遲 恒，王壽生，王 維

[上海市政工程設(shè)計研究總院（集團）有限公司，上海市 200092]

0 引言

城市地下結(jié)構(gòu),尤其是隧道、地鐵、地下車站、地下管線系統(tǒng),是現(xiàn)代社會公共基礎(chǔ)設(shè)施的重要組成部分?？紤]到城市地下結(jié)構(gòu)對經(jīng)濟及生命安全的重要性,對地下結(jié)構(gòu)進行抗震安全設(shè)計是必要的。依據(jù)《地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計標(biāo)準》（GB/T51336—2018）要求，對于地質(zhì)條件復(fù)雜（如：含軟弱、液化土層）且結(jié)構(gòu)體型復(fù)雜的地下結(jié)構(gòu)應(yīng)進行彈塑性時程分析進行抗震安全評估。而地震時地下結(jié)構(gòu)-土體相互作用是在無限域的場地中進行，如何近真實地動態(tài)模擬場地邊界成為分析結(jié)果可靠性的難點之一。圖1為廣義結(jié)構(gòu)與遠場巖土之間設(shè)置虛擬人工邊界的整體計算模型[1]。

圖1 結(jié)構(gòu)-場地動力計算模型

在無限連續(xù)土層介質(zhì)中采用虛擬邊界進行有限化模擬，即構(gòu)建人工邊界。在無限域的場地模擬人工邊界不僅需滿足邊界設(shè)置要求條件,且可真正模擬無限域場地動力特性。其土的力學(xué)分析上人工邊界為近場波動對應(yīng)的偏微分方程。人工邊界條件的真實性為是否能準確模擬對無限域連續(xù)介質(zhì)場地,即地震波在人工邊界處的傳播特性與無限域連續(xù)介質(zhì)保持統(tǒng)一。從近場任何方向入射的地震波通過設(shè)置的黏彈性人工邊界時無反射效應(yīng),即波在人工邊界處被邊界完全吸收，或完全透射。通常人工邊界也被認為是無反射、透射或吸收的有限域邊界[2]。在地下結(jié)構(gòu)抗震分析中，人工邊界條件對無限域模擬的準確與否將直接影響近場波動數(shù)值模擬的精度,因此人工邊界條件的研究具有重要意義[3]。圖2為ANSYS場地分析模型。

圖2 ANSYS場地分析模型

1 黏彈性人工邊界基本理論

Deeks等人提出假定二維散射波以柱面形式向外發(fā)散，模擬了黏彈性人工邊界。此后黏彈性人工邊界模型受到了國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注，其中劉晶波等人做了大量的研究工作，例如，基于柱面波動方程建立了二維黏彈性人工邊界[4]；并以球面波動方程為基礎(chǔ)提出了三維黏黏彈性人工邊界[9]；依據(jù)半無限空間中的靜力問題基本解構(gòu)造出黏彈性靜動力統(tǒng)一人工邊界以及方便工程應(yīng)用的二維、三維一致黏彈性人工邊界與等效黏彈性邊界單元，并就人工邊界的波源問題和地震波動輸入問題進行了系統(tǒng)性的討論，從而實現(xiàn)對實際連續(xù)介質(zhì)應(yīng)力邊界條件的模擬[5]。

此外，L.Kellezi在黏彈性人工邊界的研究中引入了波動入射角度概念，對各入射角度賦予不同邊界參數(shù)，取得了較好的效果。然而，人工邊界是針對某種固定形式的外行波設(shè)置的，在近場地基地形和地質(zhì)條件均較復(fù)雜下會產(chǎn)生各種的散射波形式，以致使邊界對外行波的吸收不充分而產(chǎn)生誤差，那么在復(fù)雜地基條件下此類邊界模型的計算結(jié)果是否在工程精度要求將成為一個有待研究的課題。

1.1 黏彈性邊界的一般表達式

黏彈性人工邊界可表達為連續(xù)分布且相互偶聯(lián)的耗能彈簧-阻尼器，擬設(shè)人工邊界上法向及切向彈簧剛度和阻尼系數(shù)可按下列公式取值[6]：

式中：l為人工邊界節(jié)點號；i=x，y，z代表分量方向；t表示時間；σli，uli，為節(jié)點方向的應(yīng)力、位移和速度；Kli，Cli為節(jié)點方向的黏彈邊界參數(shù)。

1.2 邊界節(jié)點運動方程

為真實模擬有限域邊界，考慮無限域動力特性的黏彈性有限邊界表達時，邊界節(jié)點動力方程可表達為：

式中：σli為黏彈性邊界處節(jié)點l應(yīng)力為節(jié)點l應(yīng)力的作用范圍；N為與節(jié)點震動關(guān)聯(lián)的單元數(shù)；Ale為單元e上黏彈邊界的作用范圍，其中平面應(yīng)力分析，Ale則取值為1/2單元邊界線長度[7]。

1.3 黏彈性邊界單元參數(shù)

將黏彈性人工邊界等效模擬成為連續(xù)分布的并偶聯(lián)的彈簧-阻尼器系統(tǒng)，如圖3所示。其中，平面分析中黏彈性人工邊界等效的彈簧特性為KB和阻尼系數(shù)CB分別為：

式中：KBT、KBN分別為法向與切向彈簧剛度；R為波源至人工邊界點的距離；CBT、CBN分別為垂直向與剪切向阻尼器的阻尼系數(shù)；CP、CS分別為介質(zhì)的P波和S波波速；G為介質(zhì)剪切模量；αN和αT分別為平面垂直向及剪切向黏彈性邊界修正系數(shù)；αT值范圍為[0.35，0.65]，αN的取值范圍為[0.80，1.20]，在本文中αN取為1.0，αT取為0.5。

1.4 黏彈邊界外源輸入方法

劉晶波和呂彥東給出一種將人工邊界入射場轉(zhuǎn)化為等效邊界力從而化外源波動問題為內(nèi)源波動問題的黏彈性人工邊界外源輸入方法，并在二維平面問題中得到應(yīng)用。由黏彈性邊界彈簧-阻尼元件和內(nèi)部計算區(qū)有限元模型共同構(gòu)成整體計算模型，當(dāng)人工邊界入射位移場在模型的人工邊界入射時，可以通過施加一個等效外荷載來代替人工邊界入射位移場。在邊界節(jié)點垂直向和剪切向上土體震動位移所需施加的等效地震力可分為有限域介質(zhì)抵抗力及邊界彈簧-阻尼元件的反力。工程中，地震源距離場地比較遠，一般把地震波假設(shè)為地表豎直自由向上入射的平面體波，例如垂直向上的平面SV波。入射場就是人工邊界入射場，側(cè)邊界無入射。質(zhì)點只有水平方向上的運動[8-10]。

2 數(shù)值分析

場地簡化計算模型見圖3，并設(shè)4個觀測點。在模型底部垂直入射SV波，入射波位移方程式（5）和式（6）。通過提取左邊界上表面節(jié)點A和下表面的節(jié)點B的X向位移信息以及中間處上表面節(jié)點D和下表面的節(jié)點C的X向位移的對比情況，來驗證黏彈性邊界的合理性（見圖4~圖5）。

圖3 場地簡化分析模型

圖4 施加邊界約束

圖5 加載求解后的位移圖

式中：u（t）為正弦位移加載函數(shù)，加載時間參數(shù)t≥0。介質(zhì)的彈性模量E=1.85×1010Pa，介質(zhì)的泊松比μ=0.35，介質(zhì)密度E=2637kg/m3。計算區(qū)域尺寸為：長×寬=1000×400m。

模型中觀測點坐標(biāo)分別為A（0，0）,B（0，400），C（500，400），D（-500，0）。輸出D點位移、速度、加速度時程曲線圖，如圖6、圖7；A、B、C、D點位移時程曲線及各點間的對比曲線，如圖8~圖13。

圖6 D點位移時程曲線圖

圖7 D點速度時程曲線圖

圖8 D點加速度時程曲線圖

圖9 B點位移時程曲線圖

圖10 C點位移時程曲線圖

圖11 A點位移時程曲線圖

圖12 A點、B點位移時程曲線圖

圖13 C點、D點位移時程曲線圖

通過對比各個觀測點的位移時程曲線及單點加速度、速度時程曲線可知，模擬邊界有效避免黏性邊界產(chǎn)生的低頻漂移現(xiàn)象，節(jié)點振動和波的傳播速度及振幅想對應(yīng)，并且振動能夠模擬場地有限區(qū)域之外的半無限介質(zhì)動力恢復(fù)性能，說明土單元隨地震波動具有穩(wěn)定的頻率。其中A點有一定的延時，為作用停止后的短暫時間內(nèi),會有滯后的位移,接著位移趨向為零。這都與理論解相一致。

其模擬邊界方法比其他常用邊界更易于在各種通用有限元程序中實現(xiàn)，因此，該邊界模型可較為真實的應(yīng)用于核電廠、地下綜合體結(jié)構(gòu)等重大工程的抗震安全分析及隔振工程數(shù)值分析。

3 ANSYS施加黏彈性邊界命令

4 結(jié) 語

本文對黏彈性人工邊界基本理論與等效荷載波動輸入方法進行了總結(jié)，并依據(jù)實際工程案例，實現(xiàn)ANSYS有限元自由場振動分析與實際工程中的應(yīng)用。且通過計算表明黏彈性人工邊界具有滿意的計算精度和穩(wěn)定性，可廣泛應(yīng)用于地下工程抗震分析中。