汪余婷, 劉 麗

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

自文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]提出量子糾錯(cuò)碼以來(lái),量子碼的相關(guān)研究開始受到關(guān)注。量子糾錯(cuò)是量子計(jì)算和量子通信得以實(shí)現(xiàn)的重要保證,是信息科學(xué)的一個(gè)重要組成部分;循環(huán)碼作為經(jīng)典糾錯(cuò)碼中的重要環(huán)節(jié),在量子糾錯(cuò)方面具有重要作用。本文主要研究的是Fq上碼長(zhǎng)為4ps的重根循環(huán)碼,并利用它們構(gòu)造量子碼。

本文基于Steane擴(kuò)展構(gòu)造,給出Fq上線性碼C為自正交碼的條件,構(gòu)造幾類參數(shù)較好的非二元量子碼。根據(jù)在Fq上碼長(zhǎng)為4ps的重根循環(huán)碼的最小漢明距離以及對(duì)偶包含的關(guān)系,確定自正交碼的條件;根據(jù)Steane擴(kuò)展構(gòu)造的相關(guān)內(nèi)容,構(gòu)造幾類參數(shù)較好的量子碼。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

眾所周知,Fq[x]/〈xn-1〉的任一個(gè)理想都是主理想,即C=〈g(x)〉,其中g(shù)(x)是首一的且滿足g(x)|(xn-1),被稱為生成多項(xiàng)式。碼C的對(duì)偶定義為:

長(zhǎng)度為n維數(shù)為k的q進(jìn)制量子碼是希爾伯特空間H=Cqn=Cq?…?Cq的子空間。設(shè)|x>是Cq的正交基且x、a、b∈Fq。在Cq上,定義X(a)|x>=|x+a>和Z(b)|x>=ωtr(bx)×|x>,其中tr是從Fpm到Fp的跡映射,且ω=exp(2πi/p)是p次本原單位根。

X1(a)=X1(a1)?X1(a2)?…?X1(an),

X2(a)=X2(a1)?X2(a2)?…?X2(an),

若C是[[n,k,d]]q量子碼,則k≤n-2d+2,稱該界為量子Singleton界;若量子碼C的參數(shù)滿足k=n-2d+2,則稱C為量子最大距離可分(maximum distance separable,MDS)碼。

2 長(zhǎng)度為4ps重根循環(huán)碼的漢明距離

設(shè)C是Fq上碼長(zhǎng)為4ps的循環(huán)碼,則C是環(huán)R=Fq[x]/〈x4ps-1〉的一個(gè)理想。

下面給出Fq上碼長(zhǎng)為4ps的循環(huán)碼包含其對(duì)偶碼的充要條件。

結(jié)合文獻(xiàn)[26]給出的Fpm上碼長(zhǎng)為4ps的最小漢明距離,對(duì)偶包含碼的漢明距離見表1～表3所列。

表1 對(duì)偶包含碼Ci,j,k的漢明距離

3 構(gòu)造量子碼

本節(jié)根據(jù)長(zhǎng)度為4ps的重根循環(huán)碼構(gòu)造幾類量子碼。

定理2 設(shè)q是奇素?cái)?shù)p的冪次,若s≥2或p≥5且s=1,則存在一個(gè)參數(shù)為[[4ps,4ps-ps-1-4,3]]q的量子碼。

證明考慮Fq上碼長(zhǎng)為4ps的循環(huán)碼

Ci,j,k=〈(x-1)i(x+1)j(x2+1)k〉,

其中:i=ps-1+1;j=0且k=1。

例1設(shè)q=p≥5且s=1,則存在一個(gè)p元參數(shù)為[[4p,4p-5,3]]q的量子碼。由量子Singleton界可知,這是一個(gè)碼長(zhǎng)為4p且最小距離為3的q元量子碼,其維數(shù)是4p-4。經(jīng)驗(yàn)證,這是一個(gè)參數(shù)較好的量子碼。

定理3設(shè)q是奇素?cái)?shù)p的冪次,若s≥2或p≥7且s=1,則存在一個(gè)參數(shù)為[[4ps,4ps-3ps-1-6,4]]q的量子碼。

證明考慮Fq上碼長(zhǎng)為4ps的循環(huán)碼

Ci,j,k=〈(x-1)i(x+1)j(x2+1)k〉,

其中:i=2ps-1+1;j=0且k=1。

例2 設(shè)q=p≥7且s=1,則存在一個(gè)p元參數(shù)為[[4p,4p-9,4]]q的量子碼。由量子Singleton界可知,這是一個(gè)碼長(zhǎng)為4p且最小距離為4的q元量子碼,其維數(shù)是4p-8,是一個(gè)參數(shù)較好的量子碼。

定理4 設(shè)q是奇素?cái)?shù)p的冪次,且q≡1(mod 4),若s≥2或p≥5且s=1,則存在一個(gè)參數(shù)為[[4ps,4ps-ps-1-3,3]]q的量子碼。

證明考慮Fq上碼長(zhǎng)為4ps的循環(huán)碼

Ci,j,k,l=〈(x-1)i(x+1)j(x-δ)k(x+δ)l〉,

其中:δ2=-1;i=ps-1+1;j=l=0且k=1。

例3設(shè)q=p≥5且s=1,則存在一個(gè)p元參數(shù)為[[4p,4p-4,3]]q的量子碼。由量子Singleton界可知,這是一個(gè)碼長(zhǎng)為4p且最小距離為3的q元量子碼,其維數(shù)是4p-3,是一個(gè)參數(shù)較好的量子碼。

定理5 設(shè)q是奇素?cái)?shù)p的冪次,且q≡1(mod 4),若s≥2或p≥7且s=1,則存在一個(gè)參數(shù)為[[4ps,4ps-3ps-1-5,4]]q的量子碼。

證明考慮Fq上碼長(zhǎng)為4ps的循環(huán)碼

Ci,j,k,l=〈(x-1)i(x+1)j(x-δ)k(x+δ)l〉,

其中:δ2=-1;i=2ps-1+1;j=k=1且l=0。

表2 0≤l≤j≤k≤i≤ps時(shí)對(duì)偶包含碼Ci,j,k,l的漢明距離

例4設(shè)q=p≥7且s=1,則存在一個(gè)p元參數(shù)為[[4p,4p-8,4]]q的量子碼。由量子Singleton界可知,這是一個(gè)碼長(zhǎng)為4p且維數(shù)是4p-8,其最小距離最大為5的q元量子碼,因此是一個(gè)近似MDS碼。

定理6 設(shè)q是奇素?cái)?shù)p的冪次,且q≡1(mod 4),若s≥2或p≥7且s=1,則存在一個(gè)參數(shù)[[4ps,4ps-ps-1-6,3]]q的量子碼。

證明考慮Fq上碼長(zhǎng)為4ps的循環(huán)碼

Ci,j,k,l=〈(x-1)i(x+1)j(x-δ)k(x+δ)l〉,

其中:δ2=-1;i=2ps-1+1;j=k=1且l=0。

表3 0≤l≤k≤j≤i≤ps時(shí)對(duì)偶包含碼Ci,j,k,l的漢明距離

例5 設(shè)q=p≥7且s=1,則存在一個(gè)p元參數(shù)為[[4p,4p-8,3]]q的量子碼。由量子Singleton界可知,這是一個(gè)碼長(zhǎng)為4p且維數(shù)是4p-8的q元量子碼,其最小距離最大為5的q元量子碼,因此是一個(gè)近似MDS碼。

5 結(jié) 論

本文在Fq上碼長(zhǎng)為4ps重根循環(huán)碼的基礎(chǔ)上,基于Steane擴(kuò)展構(gòu)造,構(gòu)造了幾類極小距離、維數(shù)等參數(shù)均有改進(jìn)的非二元量子碼。利用循環(huán)碼的其他碼長(zhǎng)來(lái)構(gòu)造新的參數(shù)較好的量子碼是進(jìn)一步可以研究的問題。