邵琦，陸一凡，史創(chuàng)，岳洪浩，劉榮強(qiáng)

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150001

1 引言

空間薄膜結(jié)構(gòu)憑借大柔性、低剛度等特點(diǎn)成為極具前景的航天器結(jié)構(gòu)，但同時(shí)也表現(xiàn)出極強(qiáng)的非線(xiàn)性，這使得結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性復(fù)雜且極易受到擾動(dòng)。星體與附件的機(jī)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)是對(duì)空間薄膜結(jié)構(gòu)產(chǎn)生擾動(dòng)的主要因素之一，剛?cè)狁詈闲?yīng)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)將對(duì)空間薄膜天線(xiàn)等薄膜結(jié)構(gòu)的正常工作產(chǎn)生極大影響。

目前大部分研究針對(duì)的是柔性桿、梁與薄板結(jié)構(gòu)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)問(wèn)題。對(duì)于柔性梁結(jié)構(gòu)，張廣蕓構(gòu)造了包含非線(xiàn)性耦合關(guān)系的形函數(shù)，對(duì)降階剛?cè)狁詈线B桿系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)與受力分析[1]；文獻(xiàn)[2-4]建立了空間曲梁剛?cè)狁詈嫌邢拊Ｐ?，考慮了“剛”與“柔”之間的相互影響；李鐵壽對(duì)其柔性附件輕質(zhì)梁耦合系統(tǒng)的五自由度動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究[5]。對(duì)于板結(jié)構(gòu)，Yoo研究了在常規(guī)線(xiàn)性建模方法中忽略的運(yùn)動(dòng)誘導(dǎo)剛度變化項(xiàng)對(duì)板動(dòng)力響應(yīng)的影響[6]；沈超明針對(duì)中心剛體與柔性板系統(tǒng)，對(duì)比了零次近似模型與一次耦合模型的差異[7]；Yuan等人分析了太陽(yáng)能板平移與轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合效應(yīng)[8]；陸棟寧等人對(duì)高分七號(hào)衛(wèi)星板狀天線(xiàn)的捕獲運(yùn)動(dòng)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的影響進(jìn)行研究[9]。

對(duì)于空間薄膜結(jié)構(gòu)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)，部分研究將薄膜結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化等效為柔性梁或薄板結(jié)構(gòu)，如：蔣建平將太陽(yáng)翼等效為柔性梁，通過(guò)Lagrange方程建立了一次近似動(dòng)力學(xué)模型[10]；而后，將其等效為薄板結(jié)構(gòu)[11]，基于Kane方程建立一次近似動(dòng)力學(xué)模型。其他研究則主要著眼于空間薄膜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)衛(wèi)星及其他附件的影響，如：Li基于虛功原理建立了太陽(yáng)帆的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，計(jì)算了不同機(jī)動(dòng)過(guò)程下結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況[12]；Jin通過(guò)剛?cè)狁詈夏Ｐ头治隽颂?yáng)帆振動(dòng)對(duì)軌道、姿態(tài)及其控制力矩的影響[13]；Liu考慮薄膜帆的Von Karman非線(xiàn)性應(yīng)變-位移關(guān)系，研究了其剛?cè)狁詈享憫?yīng)對(duì)俯仰運(yùn)動(dòng)的影響[14]。

然而，少有文獻(xiàn)針對(duì)完整的空間薄膜結(jié)構(gòu)考慮其動(dòng)態(tài)響應(yīng)在剛?cè)狁詈闲?yīng)下的變化。由于天線(xiàn)的電氣性能很大程度上依賴(lài)于薄膜反射面的面型精度，故面型響應(yīng)精度對(duì)于空間薄膜天線(xiàn)結(jié)構(gòu)而言十分重要。因此，分析剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)空間薄膜結(jié)構(gòu)的彈性動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響成為本文所關(guān)注的主要問(wèn)題。

本文首先從理論模型的角度分析了幾何非線(xiàn)性與剛?cè)狁詈闲?yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性的作用，為后續(xù)薄膜結(jié)構(gòu)面型動(dòng)態(tài)控制奠定理論基礎(chǔ)；而后，分析了剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律、結(jié)構(gòu)基頻與阻尼對(duì)大范圍剛體運(yùn)動(dòng)下柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，以指導(dǎo)衛(wèi)星或附件調(diào)姿機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)，可實(shí)現(xiàn)從擾動(dòng)源頭規(guī)避機(jī)動(dòng)操作對(duì)空間薄膜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)激勵(lì)。

2 空間薄膜天線(xiàn)剛?cè)狁詈戏蔷€(xiàn)性動(dòng)力學(xué)建模

由于空間薄膜天線(xiàn)型面精度要求較高，因此，以空間平面張拉薄膜天線(xiàn)為研究對(duì)象，針對(duì)由機(jī)動(dòng)操作引起的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究。在軌衛(wèi)星及其空間薄膜天線(xiàn)附件(展開(kāi)后)如圖1(a)所示。其中，薄膜花邊的主要作用是使薄膜面內(nèi)應(yīng)力分布均勻，從而避免產(chǎn)生褶皺，而對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)、基頻等動(dòng)力學(xué)特性影響較小[15]，但引入了復(fù)雜的邊界條件。因此，本文采用如圖1(b)所示的無(wú)花邊張拉薄膜天線(xiàn)，在簡(jiǎn)化邊界條件的同時(shí)，認(rèn)為繼承花邊薄膜表面的平整性與應(yīng)力分布的均勻性。本節(jié)將從空間薄膜天線(xiàn)幾何非線(xiàn)性描述與剛?cè)狁詈闲?yīng)表達(dá)方面分別闡述。

圖1 在軌衛(wèi)星及其空間薄膜天線(xiàn)示意Fig.1 Schematic diagram of the in-orbit satellite with a membrane antenna

2.1 空間薄膜天線(xiàn)的幾何非線(xiàn)性描述

本文應(yīng)用有限元對(duì)空間薄膜結(jié)構(gòu)大位移響應(yīng)的幾何非線(xiàn)性進(jìn)行建模，認(rèn)為柔性單元是經(jīng)歷大位移的構(gòu)件，但單元內(nèi)部的相對(duì)變形仍局限于小變形，即大位移、小變形問(wèn)題。將框架、繩索和薄膜分別等效為空間梁?jiǎn)卧?、預(yù)緊的空間桿單元以及三角形薄膜單元，通過(guò)幾何方程、物理方程以及單元?jiǎng)菽軄?lái)描述結(jié)構(gòu)的幾何非線(xiàn)性。

2.1.1 框架單元的非線(xiàn)性描述

框架每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有三軸位移u,v,w以及三軸轉(zhuǎn)動(dòng)θx,θy,θz共6個(gè)空間自由度。其位移場(chǎng)δb可用單元形函數(shù)Nb與單元節(jié)點(diǎn)位移qb表達(dá)：

(1)

式中：ub,vb,wb分別為x,y,z三向的位移；θbx為繞x軸扭轉(zhuǎn)的角度；下標(biāo)b表示框架梁?jiǎn)卧??？紤]大位移和有限轉(zhuǎn)動(dòng)，將式(1)的位移場(chǎng)代入應(yīng)變場(chǎng)與位移場(chǎng)的關(guān)系中，并用′與″分別表示變量對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)，則框架梁?jiǎn)卧獞?yīng)變場(chǎng)寫(xiě)為：

式中：

I4=[1 0 0 0]

考慮結(jié)構(gòu)材料為線(xiàn)彈性與各向同性，根據(jù)廣義Hooke定律，則梁?jiǎn)卧谋緲?gòu)關(guān)系為：

式中：σb為單元應(yīng)力場(chǎng)；Eb為材料的楊氏模量；Gb為材料的剪切模量。

空間薄膜結(jié)構(gòu)在空間環(huán)境中不考慮重力，框架的單元?jiǎng)菽芗磫卧獞?yīng)變能，則單元?jiǎng)菽芸梢员硎緸椋?/p>

(2)

式中：Kbl與Kbn分別為梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨木€(xiàn)性部分與由考慮二階效應(yīng)產(chǎn)生的非線(xiàn)性部分，分別為：

2.1.2 繩索單元的非線(xiàn)性描述

張拉繩索每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有u,v,w共三個(gè)空間自由度。其位移場(chǎng)δc可用單元形函數(shù)Nc與單元節(jié)點(diǎn)位移qc描述：

式中：uc,vc,wc分別為節(jié)點(diǎn)在x,y,z三向的位移；下標(biāo)c表示繩索單元。由于繩索只有軸向伸長(zhǎng)的變形，所以其應(yīng)變場(chǎng)只考慮軸向應(yīng)變。在大位移非線(xiàn)性情況下，繩索軸向應(yīng)變與位移場(chǎng)的關(guān)系和框架梁?jiǎn)卧嗨?，表示為?/p>

式中：

考慮結(jié)構(gòu)材料為線(xiàn)彈性與各向同性，根據(jù)廣義Hooke定律，則繩索單元的本構(gòu)關(guān)系為：

σcx=Ecεcs

式中：Ec為材料的楊氏模量。

由于繩索受到預(yù)張拉力，繩索的勢(shì)能包括軸向伸長(zhǎng)的應(yīng)變能以及克服張緊力所做的功，則繩索的單元?jiǎng)菽転椋?/p>

對(duì)單元?jiǎng)菽苓M(jìn)行變分與時(shí)間上積分，則：

(3)

式中：Kcl與Kcn分別為繩索單元?jiǎng)偠染仃嚨木€(xiàn)性部分與由于二階效應(yīng)產(chǎn)生的非線(xiàn)性部分；Kc0為單元預(yù)張力等效剛度矩陣；QcΠ為單元預(yù)張力等效載荷列陣。四者分別為：

2.1.3 薄膜單元的非線(xiàn)性描述

張拉薄膜每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有u,v,w共3個(gè)空間自由度，每個(gè)單元有3個(gè)節(jié)點(diǎn)。其位移場(chǎng)δm可用單元形函數(shù)Nm與單元節(jié)點(diǎn)位移qm描述：

式中：um,vm,wm分別為節(jié)點(diǎn)在x,y,z三向的位移；下標(biāo)m表示薄膜單元?；贙irchhoff薄板假設(shè)與Von Karman薄板大撓度非線(xiàn)性理論，將式(1)的位移場(chǎng)代入應(yīng)變場(chǎng)與位移場(chǎng)的關(guān)系中，并用x′與y′分別表示變量對(duì)x與y的一階導(dǎo)數(shù)，則薄膜單元各個(gè)方向應(yīng)變與位移場(chǎng)的關(guān)系表示為：

εm=[εmxεmyγmxy]T=

式中：

薄膜結(jié)構(gòu)屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，考慮結(jié)構(gòu)材料為線(xiàn)彈性與各向同性，根據(jù)廣義Hooke定律，則薄膜單元的本構(gòu)關(guān)系為：

式中：Dm為薄膜的彈性矩陣；Em與μ分別為材料的楊氏模量與泊松比。

設(shè)薄膜單元的預(yù)張拉應(yīng)力為：

σm0=[σmx0σmy0τmxy0]T

與繩索單元相似，薄膜的單元?jiǎng)菽転椋?/p>

(4)

式中：Kml與Kmn分別為薄膜單元?jiǎng)偠染仃嚨木€(xiàn)性部分與考慮二階效應(yīng)產(chǎn)生的非線(xiàn)性部分；Km0為單元預(yù)張力等效剛度矩陣；QmΠ為單元預(yù)張力等效載荷列陣。四者分別為：

2.2 空間薄膜天線(xiàn)的剛?cè)狁詈闲?yīng)表達(dá)

空間薄膜天線(xiàn)在軌時(shí)姿態(tài)的調(diào)整以反射面與地面夾角的調(diào)整為主，即繞圖1中x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體運(yùn)動(dòng)[16]。因此，本文考慮空間薄膜天線(xiàn)繞x軸轉(zhuǎn)過(guò)一定角度的剛體運(yùn)動(dòng)。

柔性結(jié)構(gòu)的典型特性之一即其結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性，何澤青等人詳細(xì)描述了考慮二階非線(xiàn)性應(yīng)變時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性[17]。對(duì)于大范圍剛體運(yùn)動(dòng)引發(fā)的剛?cè)狁詈闲?yīng)，Kane指出，考慮二階非線(xiàn)性變形位移場(chǎng)進(jìn)行剛?cè)狁詈戏治鰰r(shí)，可以捕捉到剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)彈性運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性的耦合項(xiàng)[18]。本節(jié)將基于這一原理，對(duì)空間薄膜天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的剛?cè)狁詈闲?yīng)進(jìn)行捕捉與描述。

圖2 空間薄膜天線(xiàn)坐標(biāo)系示意Fig.2 The coordinate systems of space membrane antenna

本節(jié)將先通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)能的描述，建立剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)彈性運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的耦合效應(yīng)表達(dá)；然后基于哈密頓原理，建立空間薄膜天線(xiàn)的剛?cè)狁詈戏蔷€(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型。

2.2.1 單元的動(dòng)能描述與剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程表達(dá)

結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)p在全局坐標(biāo)系下的位置矢量Rp表示為：

Rp=r0+A(rp+Nq)

式中：rp為p點(diǎn)在浮動(dòng)坐標(biāo)系下未發(fā)生彈性變形前的位置矢量；Nq為p點(diǎn)在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的彈性變形。進(jìn)而，p點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的速度與加速度矢量分別為：

單元?jiǎng)幽芸杀硎緸椋?/p>

對(duì)單元?jiǎng)幽苓M(jìn)行變分，并在時(shí)間上進(jìn)行積分，利用分部積分法，考慮等時(shí)變分在起始于終止時(shí)刻坐標(biāo)的變分為零，可得：

(5)

式中：M為單元質(zhì)量矩陣；G與KT為剛?cè)狁詈弦鸬母郊淤|(zhì)量矩陣，分別表現(xiàn)為阻尼特性與剛度特性；QT為剛性運(yùn)動(dòng)加速度引起的外載荷。當(dāng)不考慮剛?cè)狁詈闲?yīng)時(shí)，上式退化為僅包含質(zhì)量矩陣M與慣性力矩陣QT的剛體動(dòng)力學(xué)方程。以上各項(xiàng)具體分別表述為：

2.2.2 單元?jiǎng)側(cè)狁詈戏蔷€(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程及其組裝

哈密頓原理通過(guò)尋找動(dòng)勢(shì)的時(shí)間積分的駐值來(lái)確定真實(shí)運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)，表述為：

(6)

式中：T為動(dòng)能；Π為勢(shì)能；W為外力對(duì)系統(tǒng)所作的功。在2.1節(jié)中，空間薄膜天線(xiàn)的框架、繩索、薄膜三類(lèi)結(jié)構(gòu)各自的單元?jiǎng)菽茉跁r(shí)間上的積分已經(jīng)得到，分別如式(2)、(3)、(4)所示；在2.2.1節(jié)中，結(jié)構(gòu)各單元的動(dòng)能在時(shí)間上的積分表達(dá)已由混合坐標(biāo)法推出，如式(5)所示。將上述所得到的單元?jiǎng)菽芘c單元?jiǎng)幽芫鶐胧?6)中，可得框架梁?jiǎn)卧?、繩索單元與薄膜單元的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程分別為：

(Kbl+Kbn+KbT)qb+QbT=Fb

(7)

(Kcl+Kc0+Kcn+KcT)qc+QcΠ+QcT=Fc

(8)

(Kml+Km0+Kmn+KmT)qm+QmΠ+QmT=Fm

(9)

式中：Mb、Mc、Mm分別為三種單元的質(zhì)量矩陣；Fb、Fc、Fm分別為三種單元所受的外載荷列陣；Cb、Cc、Cm分別為三種單元的阻尼矩陣；Kbl、Kcl、Kml分別為三種單元的線(xiàn)性剛度矩陣；Kbn、Kcn、Kmn分別為三種單元的非線(xiàn)性剛度矩陣；下標(biāo)0、Π、T分別表示由于預(yù)緊力、應(yīng)變能、剛?cè)狁詈闲?yīng)產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)成分，如Kc0、Km0分別為繩索單元與薄膜單元由于預(yù)緊力產(chǎn)生的剛度矩陣，QcΠ、QmΠ分別表示繩索單元與薄膜單元由于預(yù)應(yīng)變產(chǎn)生的載荷列陣，KbT、KcT、KmT分別為三種單元由剛?cè)狁詈闲?yīng)引起的動(dòng)剛度矩陣。將空間薄膜天線(xiàn)所有單元的各個(gè)矩陣按節(jié)點(diǎn)及其自由度的關(guān)系對(duì)應(yīng)組裝，可以得到形如式(7)～(9)的空間薄膜天線(xiàn)剛?cè)狁詈戏蔷€(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型，即：

(Kl+K0+Kn+KT)q+QΠ+QT=F

本章從理論上描述了幾何非線(xiàn)性與剛?cè)狁詈闲?yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)帶來(lái)的影響，相比于商業(yè)軟件黑匣子式的操作與數(shù)值結(jié)果，理論模型的表達(dá)有助于理解并提煉空間薄膜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)最本質(zhì)的非線(xiàn)性與耦合動(dòng)力學(xué)行為，以更全面地指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)化以及結(jié)構(gòu)響應(yīng)控制研究。

3 剛?cè)狁詈戏蔷€(xiàn)性響應(yīng)的預(yù)測(cè)與驗(yàn)證

上一節(jié)中所得到的空間薄膜天線(xiàn)動(dòng)力學(xué)模型為二階變系數(shù)微分方程組，是一種強(qiáng)耦合、時(shí)變、強(qiáng)非線(xiàn)性的方程組，本文將利用Wilson-θ法進(jìn)行計(jì)算與求解，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)空間薄膜天線(xiàn)結(jié)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)態(tài)響應(yīng)的預(yù)測(cè)?？紤]空間薄膜天線(xiàn)的剛體運(yùn)動(dòng)自某一轉(zhuǎn)速減速至停止，對(duì)結(jié)構(gòu)在停止過(guò)程中及停止后的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行研究。選取薄膜工作區(qū)域內(nèi)A點(diǎn)作為響應(yīng)分析參考點(diǎn)，通過(guò)與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文建模方法的正確性。本節(jié)所研究的空間薄膜天線(xiàn)如圖1 (b)所示，四周邊框固定，材料與幾何參數(shù)如表1所示[16]。

表1 空間薄膜天線(xiàn)材料與幾何參數(shù)Table 1 Material properties and geometry parameters of the membrane antenna model

空間薄膜天線(xiàn)某些模態(tài)的頻率如表2所示。本算例中，考慮空間薄膜天線(xiàn)初始轉(zhuǎn)速為36°/s，分別計(jì)算經(jīng)過(guò)0.000 1s和1 s將速度減至0時(shí)的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。前一種情況接近瞬時(shí)停止，與文獻(xiàn)[16]相對(duì)應(yīng)?？紤]結(jié)構(gòu)受比例阻尼C=αM+βK，其中α與β均為0.001。取薄膜面上坐標(biāo)(-0.703 6,0.426 7)為A點(diǎn)，其面外位移響應(yīng)曲線(xiàn)如圖3所示，其中，實(shí)線(xiàn)與虛線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)瞬時(shí)與1 s停止的情況，前者與文獻(xiàn)[16]相應(yīng)結(jié)果的對(duì)比如表3所示。

表2 空間薄膜天線(xiàn)算例模態(tài)頻率Table 2 Natural frequencies of the membrane antenna

圖3 A點(diǎn)的位移響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.3 The deformation response of A

表3 位移響應(yīng)動(dòng)力學(xué)特性比較Table 3 Dynamic characteristics compared with literature

本文模型響應(yīng)頻率與文獻(xiàn)[16]相比，前10 s內(nèi)相差較大，而前2 s內(nèi)偏差較小，這是由于本文設(shè)置的阻尼使振幅衰減，進(jìn)而非線(xiàn)性響應(yīng)頻率減小。因此，本文計(jì)算的響應(yīng)結(jié)果在一定程度與文獻(xiàn)結(jié)果相一致，可以驗(yàn)證所建立的剛?cè)狁詈戏蔷€(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型正確性。

4 剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響與分析

上一節(jié)中，A點(diǎn)相應(yīng)頻率并不表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)基頻，且在兩種情況下的響應(yīng)頻率有明顯不同，瞬時(shí)停止的響應(yīng)更快。因此，結(jié)構(gòu)剛?cè)狁詈享憫?yīng)頻率與剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律有關(guān)。本節(jié)將針對(duì)空間薄膜天線(xiàn)在不同剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律下的響應(yīng)進(jìn)行分析?？臻g薄膜天線(xiàn)模型如圖1(b)所示，各項(xiàng)材料與幾何參數(shù)如表4所示，框架未注明參數(shù)與上一節(jié)相同。

表4 繩索、框架與薄膜的各項(xiàng)參數(shù)Table 4 Properties of cable，frame and membrane

本節(jié)中，通過(guò)調(diào)整繩索張拉力得到不同基頻的模型1、模型2、模型3，討論初始轉(zhuǎn)速、減速歷時(shí)及對(duì)應(yīng)加速度對(duì)三種結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，并對(duì)其響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行時(shí)域與頻域的分析，各算例涉及的模型相關(guān)參數(shù)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律分別如表5與表6所示。繩索張緊力與薄膜結(jié)構(gòu)頻率關(guān)系并非本文重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容，相關(guān)分析可參考文獻(xiàn)[19]。為簡(jiǎn)化表達(dá)，以下表述中“模型1/2/3”均表述為“M1/M2/M3”。

表5 算例模型相關(guān)參數(shù)Table 5 Properties of different models

表6 剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律Table 6 Rigid motion laws in different cases

首先，討論模型從一定初始轉(zhuǎn)速經(jīng)歷不同時(shí)長(zhǎng)至停止時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況。M1從π/5 rad/s分別經(jīng)歷0.1 s、1 s、2 s停止，A的面外變形響應(yīng)曲線(xiàn)如圖4所示，其時(shí)域與頻域分析如表7所示。可以看出，動(dòng)態(tài)響應(yīng)的頻率與振幅均會(huì)隨著停止歷時(shí)的增長(zhǎng)而降低。這表明結(jié)構(gòu)響應(yīng)頻率會(huì)隨著歷時(shí)的增加而減小。

圖4 M1中A點(diǎn)在不同歷時(shí)情況下的z向變形響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.4 Deformation responses in z direction of A in model 1 with different durations

表7 M1中A點(diǎn)在不同歷時(shí)情況下動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性Table 7 Dynamic characteristics of A in model 1 with different durations

其次，分析了模型自不同初始轉(zhuǎn)速經(jīng)歷相同時(shí)間停止時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況。M1分別以π/2、π/5、π/100的初始角速度，經(jīng)過(guò)0.1 s后停止剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，三種情況下A點(diǎn)的面外變形與動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性分別如圖5、表8所示。顯然，動(dòng)態(tài)響應(yīng)的頻率隨著初始速度的減小而降低；最大變形峰值受初始轉(zhuǎn)速影響很大，初始轉(zhuǎn)速降低時(shí)最大變形峰值也顯著減小。上述結(jié)果表明：動(dòng)態(tài)響應(yīng)的頻率受剛體運(yùn)動(dòng)加速度影響，即對(duì)于同一結(jié)構(gòu)，加速度越大，激勵(lì)的響應(yīng)頻率越高；而振動(dòng)的能量取決于初始動(dòng)能的大小，即變形峰值與轉(zhuǎn)速正相關(guān)。

圖5 M1中A點(diǎn)在不同初始轉(zhuǎn)速下的z向變形響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.5 Deformation responses in z direction of A in model 1 with different initial velocities

表8 M1中A點(diǎn)在不同初始轉(zhuǎn)速下動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性Table 8 Dynamic characteristics of A in model 1 with different initial velocities

最后，分析了不同模型在相同剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律作用時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況。M1、M2、M3初始轉(zhuǎn)速均為π/100 (rad·s-1)，經(jīng)過(guò)0.1 s速度減為0，三種模型中A點(diǎn)的z向變形時(shí)域曲線(xiàn)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性分別如圖6與表9所示?？梢钥闯?，在相同運(yùn)動(dòng)規(guī)律下，動(dòng)態(tài)響應(yīng)的特性主要取決結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性：變形響應(yīng)頻率與結(jié)構(gòu)基頻正相關(guān)，而最大變形峰值與結(jié)構(gòu)基頻負(fù)相關(guān)。

圖6 不同模型A點(diǎn)在同種運(yùn)動(dòng)規(guī)律下的z向變形響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.6 Deformation responses in z direction of A in different models

表9 M1、M2、M3中A點(diǎn)在同種運(yùn)動(dòng)規(guī)律下動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性Table 9 Dynamic characteristics of A in different models

綜上所述，剛體運(yùn)動(dòng)加速度可以等效為一種諧激勵(lì)，可以激起結(jié)構(gòu)特定范圍頻率的響應(yīng)；而結(jié)構(gòu)的動(dòng)能則對(duì)應(yīng)輸入動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的能量，決定了結(jié)構(gòu)所能達(dá)到的最大變形。因此，為防止機(jī)動(dòng)操縱激起結(jié)構(gòu)的劇烈振動(dòng)，需要結(jié)合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性合理設(shè)計(jì)剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

5 結(jié)論

考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線(xiàn)性與大范圍運(yùn)動(dòng)時(shí)的剛?cè)狁詈闲?yīng)，建立了空間薄膜天線(xiàn)剛?cè)狁詈戏蔷€(xiàn)性動(dòng)力學(xué)有限元模型，并基于數(shù)值計(jì)算討論分析了剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性對(duì)薄膜彈性動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，結(jié)論如下：

1)所建立的動(dòng)力學(xué)模型極大程度地保留了平面薄膜天線(xiàn)的結(jié)構(gòu)組成及其動(dòng)力學(xué)特性，從理論角度分析了非線(xiàn)性與剛?cè)狁詈闲?yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性影響；

2)由空間薄膜結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值分析可知，剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)空間薄膜結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性有顯著影響，且其效應(yīng)還與結(jié)構(gòu)基頻和阻尼有關(guān)；

3)空間薄膜結(jié)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)態(tài)響應(yīng)的頻率隨著剛體運(yùn)動(dòng)的初速度與加速度以及結(jié)構(gòu)基頻的增大而增大，但在阻尼作用下衰減加快；

4)空間薄膜結(jié)構(gòu)剛?cè)狁詈蟿?dòng)態(tài)響應(yīng)的變形幅值隨著剛體運(yùn)動(dòng)的初速度與加速度的增大而增大，但隨著結(jié)構(gòu)基頻與阻尼的增大而減小。

本文所建立模型可為空間薄膜結(jié)構(gòu)的面型預(yù)測(cè)與控制提供理論基礎(chǔ)，而剛體運(yùn)動(dòng)與動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性間的規(guī)律將為特定結(jié)構(gòu)的機(jī)動(dòng)操縱設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。