng)中通常采用==0,==1的代價(jià)因子。極大極小化代價(jià)的條件為

(|H)=(|H)

(24)

又因?yàn)樗迫缓瘮?shù)為

(25)

(26)

設(shè)判決門(mén)限為,則有

(27)

求解出極大極小化準(zhǔn)則下的判決門(mén)限為

(28)

2.5 極化碼參數(shù)識(shí)別步驟

根據(jù)式(19)得到該遍歷碼長(zhǎng)下的()。如果=10遍歷結(jié)束執(zhí)行步驟6;反之,=+1執(zhí)行步驟1。

比較所有遍歷碼長(zhǎng)下的碼率,并根據(jù)遍歷碼長(zhǎng)大于等于真實(shí)碼長(zhǎng)后碼率不變這一特點(diǎn)識(shí)別碼長(zhǎng),輸出該碼長(zhǎng)下的信息比特位數(shù)以及位置。

比較所有遍歷碼長(zhǎng)下的()值,根據(jù)式(20)識(shí)別出碼長(zhǎng),根據(jù)識(shí)別出的碼長(zhǎng)計(jì)算信息矩陣的各列門(mén)限值,統(tǒng)計(jì)分析矩陣中()<的數(shù)量和位置,其值就為信息比特位數(shù),其位置就為信息比特位置。

3 仿真分析

3.1 無(wú)誤碼仿真驗(yàn)證

本節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)是以參數(shù)(32,12)、(64,32)和(128,64)的極化碼為例來(lái)進(jìn)行分析,接收端接收到了無(wú)誤碼的500組碼字比特流,且通過(guò)二進(jìn)制刪除信道進(jìn)行傳輸,二進(jìn)制刪除概率=01。各個(gè)遍歷碼長(zhǎng)求出的碼率和分析矩陣各列()如圖4所示。

圖4 無(wú)誤碼碼長(zhǎng)、信息比特位數(shù)以及位置識(shí)別Fig.4 Error free code length, information bits and location identification

從圖4(a)可以看出當(dāng)遍歷碼長(zhǎng)指數(shù)<5時(shí),碼率大于0375,這與推論1是一致的,當(dāng)≥5時(shí),碼率一直保持0375不變,那么真實(shí)碼長(zhǎng)=2=32,這與第22節(jié)分析的結(jié)果一致。同理可得圖4(b)和圖4(c)的真實(shí)碼長(zhǎng)分別為64和128。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)真實(shí)碼長(zhǎng)較長(zhǎng)與碼長(zhǎng)較短的極化碼相比,變成同樣較小碼長(zhǎng)的極化碼時(shí),其碼率會(huì)越大。這就說(shuō)明推論2中碼率的大小也有遞推關(guān)系,碼率會(huì)隨著碼長(zhǎng)變短而增大。圖4(d)、圖4(e)和圖4(f )中凍結(jié)比特所對(duì)應(yīng)的列()值都為1,信息比特所對(duì)應(yīng)的列()值都接近于0,這與第23節(jié)分析的結(jié)果一致。無(wú)誤碼情況下的識(shí)別由于不需要做門(mén)限的判決,各遍歷的碼長(zhǎng)下分析矩陣各列的()=1的就識(shí)別為凍結(jié)比特的位置,其余都為信息比特的位置。

3.2 誤碼仿真驗(yàn)證

誤碼條件下的識(shí)別仿真也選取參數(shù)為(32,12)、(64,32)和(128,64)的極化碼進(jìn)行分析。條件設(shè)置與第31節(jié)相同,誤碼率=002。各遍歷碼長(zhǎng)對(duì)應(yīng)分析矩陣的零均值比(),估計(jì)碼長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的()如圖5所示。

從圖5(a)～圖5(c)可以看出,當(dāng)遍歷碼長(zhǎng)小于真實(shí)碼長(zhǎng)時(shí),()會(huì)小于真實(shí)碼長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的(),當(dāng)遍歷碼長(zhǎng)大于真實(shí)碼長(zhǎng)時(shí),()也會(huì)小于真實(shí)碼長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的(),這與第33節(jié)分析的結(jié)果一致。峰值對(duì)應(yīng)的碼長(zhǎng)就為真實(shí)碼長(zhǎng)64和128。圖5(d)、圖5(e)和圖5(f )分別是碼長(zhǎng)32、64和128對(duì)應(yīng)的()值。圖中顯示各列的門(mén)限值,可見(jiàn)()小于門(mén)限值的個(gè)數(shù)就為信息比特位數(shù),對(duì)應(yīng)位置就為信息比特位置,這與推論1和推論2是一致的。

圖5 有誤碼碼長(zhǎng)、信息比特位數(shù)以及位置識(shí)別Fig.5 Error code length, information bits and position recognition

3.3 性能分析

碼字組數(shù)對(duì)識(shí)別性能的影響

本實(shí)驗(yàn)選取(64, 30)的極化碼進(jìn)行仿真分析,設(shè)定截獲碼字組數(shù)分別為100、300和500,采用本文算法同時(shí)對(duì)碼長(zhǎng)、信息比特位數(shù)和位置進(jìn)行估計(jì)。刪除概率=0.4,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為500。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同碼字組數(shù)的識(shí)別率Fig.6 Recognition rate of different code word groups

從圖6可以看出碼長(zhǎng)和信息比特的正確識(shí)別率隨截獲碼字組數(shù)增加而提高。所以可以通過(guò)增加碼字組數(shù)來(lái)提高算法的容錯(cuò)性。并且本算法在截獲碼字組數(shù)為100時(shí),仍然有較好的容錯(cuò)性。

碼長(zhǎng)對(duì)識(shí)別性能影響

本實(shí)驗(yàn)選取碼長(zhǎng)為32、64和128的極化碼進(jìn)行仿真分析,設(shè)定碼率都為1/2,碼字組數(shù)為500。采用本文算法同時(shí)對(duì)碼長(zhǎng)、信息比特位數(shù)和位置進(jìn)行估計(jì)。其余參數(shù)設(shè)置與實(shí)驗(yàn)1相同。仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同碼長(zhǎng)的識(shí)別率Fig.7 Recognition rate of different code lengths

從圖7結(jié)果中可以看出,碼長(zhǎng)為32時(shí),在同誤碼率下,碼長(zhǎng)、信息比特位數(shù)以及位置的識(shí)別率是最高的,隨著碼長(zhǎng)的增加,相關(guān)參數(shù)識(shí)別率逐漸降低。這是因?yàn)榇a長(zhǎng)越長(zhǎng),分析矩陣中誤碼出現(xiàn)的次數(shù)也就越多,對(duì)參數(shù)的正確識(shí)別影響也就越大。但是,對(duì)于碼長(zhǎng)為128的極化碼,在誤碼率為9×10的條件下,碼長(zhǎng)識(shí)別率依然能達(dá)到90%以上。

不同算法識(shí)別性能對(duì)比

本實(shí)驗(yàn)將對(duì)比分析本文算法和文獻(xiàn)[14]算法對(duì)碼長(zhǎng)的識(shí)別性能。選取的極化碼參數(shù)分別為(32,12)、(64,30)和(128,60),刪除概率=0.5,截獲碼字組數(shù)為200,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為500,對(duì)比結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同算法的碼長(zhǎng)識(shí)別率Fig.8 Code length recognition rate of different algorithms

從圖8結(jié)果來(lái)看,本文算法對(duì)碼長(zhǎng)的識(shí)別性能要遠(yuǎn)好于文獻(xiàn)[14]算法。設(shè)定碼長(zhǎng)識(shí)別率為80%以上,對(duì)于3組極化碼,文獻(xiàn)[14]算法所允許的誤碼率分別為7.09×10、6.52×10、3.56×10,而本文算法所允許的誤碼率分別為1.65×10、1.06×10、7.54×10。由于本文算法規(guī)避了在遍歷碼長(zhǎng)時(shí)對(duì)每個(gè)信息比特位置搜索這個(gè)問(wèn)題,引入零均值比提高了整體碼長(zhǎng)的識(shí)別性能。所以本文算法針對(duì)碼長(zhǎng)的識(shí)別時(shí),在誤碼率高的時(shí)候有更好的穩(wěn)健性。

3.4 計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比分析

文獻(xiàn)[14]算法的計(jì)算復(fù)雜度主要集中在求零空間矩陣和計(jì)算匹配度。參數(shù)設(shè)置與本論文算法相同,該算法在不同遍歷碼長(zhǎng)都會(huì)求取零空間矩陣,其計(jì)算復(fù)雜度約為(23),再與信息比特流迭代相乘并計(jì)算匹配度,其計(jì)算復(fù)雜度約為(2)。信息比特位數(shù)以及位置是通過(guò)遍歷信息位數(shù)構(gòu)造零空間矩陣來(lái)識(shí)別的,其復(fù)雜度約為(23),于是總的復(fù)雜度約為(23)。綜上,本文算法計(jì)算復(fù)雜度更低。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用極化碼生成矩陣的逆矩陣為自身這一性質(zhì),與截獲比特流構(gòu)造的碼字矩陣相乘得到估計(jì)的信息矩陣,在無(wú)誤碼情況下利用分析矩陣所含的信息推出碼率隨碼長(zhǎng)的分布情況,從而完成對(duì)碼長(zhǎng)和信息比特位數(shù)和位置的識(shí)別。為了提高在有誤碼情況下識(shí)別的可靠性,引入了零均值比計(jì)量,根據(jù)峰值識(shí)別出碼長(zhǎng),再根據(jù)分析矩陣各列的統(tǒng)計(jì)特性識(shí)別出信息比特位數(shù)和位置。與其他算法相比,本文算法對(duì)碼長(zhǎng)的識(shí)別效果更好,抗噪聲性能更強(qiáng),復(fù)雜度更低,具有更高的工程應(yīng)用價(jià)值。