胡飛，宋燕平，黃志榮，李怡晨，馬小飛,*，李婉

1. 中國空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710100 2. 陜西科技大學(xué) 電子信息與人工智能學(xué)院，西安 710100

1 引言

構(gòu)架式空間可展開天線是一種由多基本單元組合而成的大型桁架結(jié)構(gòu)[1]，在航天領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛，具有收納比高、精度高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性好等特點。通過改變基本單元連接形式可靈活構(gòu)造桁架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，可滿足不同天線反射面的設(shè)計要求[2]。目前已有多個大型構(gòu)架式可展開天線成功應(yīng)用于空間探索。

天線構(gòu)型設(shè)計是可展開天線相關(guān)理論研究中較基礎(chǔ)的研究問題。由于構(gòu)架式可展開天線反射器屬于空間多鏈路耦合機(jī)構(gòu)，其構(gòu)型綜合難度較大，需從本質(zhì)出發(fā)，對可展開天線構(gòu)型進(jìn)行綜合和分析，提高可展開天線的結(jié)構(gòu)性能和運(yùn)動協(xié)調(diào)性?？臻g多鏈路耦合機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合主要有四類方法：圖論、幾何法、位移群論和螺旋理論。Warnaar借助于圖論的方法首次對空間可展開機(jī)構(gòu)進(jìn)行了系統(tǒng)的綜合[3,4]，并在自由度計算公式列舉法的基礎(chǔ)上提出了關(guān)節(jié)鉸鏈的分配方法。對于簡單可展Bennett機(jī)構(gòu)[5, 6]、Myard機(jī)構(gòu)[7]和Bricard機(jī)構(gòu)[8]，Li用幾何參數(shù)法解釋了上述簡單機(jī)構(gòu)的能動性，發(fā)現(xiàn)了一些新穎的可展機(jī)構(gòu)[9]。Herné通過位移集(群)的非空子集(復(fù)數(shù))表示任意一組剛體位置，表征了給定機(jī)構(gòu)的任何一對剛體之間的連接方式[10]。Liu根據(jù)四面體單元的多鏈路耦合特性，構(gòu)造了四面體單元的等效機(jī)構(gòu)，化簡了多單元組成的構(gòu)架式天線結(jié)構(gòu)，獲得了全R四面體單元構(gòu)架反射器機(jī)構(gòu)的自由度[11]。

上述文獻(xiàn)對多鏈路耦合機(jī)構(gòu)的構(gòu)型進(jìn)行了分析研究，特別是針對四面體單元構(gòu)架式天線研究較多，如圖1所示。由于四面體單元構(gòu)架式天線桿件及花盤等構(gòu)件眾多，且各同步桿長度不等長，因此現(xiàn)階段構(gòu)架式天線模型設(shè)計步驟較為復(fù)雜[12]。另一方面，四面體單元構(gòu)架式天線機(jī)構(gòu)自由度多，在各同步桿中心鉸鏈處添加扭簧來驅(qū)動天線展開[13]。由于驅(qū)動能量巨大，造成天線展開不可控的現(xiàn)象，這給天線的展開可靠性帶來巨大的不確定性。因此，結(jié)合構(gòu)架式可展開天線的發(fā)展趨勢，需設(shè)計一種自由度較少的模塊化構(gòu)架式天線，既能滿足收納比(工作表面的投影在展開與收攏完全時面積的比值)大，又能滿足可控展開的特點。

圖1 四面體單元構(gòu)架式天線Fig.1 A truss antenna composed of tetrahedral elements

2 模塊化構(gòu)架天線結(jié)構(gòu)設(shè)計

2.1 基本模塊選擇

大型構(gòu)架式可展開天線主要采用模塊組合思想，首先應(yīng)確定模塊結(jié)構(gòu)與構(gòu)型。為保證模塊結(jié)構(gòu)簡單，需滿足兩個設(shè)計要求：1)模塊為單自由度可展機(jī)構(gòu)；2)模塊具有封閉的桁架結(jié)構(gòu)，提高整體剛度。傳統(tǒng)的構(gòu)架式可展天線由四面體單元組合而成，在構(gòu)型為3RR-3RRR的四面體單元可展機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)上，利用3個構(gòu)型為3RR-3RRR四面體單元共用一個花盤的特點構(gòu)建平面模塊，同時要求桁架結(jié)構(gòu)是封閉的，模塊構(gòu)型為3(3RR-3RRR)-3RRR-3RRR，如圖2所示。此模塊機(jī)構(gòu)的自由度為1[14]，即只需一個驅(qū)動可使模塊由收攏狀態(tài)變?yōu)檎归_狀態(tài)，可稱之為單自由度模塊。

圖2 3(3RR-3RRR)-3RRR-3RRR模塊Fig.2 3 (3RR-3RRR)-3RRR-3RRR module

2.2 反射面幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計

四面體單元構(gòu)架式天線采取各單元共用花盤的連接組網(wǎng)形式，而模塊化構(gòu)架式天線采用花盤與花盤連接的組網(wǎng)形式，由相同構(gòu)型的模塊拼接組裝形成，如圖3所示。模塊化構(gòu)架式天線反射面為球面或拋物面，網(wǎng)格劃分由正六邊形模塊組成，所有模塊的構(gòu)型相同，且單個模塊由3個相同構(gòu)型的四面體單元組成，并且組成單個模塊的3個四面體單元尺寸相等。

圖3 模塊化構(gòu)架天線反射器Fig.3 Module networking

若兩圈六邊形節(jié)點都在同一個球面O上，形成球面反射器，設(shè)球面半徑為R，中心模塊正六邊形①的邊長為l1，周邊模塊正六邊形②的邊長為l2。對球面反射器進(jìn)行正視投影和俯視投影，如圖4所示。

圖4 正視投影和俯視投影Fig.4 Orthographic projection and downward projection

當(dāng)周邊模塊正六邊形②的邊長與中心模塊正六邊形①的邊長滿足下列關(guān)系：

(1)

已知被擬合的模塊化構(gòu)架式天線反射面的焦距為p=1 000 mm，根據(jù)最小二乘法[15]求得的擬合球面半徑為R=3 000 mm，擬合球面方程表達(dá)式為：

(2)

圖5 模塊化構(gòu)架式天線反射器Fig.5 Modular truss antenna reflector

3 多模塊構(gòu)型設(shè)計

模塊間的連接不再采用共用花盤的方式，而是采用花盤與花盤相連接的方式，即在模塊間的兩花盤間添加某種運(yùn)動副。為了保障天線正常展開至工作狀態(tài)，對模塊化構(gòu)架式可展開天線構(gòu)型機(jī)理必須給予充分研究。首先在模塊間添加轉(zhuǎn)動副(R)的連接方式，從圖6中可以看出三個相鄰的任意模塊組合為一個復(fù)雜的多環(huán)耦合結(jié)構(gòu)，為簡化模型，取出三模塊組成的閉環(huán)機(jī)構(gòu)，構(gòu)型為3(7R)-3R，如圖7所示。

圖6 多模塊組合單元Fig.6 Multi-module unit

圖7 3(7R)-3R機(jī)構(gòu)Fig.7 3(7R)-3R mechanism

采用等效法[16-18]，對圖7所示的耦合機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析。首先考慮由腹桿和同步桿組成的單閉環(huán)機(jī)構(gòu)7R，如圖8所示。單閉環(huán)機(jī)構(gòu)可看成兩條鏈組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)：一條支鏈為S1-S2-S3-S4-，另一條支鏈為S5-S6-S7-?；ūPC為動平臺，花盤D為定平臺。

圖8 單閉環(huán)機(jī)構(gòu)Fig.8 single closed-loop mechanism

(3)

式中：S1、S2、S3、S4鉸鏈中心位置的坐標(biāo)分別為P1(xjyjzj)、P2(xiyi0)、P3(xi-yi0)、P4(xj-yjzj)。

根據(jù)螺旋理論可知支鏈的運(yùn)動螺旋和約束螺旋的互易積為0，即：

S/m°S/r=0

(4)

式中：S/m為運(yùn)動螺旋，S/r為約束螺旋，“°”代表兩旋量的互易積符號。

可通過求上述螺旋的反螺旋可得S1-S2-S3-S4-支鏈提供給花盤C的約束螺旋。求得的約束螺旋系為：

(5)

支鏈S5-S6-S7-的運(yùn)動螺旋系為：

(6)

式中：S5、S6、S7鉸鏈中心位置的坐標(biāo)為P5(xkykzk)、P6(xmymzm)、P7(xk-ykzk)。

求得支鏈S5-S6-S7-的約束螺旋系為：

(7)

(8)

求得花盤C的等效運(yùn)動螺旋為：

(9)

由此可知花盤C在天線收展時是沿著矢量方向(0 1 0)移動的即沿著y軸運(yùn)動，閉環(huán)機(jī)構(gòu)可等效為一個花盤C與花盤D連線方向上的移動副。同理可知，另兩個由腹桿和同步桿組成的閉環(huán)機(jī)構(gòu)也可等效為移動副，則圖7可轉(zhuǎn)化為圖9。

圖9 三模塊等效機(jī)構(gòu)Fig.9 Three-module equivalent mechanism

將圖9中相近的兩花盤及相連的轉(zhuǎn)動副(R)看作為一個廣義花盤，則圖9轉(zhuǎn)化為兩支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)：支鏈P1-P2-和支鏈P3-，如圖10所示，動平臺為B′，定平臺為C′。由于3個移動副(P)的方向軸線處于同一平面，以三模塊形成曲面的中心點為原點，3個移動副(P)的方向軸線組成的平面的法線方向為z軸，移動副P2的軸線方向為y軸，建立坐標(biāo)系。

圖10 3P并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.10 3P parallel mechanism

支鏈P1-P2-的在空間坐標(biāo)系中的運(yùn)動螺旋系為：

(10)

式中：(D1E10)、(0 1 0)分別為移動副P1、P2的運(yùn)動方向。

則此支鏈的約束螺旋系為：

(11)

支鏈P3-的在空間坐標(biāo)系中的運(yùn)動螺旋為：

S/P3=(0 0 0;D3E30)

(12)

式中：(D3E30)為移動副P3的運(yùn)動方向。 則此支鏈的約束螺旋系為：

(13)

由式(11)與式(13)可知，圖10中所示機(jī)構(gòu)的公共約束螺旋為：

(14)

則動平臺受到支鏈與支鏈提供的公共約束力有4個，即λ=4，則機(jī)構(gòu)的階數(shù)為：

d=6-λ=2

(15)

根據(jù)修正的Kutzbach-Grübler公式[19]可求得等效機(jī)構(gòu)自由度。

2(3-3-1)+3+0-0=1

(16)

式中：n表示機(jī)構(gòu)桿件數(shù)目；g表示運(yùn)動副數(shù)目；fi表示第i個運(yùn)動副的相對自由度數(shù)；v是多環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在去除公共約束的因素后的過約束的數(shù)目；ζ是機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度。

對式(11)、式 (13)同時求反螺旋，可得廣義花盤B′等效運(yùn)動螺旋為：

(17)

該螺旋表示沿著P3支鏈移動副軸線方向移動，表明了廣義花盤B′和廣義花盤C′能夠沿著固定方向相對運(yùn)動。

綜上分析可見，圖6中三個模塊可實現(xiàn)同步的收攏展開運(yùn)動，可以表征整體桁架機(jī)構(gòu)收展運(yùn)動的關(guān)聯(lián)性，滿足收展的期望運(yùn)動。

4 花盤調(diào)姿構(gòu)型優(yōu)化

構(gòu)架式天線的模塊通過轉(zhuǎn)動副(R)連接，由式(17)可知，機(jī)構(gòu)收展的自由度為1。當(dāng)模塊化構(gòu)架式天線收展時，同一模塊上花盤朝著另一花盤移動，但是兩花盤的姿態(tài)沒有發(fā)生變化。這樣就造成了天線在收攏后，不同模塊的花盤姿態(tài)不一樣，各模塊的中心軸線依然垂直于天線展開時拋物面(工作表面)的切平面，使收納比較小。此時需要靠桿件變形及鉸鏈間隙等將背面或反射面上節(jié)點強(qiáng)制收攏到完全收攏狀態(tài)，容易對天線結(jié)構(gòu)造成破壞，無法適應(yīng)可展開天線的發(fā)展。考慮到平臺的安裝及金屬網(wǎng)的管理，要求在收攏后所有花盤姿態(tài)最好是水平的，即天線收攏后達(dá)到最大收納比，若在收攏過程中模塊能繞模塊間花盤連接節(jié)點擺動，可使各模塊機(jī)構(gòu)的中心軸線轉(zhuǎn)換到相互平行的位置。因此，需要在模塊間花盤連接處添加花盤姿態(tài)調(diào)整的自由度，使花盤姿態(tài)在運(yùn)動過程中能夠發(fā)生偏轉(zhuǎn)。

圖9中以C花盤為動平臺，以Q花盤為定平臺，則支鏈分別為P1-S8-P2-S9-P3-和S10-。支鏈P1-S8-P2-S9-P3-的運(yùn)動螺旋系為：

(18)

式中：(H1I1J1)、(H2I2J2)分別為轉(zhuǎn)動副S8、S9的軸線方向，且鉸鏈中心位置的坐標(biāo)分別為(x8y8z8)、(x9y9z9)。

(19)

綜上，可在P1-S8-P2-S9-P3-約束支鏈上添加兩個轉(zhuǎn)動副(R)或一個轉(zhuǎn)動副(R)和一個移動副(P)。球面副(S)可用3個轉(zhuǎn)動副(R)代替，萬向副(U)可用兩個轉(zhuǎn)動副(R)代替，圓柱副(C)可用一個移動副(P)和轉(zhuǎn)動副(R)代替，則支鏈P1-S8-P2-S9-P3-轉(zhuǎn)化為PUPUP、PSPRP、PUPCP，如圖11所示。

圖11 支鏈構(gòu)型優(yōu)化Fig.11 Configuration optimization

考慮結(jié)構(gòu)設(shè)計的方便及可實現(xiàn)性，采用PUPUP約束支鏈。為使C花盤和Q花盤也有相對擺動，同樣在花盤間添加一個轉(zhuǎn)動副(R)后轉(zhuǎn)化為萬向副(U)，如圖12所示。該機(jī)構(gòu)某一模塊的花盤能夠繞與其連接的萬向副(U)軸線轉(zhuǎn)動，從而模塊的花盤能夠?qū)崿F(xiàn)有調(diào)姿的自由度。如此，在模塊構(gòu)架式天線收攏后，花盤調(diào)姿擺平，模塊化構(gòu)架式天線可達(dá)到最大收納比。

圖12 模塊連接構(gòu)型Fig.12 Module connection configuration

綜上所述，優(yōu)化后的等效機(jī)構(gòu)為閉環(huán)機(jī)構(gòu)，既滿足收攏的期望運(yùn)動，又滿足花盤調(diào)姿的期望運(yùn)動。此等效機(jī)構(gòu)調(diào)姿的自由度為3，收攏自由度為1，則三模塊組成結(jié)構(gòu)的自由度為4。當(dāng)7模塊拼接組網(wǎng)時，形成了6個閉環(huán)機(jī)構(gòu)。6個閉環(huán)機(jī)構(gòu)由于中心模塊的耦合作用，6個小閉環(huán)機(jī)構(gòu)形成了單閉環(huán)空間機(jī)構(gòu)，過約束的數(shù)目v=1，機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度ζ=5，則模塊組網(wǎng)天線自由度為：

6(6-6-1)+3×6+1-5=8

(20)

由式(20)可知模塊化構(gòu)架式天線為8自由度機(jī)構(gòu)。各模塊的背面層需通過連接支鏈連接，使得桁架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)完整，剛度提高。背面層模塊連接機(jī)構(gòu)采用6自由度的SRS支鏈連接，對模塊運(yùn)動無影響，可完整形成收納比較大的構(gòu)架天線，如圖13所示。以構(gòu)型RR-URU四面體單元組成的單元體構(gòu)架式天線為例[14]，三圈的單元體構(gòu)架式天線與模塊化構(gòu)架式天線尺寸和形狀基本相同，此單元體構(gòu)架式天線完全展開到完全收攏所需自由度是55，由此可見模塊化構(gòu)架式天線自由度大大減少。模塊化構(gòu)架式天線在少自由度的基礎(chǔ)上，可添加電機(jī)驅(qū)動天線展開，代替彈簧驅(qū)動，可達(dá)到展開可控的目的。

圖13 模塊化構(gòu)架完全收攏Fig.13 The modular truss antenna is fully folded

5 結(jié)論

本文采用模塊化思想，設(shè)計出了一種自由度少、收納比高的模塊化構(gòu)架式可展開天線反射器。多模塊組網(wǎng)后，基于螺旋理論分析了反射器桁架系統(tǒng)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型，模塊化構(gòu)架式天線滿足了收攏的期望特征。根據(jù)構(gòu)架反射器桁架收展花盤姿態(tài)調(diào)整需求，進(jìn)一步綜合出多模塊連接機(jī)構(gòu)，實現(xiàn)了收納比大的構(gòu)架反射器桁架系統(tǒng)的綜合設(shè)計。相同尺寸的模塊化構(gòu)架式可展開天線與四面體單元構(gòu)架天線相比，自由度數(shù)目大大減少，為下一步分析此類天線機(jī)構(gòu)的展開特性及模塊同步展開控制奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。