謝小軍，馬 虹，薛申芳，喬希民

一類三角模糊數(shù)優(yōu)性組合預測模型

謝小軍1，*馬 虹2，薛申芳1，喬希民1

（1.廣州工商學院，廣東，廣州 510850；2.廣東金融學院，廣東，廣州 510521)

將三角模糊數(shù)序列的三個界點轉(zhuǎn)換為等價的面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個指標序列。結(jié)合廣義誘導有序加權(quán)平均（GIOWA）算子，選擇面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個指標的L2范數(shù)作為最優(yōu)準則，建立了一類新的三角模糊數(shù)優(yōu)性組合預測模型，并證明了新提出的模型一定是優(yōu)性組合預測模型。通過實例分析對比，也進一步驗證了該模型是有效性和可行性，能夠有效提高預測精度，最后并針對GIOWA算子中的參數(shù)進行了靈敏度分析。

L2范數(shù)；三角模糊數(shù)；GIOWA算子；組合預測模型

0 引言

隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展，導致事物系統(tǒng)不確定性增強從而更具模糊特征，三角模糊數(shù)成為了刻畫不確定信息的一種常見表達形式。最近幾年，組合預測模型得到迅速的發(fā)展，國內(nèi)外學者也積累了大量的研究成果[1-7]。因此，構(gòu)建基于三角模糊數(shù)的組合預測模型符合事物的實際發(fā)展趨勢，研究三角模糊數(shù)組合預測模型既具有理論意義也具有現(xiàn)實意義。目前，針對三角模糊數(shù)的研究才剛剛起步，主要從三角模糊數(shù)序列的本身數(shù)據(jù)的特點出發(fā)和預測方法上進行了理論研究與創(chuàng)新。1）利用單一預測模型對三角模糊數(shù)進行建模。文獻[8]將三角模糊數(shù)序列三個界點序列用對應的面積序列、重心序列、中界點序列三個指標數(shù)序列替換，利用轉(zhuǎn)換后的序列構(gòu)建灰色預測模型，最后再利用公式進行還原。文獻[9]在文獻[8]研究基礎(chǔ)上構(gòu)建了基于支持向量機的三角模糊數(shù)預測模型。文獻[10]通過改進GM(0,N)模型方程的參數(shù)設(shè)置，并結(jié)合馬爾科夫預測和序列轉(zhuǎn)換方法對模型的預測序列進行修正，構(gòu)建了基于GM(0,N)模型的三元區(qū)間數(shù)序列預測模型。文獻[11]在文獻[8]的基礎(chǔ)上構(gòu)建了基于神經(jīng)網(wǎng)絡的三角模糊數(shù)預測模型，并結(jié)合遺傳算法進一步進行了優(yōu)化。2）利用組合預測模型對三角模糊數(shù)進行建模。文獻[12]基于對稱三角模糊數(shù)，將對稱三角模糊數(shù)的覆蓋面積和重心指標進行替代，建立了相應的基于IOWA算子的三角模糊數(shù)組合預測模型，以面積序列和重心序列的相關(guān)系數(shù)的為最優(yōu)準則，并引入重要性參數(shù)將其轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃模型。文獻[13]引入廣義誘導有序加權(quán)平均算子，構(gòu)建了基于對稱三角模糊數(shù)及GIOWA算子的組合預測模型。文獻[14]定義了三角模糊數(shù)左右區(qū)間概念，提出了一種區(qū)間相似度的度量公式，將三角模糊數(shù)左右區(qū)間的相似度作為最優(yōu)準則的度量指標，并引入誘導有序加權(quán)幾何平均算子（IOWGA），建立了基于區(qū)間相似度的IOWGA算子的變權(quán)系數(shù)三角模糊數(shù)組合預測模型。文獻[15]基于三角模糊數(shù)面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個指標的基礎(chǔ)上，建立三角模糊數(shù)預測有效度的概念，提出了一種新的基于三角模糊數(shù)的預測有效度最優(yōu)的組合預測模型。文獻[16]將三角模糊數(shù)以面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個指標進行描述，然后引入誘導有序加權(quán)幾何平均算子（IOWGA）算子，并以面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個指標的對數(shù)誤差為最優(yōu)準則，提出了一種基于對數(shù)誤差的IOWGA算子的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預測模型。

基于已有研究基礎(chǔ)，提出了一類新的基于L2范數(shù)的GIOWA算子的三角模糊數(shù)優(yōu)性組合預測模型。新建立的模型選擇以三角模糊數(shù)的相似度作為GIOWA算子的誘導值，以三角模糊數(shù)基于面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個指標的L2范數(shù)作為最優(yōu)準則，并通過引入偏好系數(shù)將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標優(yōu)化模型。最后通過實例分析驗證了該模型的有效性，并從理論上進一步證明了本文提出的模型一定是優(yōu)性組合預測模型。已有研究成果大多數(shù)是將針對對稱三角模糊數(shù)，本文提出的組合模型可適用性更廣，可對普遍三角模糊數(shù)進行建模。

1 理論基礎(chǔ)

2 組合預測模型的建立

定義4 令:

定義5 令：

定義6 設(shè)

定理1 若基于L2范數(shù)的三角形模糊數(shù)組合預測模型（12）中，求得的最優(yōu)解中若至少有兩種單項預測方法是有效的，則構(gòu)建的組合預測模型一定是優(yōu)性組合預測模型。

所以

則由定義6可知定理1成立。

3 實例分析

為了驗證本文提出的一列三角模糊數(shù)變權(quán)組合預測模型的有效性，以文獻[12]的原始數(shù)據(jù)和單項預測方法的結(jié)果為研究基礎(chǔ)進行實例分析，原始數(shù)據(jù)和各單項預測方法的預測結(jié)果見表1。

表1 實際三角模糊數(shù)序列與三種單項預測方法擬合預測結(jié)果

Table 1 Fitting prediction results of actual triangular fuzzy number series and three single prediction methods

原始數(shù)據(jù)方法1預測結(jié)果方法2預測結(jié)果方法3預測結(jié)果 1(66.3,72.5,78.7)(69.667,75.753,81.83963)(66.1571,72.3747,78.5923)(66.3,72.5,78.7) 2(67.9,74.3,80.7)(66.414,72.6894,78.9649)(69.6027,76.211,82.8193)(67.9,74.3,80.7) 3(71.6,78.5,85.4)(71.7608,78.644,85.5274)(73.0483,80.0473,87.0463)(70.754,77.41,84.061) 4(76.4,83.8,91.2)(74.737,81.9153,89.0933)(76.4939,83.8836,91.2733)(73.98,81.0646,88.149) 5(79.8,87.6,95.4)(82.128,89.2122,96.2967)(79.9395,87.7199,95.5003)(78.673,86.2824,93.892) 6(84.8,93.1,101.4)(83.416,91.558,99.6995)(83.3851,91.5562,99.7273)(82.679,90.739,98.7994) 7(86.9,95.5,104.1)(87.1476,95.724,104.299)(86.8307,95.3925,103.9543)(87.426,95.979,104.533) 8(93.4,102.7,112.0)(94.777,,104.17,113.565)(90.2763,99.2288,108.1813)(90.536,99.467,108.398) 9(94.9,104.3,113.7)(96.077,105.638,115.193)(93.7219,103.065,112.4083)(95.98,105.522,115.062) 10(99.3,109.2,119.1)(95.712,105.228,114.744)(97.1675,106.901,116.6353)(99.12,108.95,118.7852) 11(99.5,109.4,119.3)(101.651,111.822,121.99)(100.613,110.738,120.862)(102.83,113.06,123.295) 12(102.7,113.3,123.9)(102.22,112.454,122.686)(104.059,114.574,125.089)(104.35,114.74,125.131) 13(105.3,115.9,126.5)(105.115,115.686,126.25)(107.504,118.41,129.3163)(106.77,117.678,128.58)

表2 單項預測方法各時點面積指標、中界點，重心指標序列的預測精度

Table 2 Prediction accuracy of area index, middle boundary point and center of gravity index series at each time point of single prediction method

10.95730.99831.0000(66.3,72.5,78.7)(66.157,72.375,78.592)(69.667,75.753,81.84) 20.97830.97491.0000(67.9,74.3,80.7)(66.414,72.689,78.965)(69.603,76.211,82.819) 30.99820.98070.9860(71.761,78.644,85.527)(70.754,77.408,84.061)(73.048,80.047,87.046) 40.97750.99900.9673(76.494,83.884,91.273)(74.737,81.915,89.093)(73.98,81.065,88.149) 50.98240.99870.9849(79.939,87.72,95.5)(78.673,86.282,93.892)(82.128,89.212,96.297) 60.98340.98340.9746(83.385,91.556,99.727)(83.416,91.558,99.7)(82.679,90.739,98.799) 70.99770.99890.9951(86.831,95.392,103.95)(87.148,95.724,104.3)(87.426,95.979,104.53) 80.98590.96620.9685(94.777,104.17,113.56)(90.536,99.467,108.4)(90.276,99.229,108.18) 90.98730.98820.9884(95.981,105.52,115.06)(93.722,103.07,112.41)(96.077,105.63,115.19) 100.96360.97900.9977(99.119,108.95,118.79)(97.168,106.9,116.64)(95.712,105.23,114.74) 110.97830.98790.9676(100.61,110.74,120.86)(101.65,111.82,121.99)(102.83,113.06,123.3) 120.99240.98900.9876(102.22,112.45,122.69)(104.06,114.57,125.09)(104.35,114.74,125.13) 130.99810.97880.9848(105.11,115.69,126.25)(106.77,117.68,128.58)(107.5,118.41,129.32)

表3 本文組合模型對應的最優(yōu)權(quán)系數(shù)

Table 3 The optimal weight coefficient of the combined model in this paper

本文組合模型權(quán)系數(shù) 0.7995150.1920180.008466 0.8005650.1994350 0.7988410.2011590 0.7908210.2091790 0.7823070.2176930 0.7576050.2423950

1）有效性分析

表4 本文組合模型與各單項預測方法預測效果評價指標

Table 4 prediction effect evaluation indexes of combined model and single prediction method in this paper

預測模型MSELMSEMMSEUMSEL 單項方法11.02140.46421.38202.8676 單項方法21.13590.46820.83852.4426 單項方法32.08680.52663.28555.8989 文獻[12]方法0.20730.22050.23520.6630 本文0.17020.19610.22360.5899 本文0.16930.19510.22250.5869 本文0.16960.19530.22270.5876 本文0.17100.19650.22360.5911 本文0.17170.19700.22400.5927 本文0.17320.19830.22510.5966 預測評價指標公式

由表4可知：本文所提出的基于L2范數(shù)的GIOWA算子的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預測模型的四個指標、、、數(shù)值都遠小于所有單項預測方法，因此，本文提出的組合模型能夠顯著提高三角模糊數(shù)的預測精度。

與文獻[12]組合模型對比，本文提出的L2范數(shù)的GIOWA算子的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預測模型四個指標、、、數(shù)值也都均小于文獻[12]的方法，且本文提出的組合模型可適用普遍三角模糊數(shù)序列的建模，可應用性更廣，故本文提出的模型是有效的。

2）參數(shù)的靈敏度分析

圖2 時最優(yōu)權(quán)重隨的變化

4 結(jié)論

文章基于已有的研究成果，將三角模糊數(shù)的三個界點序列用等價的面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個指標序列進行替換，通過結(jié)合廣義誘導有序加權(quán)平均（GIOWA）算子，以基于面積型中心、面積型散度、質(zhì)心三個指標的L2范數(shù)作為最優(yōu)準則，建立了一類有效的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預測模型，解決了對三角模糊數(shù)三個界點直接建?？赡墚a(chǎn)生跳躍的問題，并且克服了組合模型定權(quán)的缺點，本文模型更加靈活，魯棒性更強，可適用性也更加廣泛。并且通過實例分析也進一步驗證了模型的有效性，通過對比試驗表明，本文提出的模型可以有效提高三角模糊數(shù)的預測精度。后期進一步工作可討論不同的單項預測方法對組合預測模型的影響。

[1] Lu J.Gray system theory and residual corrected model Combination forecasting of long-term power load[J]. Electrical Engineering,2013,14(7):7-10.

[2] Peng X Y,Zhang B, Cui Y Q.The short-term load forecasting of electric power system based on combination forecast model[C].2015 27th Chinese Control and Decision Conference(CCDC). IEEE,2015.

[3] Li W Q ,Li C.A combination model with variable weight optimization for short-term electrical load forecasting[J].Energy,2018,164:575-593.

[4] 丁珍妮,陳華友,朱家明.基于面積型中心誤差準則的模糊組合預測模型及應用[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學, 2018，32(3):169-179.

[5] 謝小軍,邱云蘭,時凌.基于ARIMA和BP神經(jīng)網(wǎng)絡組合模型的能源消費預測[J].數(shù)學的實踐與認識, 2019，49(10):292-298.

[6] 袁宏俊,胡凌云.基于連續(xù)區(qū)間有序幾何加權(quán)平均Power算子的區(qū)間型組合預測模型[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2019，38(2):270-280.

[7] 陶志富,葛璐,璐陳華.基于滑動窗口的一類非負可變權(quán)組合預測方法[J].控制與決策，2020，35(6):1-7.

[8] 曾祥艷,舒蘭,蔣貴榮,等.基于三角模糊數(shù)序列的灰色預測模型[J].數(shù)學的實踐與認識, 2012,42(19):109-114.

[9] 劉齊林,曾玲,曾祥艷.基于支持向量機的區(qū)間模糊數(shù)時間序列預測[J].數(shù)學的實踐與認識,2015, 45(22):207-214.

[10] 曾祥艷,王燕,何芳麗,等. 基于GM(0,N)模型的三元區(qū)間數(shù)序列預測[J].控制與決策,2020,35(9):2269-2276.

[11] 謝小軍,馬虹,楊付貴,等.一種新的區(qū)間模糊數(shù)時間序列預測模型[J].曲阜師范大學學報:自然科學版,2020,46(4):72-76.

[12] 張宇菲,陳華友.基于面積和重心預測精度的IOWA算子的模糊變權(quán)組合預測模型[J].統(tǒng)計與決策,2018(14):24-28.

[13] 杜康,袁宏俊,鄭亞男.基于三角模糊數(shù)及GIOWA算子的區(qū)間型組合預測模型[J].統(tǒng)計與決策,2019(16):22-28.

[14] 謝小軍,馬虹,朱寧,等，基于區(qū)間相似度的IOWGA算子的三角模糊數(shù)組合預測模型[J].統(tǒng)計與決策,2020(23):23-27.

[15] 張宇菲,陳華友.基于面積和重心預測精度的IOWA算子的模糊變權(quán)組合預測模型[J].統(tǒng)計與決策, 2018(14):24-28.

[16] 謝小軍,馬虹,邱云蘭.基于對數(shù)誤差的IOWGA算子的三角模糊數(shù)變權(quán)組合預測模型[J].汕頭大學學報:自然科學版,2021,36(1):55-61.

[17] 丁珍妮,陳華友,朱家明.三角模糊數(shù)組合預測模型及其Shapley值近似解法[J].統(tǒng)計與決策, 2019(24):68-72.

[18] 袁宏俊,杜康,胡凌云.基于三角模糊數(shù)相似度的區(qū)間型組合預測模型[J].統(tǒng)計與決策,2019(6):24-29.

A SUPERIOR COMBINATION FORECASTING MODEL OF TRIANGULAR FUZZY NUMBERS

XIE Xiao-jun1,*MA Hong2, XUE Shen-fang1, QIAO Xi-min1

（1. Guangzhou College of Technology and Business, Guangzhou, Guangdong 510850, China; 2. Guangdong University of Finance, Guangzhou , Guangdong 510521, China）

The three boundary points of triangular fuzzy number sequence are transformed into three equivalent index sequences: area type center, area type divergence and centroid. Combined with the generalized induced ordered weighted average (GIOWA) operator, the L2 norm of area type center, area type divergence and centroid is selected as the optimal criterion to establish a new superior combination forecasting model of triangular fuzzy numbers, and it is proved that the new model is a superior combination forecasting model. Through the example analysis and comparison, the model is further verified to be effective and feasible, which can effectively improve the prediction accuracy. Finally, the sensitivity analysis of the parameters in GIOWA operator is carried out.

L2 norm; triangle fuzzy number; GIOWA operator; combination forecasting model

1674-8085（2022）01-0001-07

O159

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2022.01.001

2021-06-09；

2021-07-16

國家自然科學基金項目（61572016）；廣州工商學院 2021年校級科研課題（KA202132）

謝小軍(1990-)，男，湖南衡陽人，講師，碩士生，主要從事預測和決策分析研究(Email:454625759@qq.com)；

*馬 虹(1989-)，女，安徽宿州人，碩士生，主要從事預測和決策分析研究(Email:junxx12@163.com).