周延鋒， 李寧洲， 衛(wèi)曉娟， 王衛(wèi)紅

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070； 2.上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 軌道交通學(xué)院，上海 201418;3.株洲九方裝備股份有限公司，湖南 株洲 412001)

0 引 言

近年來，鴿群優(yōu)化(pigeon-inspired optimization，PIO)算法因其結(jié)構(gòu)簡單、易于理解以及較強(qiáng)的全局搜索能力而受到諸多學(xué)者的廣泛關(guān)注[1,2]。但其易陷入局部最優(yōu)，且收斂速度較慢。文獻(xiàn)[3]將鴿群優(yōu)化思想引入粒子濾波算法，通過在鴿群優(yōu)化過程中加入自適應(yīng)交叉操作來增加粒子多樣性，提高了粒子濾波算法的求解精度。郭瑞[4]通過引入收斂因子、位置因子以及速度因子來增強(qiáng)鴿群活力、提高種群多樣性，擴(kuò)大了潛在解的搜索空間。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于A*和鴿群算法的航路規(guī)劃算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)航路進(jìn)行平滑化和重規(guī)劃處理。文獻(xiàn)[6]將混沌優(yōu)化與迭代步長動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)策略相結(jié)合，對(duì)混沌變量和優(yōu)化變量進(jìn)行映射操作，提高了算法的收斂速度與局部搜索能力。文獻(xiàn)[7]通過引入自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)，對(duì)種群個(gè)體的速度和位置進(jìn)行更新，提升了航路規(guī)劃質(zhì)量和效率。

為進(jìn)一步加快PIO算法的收斂速度,提升全局搜索能力及局部收斂精度，本文在指南針?biāo)阕又腥谌胩炫ｍ毸阉?beetle antennae search,BAS)算法來增大潛在解的搜索空間，在地標(biāo)算子引入Kent混沌擾動(dòng)策略來提高局部搜索能力及收斂精度，通過測試函數(shù)和奇異值分解—無跡卡爾曼濾波(SVD-UKF)參數(shù)整定的仿真實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)改進(jìn)效果及可行性。

1 PIO算法

受鴿群飛行導(dǎo)航方式啟發(fā)，段海濱教授提出了PIO算法，其數(shù)學(xué)模型包括指南針?biāo)阕雍偷貥?biāo)算子兩部分[7,8]。

首先引入指南針?biāo)阕?，?duì)于D維目標(biāo)搜索空間中的優(yōu)化問題，每個(gè)鴿群個(gè)體i代表一個(gè)可行解，其位置和速度可分別表示為：Xi=(xi1,xi2,…,xiD)，i=1,2,…,N，Vi=(vi1,vi2,…,viD),i=1,2,…,N,其中,N為鴿群規(guī)模，即所有可行解的個(gè)數(shù)。在第k次迭代中，鴿群個(gè)體的速度Vi及位置Xi根據(jù)下式進(jìn)行更新

Vi(k)=Vi(k-1)*e-Rk+r1(Xg-Xi(k-1))

(1)

Xi(k)=Xi(k-1)+Vi(k)

(2)

式中R為指南針因子，r1為[0,1]上的隨機(jī)數(shù)，Xg全局最優(yōu)解。

在地標(biāo)算子中，每迭代一次，鴿群規(guī)模N減半，適應(yīng)度較優(yōu)的50%鴿群的中心位置Xc作為鴿群個(gè)體飛行的參考方向，鴿群個(gè)體的更新方式如下

N(k)=N(k-1)/2

(3)

(4)

Xi(k)=Xi(k-1)+r2(Xc(k)-Xi(k-1))

(5)

式中F(?)為鴿群個(gè)體重量，解決最小優(yōu)化問題時(shí)F(?)=1/f(?)+ε，ε為一個(gè)很小的數(shù)，針對(duì)最大優(yōu)化問題時(shí)F(?)=f(?)，r2為[0,1]上的隨機(jī)數(shù)。

2 改進(jìn)的PIO算法

2.1 指南針?biāo)阕痈倪M(jìn)

BAS算法作為一種新型仿生算法，其數(shù)學(xué)原理表述如下：

1)假設(shè)天牛隨機(jī)向任何方向前進(jìn)，即右觸須指向左觸須的矢量可使用隨機(jī)向量進(jìn)行表示，對(duì)其進(jìn)行歸一化處理可得

(6)

式中D為空間維度。

2)天牛質(zhì)心為X，d0為兩觸須間距離，則左右觸須位置可表示為

(7)

3)確定左右觸須氣味強(qiáng)度f(Xl)和f(Xr)，進(jìn)而判別天牛前進(jìn)方向。

4)結(jié)合天牛的搜索行為，天牛位置的迭代更新方式為

(8)

式中Xk為第k次迭代中的天牛質(zhì)心，Xl(k-1),Xr(k-1),δk-1分別為第k-1次迭代中的左右觸須位置及步長。

5)更新步長公式如下

δk=δk-1η

(9)

式中η為步長衰減系數(shù)。

循環(huán)步驟(1)～步驟(5)，即可獲得全局最優(yōu)解。因此，在指南針?biāo)阕又?，基于BAS算法對(duì)PIO算法進(jìn)行改進(jìn)的基本思路是當(dāng)鴿群個(gè)體位置與速度更新之后，將其視為天牛，計(jì)算其按照BAS算法移動(dòng)之后的適應(yīng)度值，并對(duì)移動(dòng)前后的適應(yīng)度值進(jìn)行對(duì)比，如果移動(dòng)后的適應(yīng)度值更優(yōu)，則移動(dòng)，否則不進(jìn)行移動(dòng)。

2.2 地標(biāo)算子改進(jìn)

混沌作為一種非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，在搜索空間具有很強(qiáng)的遍歷性。為提高算法的局部搜索精度，在地標(biāo)算子中引入混沌擾動(dòng)策略，以獲得相對(duì)較優(yōu)的鴿群個(gè)體。

本文采用遍歷性較好的Kent混沌映射，其數(shù)學(xué)模型為

(10)

式中Zn為混沌變量。

地標(biāo)算子中，鴿群個(gè)體位置的更新方式由其適應(yīng)度值決定，適應(yīng)度值較優(yōu)的前N/2個(gè)個(gè)體采用原方式更新，適應(yīng)度值較差的后N/2個(gè)個(gè)體采用引入混沌擾動(dòng)的方式更新，更新方式具體如下

(11)

式中β(k)為調(diào)節(jié)系數(shù)，Zi為第i個(gè)鴿群個(gè)體的混沌變量。

綜上所述，改進(jìn)的PIO(IPIO)算法流程為：

Step1 初始化鴿群規(guī)模N、指南針?biāo)阕拥螖?shù)Nmap、地標(biāo)算子迭代次數(shù)Nland、指南針因子R、鴿群個(gè)體的速度V和位置X；初始化兩觸須距離d0、步長δ、衰減系數(shù)η。

Step2 根據(jù)式(1)、式(2)更新鴿群個(gè)體速度Vi(k)及位置Xi(k)，然后根據(jù)式(6)～式(8)更新天牛位置XiBAS(k)，根據(jù)式(9)更新步長。

Step3 比較天牛移動(dòng)前后的適應(yīng)度值f(Xi(k))和f(XiBAS(k))，選擇適應(yīng)度值較優(yōu)個(gè)體作為更新后的鴿群個(gè)體，更新全局最優(yōu)解Xg。

Step4 判斷是否k>Nmap，是則執(zhí)行下一步，否則返回Step2。

Step5 根據(jù)式(3)、式(4)計(jì)算鴿群數(shù)目和鴿群位置中心，根據(jù)式(11)更新鴿群個(gè)體位置，進(jìn)而更新全局最優(yōu)解Xg。

Step6 判斷是否k>Nland，是則結(jié)束程序，輸出全局最優(yōu)解Xg，否則返回Step5。

3 基于IPIO算法的SVD-UKF參數(shù)整定

無跡Kalman濾波(UKF)因其濾波求解精度較高等優(yōu)點(diǎn)在諸多領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用[9]。但其采用的Cholesky分解無法對(duì)非正定矩陣進(jìn)行分解，易造成病態(tài)問題。為避免這一問題,增強(qiáng)協(xié)方差矩陣的數(shù)值穩(wěn)定性，可利用求解性能較好的奇異值分解(SVD)對(duì)Cholesky分解進(jìn)行替換。

SVD-UKF的參數(shù)主要有：過程噪聲協(xié)方差矩陣Q,觀測噪聲協(xié)方差矩陣R以及尺度系數(shù)ρ。以往參數(shù)的設(shè)定主要依賴主觀經(jīng)驗(yàn)，估計(jì)效果不佳。因此，本文將結(jié)合機(jī)車黏著控制工程背景，利用IPIO算法對(duì)SVD-UKF的參數(shù)進(jìn)行整定。參照文獻(xiàn)[10]，SVD-UKF觀測器的狀態(tài)方程及觀測方程分別如下

(12)

(13)

式中Tm為牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩，TL為牽引電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩，Jequ為輪對(duì)側(cè)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Rg為齒輪箱傳動(dòng)比，ωw為輪對(duì)角速度。

通過分析可知，Q為二維對(duì)角陣，而R和ρ均為常數(shù)，故IPIO算法的尋優(yōu)個(gè)體可構(gòu)造為Xi=(q1,q2,R,ρ)，4個(gè)參數(shù)作為IPIO算法的適應(yīng)度變量。尋優(yōu)問題適應(yīng)度函數(shù)的選擇常依據(jù)其性能進(jìn)行選擇，本文選擇動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度較快、超調(diào)量小的時(shí)間誤差積分準(zhǔn)則ITAE，所構(gòu)造IPIO算法適應(yīng)度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(14)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 算法性能測試

為驗(yàn)證IPIO的正確性及有效性，將其與PIO及PSO算法進(jìn)行對(duì)比分析。所選性能測試函數(shù)為Rosenbrock、Sphere、Griewangk以及Rastrigin，其均在(0,…，0)點(diǎn)處取得全局最小值0。為保證測試結(jié)果的公平性及科學(xué)性，對(duì)其均進(jìn)行以下參數(shù)設(shè)置：種群/粒子群數(shù)量N=50，最大迭代次數(shù)k=1 000，個(gè)體/粒子維數(shù)D=20，將其各自獨(dú)立運(yùn)行30次的最優(yōu)值及最優(yōu)值的平均值和方差作為測試結(jié)果。4種測試函數(shù)的表達(dá)式及變量取值范圍如下

xi∈[-30,30]，

xi∈[-600,600]

xi∈[-5.12,5.12]

三種算法對(duì)4種性能測試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果見表1，適應(yīng)度收斂曲線如圖1～圖4所示。

表1 測試函數(shù)尋優(yōu)結(jié)果

由表1可知，針對(duì)單峰函數(shù)，對(duì)于函數(shù)f1，IPIO的最優(yōu)值分別比PIO和PSO高6個(gè)和3個(gè)數(shù)量級(jí)，平均值分別高于4個(gè)和1個(gè)數(shù)量級(jí)；對(duì)函數(shù)f2，只有IPIO的最優(yōu)值為0，其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差也遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于PIO和PSO。

針對(duì)多峰函數(shù)，對(duì)于函數(shù)f3，只有IPIO的尋優(yōu)最優(yōu)值為0，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差也均優(yōu)于PIO和PSO；而對(duì)函數(shù)f4，仍只有IPIO的最優(yōu)值為0，且平均值和標(biāo)準(zhǔn)差也均高于其他兩種算法8～9個(gè)數(shù)量級(jí)。

由圖1～圖4可以看出，IPIO算法總能夠迅速地收斂，其收斂速度均遠(yuǎn)高于PIO和PSO，證明對(duì)指南針?biāo)阕拥母倪M(jìn)有效提升了其全局收斂速度。從表1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也可以看出，由于Kent混沌擾動(dòng)策略的融入，地標(biāo)算子的局部搜索能力及搜索效果也得到了顯著的提升。通過以上分析，均證實(shí)了本文對(duì)PIO所提出改進(jìn)策略的可行性及有效性，為后期的參數(shù)整定奠定了基礎(chǔ)。

圖1 f1函數(shù)的適應(yīng)度收斂曲線

圖2 f2函數(shù)的適應(yīng)度收斂曲線

圖3 f3函數(shù)的適應(yīng)度收斂曲線

圖4 f4函數(shù)的適應(yīng)度收斂曲線

4.2 SVD-UKF參數(shù)整定

采用IPIO算法腳本文件調(diào)用機(jī)車單輪對(duì)SIMULINK模型的方式，對(duì)SVD-UKF參數(shù)進(jìn)行整定，機(jī)車動(dòng)力學(xué)參數(shù)設(shè)置：車輪半徑R為0.625 m,軸重W為25 000 kg，齒輪箱傳動(dòng)比Rg為5.64，齒輪箱傳遞效率ηgear為0.95，車輪側(cè)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jequ為184.9 kg/m3。

以式(14)作為適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，獲得一組最適合的參數(shù)(q1,q2,R,ρ)來滿足機(jī)車黏著控制過程中的觀測需求。算法參數(shù)設(shè)置為：N=30，Nmap=90，Nland=30，R=0.3，d0=2，δ=π，η=0.95?；诖耍瑑?yōu)化整定后的SVD-UKF參數(shù)為(8.420 1×10-6，9 189.474，0.01，1.001 5)，SVD-UKF參數(shù)優(yōu)化整定過程中的適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線如圖5所示。

圖5 SVD-UKF參數(shù)整定適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線

從圖5可以看出，IPIO算法在SVD-UKF參數(shù)優(yōu)化整定過程中，適應(yīng)度函數(shù)收斂速度較快，在迭代次數(shù)30次左右時(shí)，已收斂至全局最小值附近，表明改進(jìn)算法在SVD-UKF參數(shù)整定時(shí)亦具有較優(yōu)的搜索性能。

黏著系數(shù)估計(jì)對(duì)比分析如圖6所示。機(jī)車運(yùn)行過程中，軌面工況在5 s時(shí)進(jìn)行切換，從圖6中可以看出，參數(shù)優(yōu)化整定前的黏著系數(shù)估計(jì)效果并不理想，對(duì)軌面實(shí)時(shí)黏著系數(shù)的估計(jì)存在滯后現(xiàn)象。而參數(shù)優(yōu)化整定后的SVD-UKF響應(yīng)速度較快，在不同的軌面工況下，均能夠?qū)壝鎸?shí)時(shí)黏著系數(shù)進(jìn)行有效估計(jì)，跟蹤效果較好，為機(jī)車黏著的有效控制及提高其黏著利用率提供了保障。

圖6 黏著系數(shù)估計(jì)對(duì)比分析

5 結(jié) 論

針對(duì)PIO算法易陷入局部最優(yōu)、收斂速度較慢的缺點(diǎn)，提出了融合天牛須算法與混沌擾動(dòng)策略的改進(jìn)方式。通過性能測試函數(shù)驗(yàn)證了IPIO算法的可行性及有效性。并將經(jīng)IPIO優(yōu)化整定后的SVD-UKF應(yīng)用到機(jī)車黏著控制中，仿真結(jié)果表明:在不同工況下SVD-UKF均具有良好的估計(jì)效果，所提出的適應(yīng)度函數(shù)也能夠有效地對(duì)觀測器的濾波估計(jì)效果進(jìn)行定量評(píng)估。