基于POD方法的熱風(fēng)加熱瀝青路面溫度場(chǎng)重構(gòu)

張 輝，姜衛(wèi)國(guó)，劉瑞虎，朱 衛(wèi)

(長(zhǎng)安大學(xué)工程機(jī)械系公路養(yǎng)護(hù)裝備國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710064)

0 引言

熱風(fēng)循環(huán)加熱是我國(guó)瀝青路面熱再生預(yù)熱階段采用的主要加熱方式之一，對(duì)熱風(fēng)加熱瀝青路面?zhèn)鳠嵋?guī)律的進(jìn)一步研究可以找到一種不同工況下的最優(yōu)施工參數(shù)組合，大幅度提高作業(yè)效率。當(dāng)前對(duì)熱風(fēng)加熱瀝青路面?zhèn)鳠徇^(guò)程的研究大多都采用CFD數(shù)值計(jì)算軟件進(jìn)行仿真，由于仿真模型涉及到共軛傳熱，且瀝青為熱的不良導(dǎo)體，熱量在瀝青路面內(nèi)部的傳遞緩慢，導(dǎo)致數(shù)值模型計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，效率較低。因此，尋求一種高效的溫度場(chǎng)計(jì)算方法十分必要。

采用本征正交分解法(Proper Orthogonal Decomposition，簡(jiǎn)稱(chēng)POD)，可將已有的流場(chǎng)數(shù)據(jù)通過(guò)時(shí)間和空間分離技術(shù)，分解為只包含空間參數(shù)的本征模態(tài)和只與時(shí)間相關(guān)的序列的級(jí)數(shù)組合，采用較少的級(jí)數(shù)對(duì)流場(chǎng)的本質(zhì)特征進(jìn)行模擬，可達(dá)到簡(jiǎn)化流場(chǎng)分布的目的[1]。目前，POD方法在復(fù)雜流場(chǎng)計(jì)算中已有大量的研究和應(yīng)用[2-5]。

1 POD方法的基本原理

POD方法是一種高效分析多維數(shù)據(jù)的方法，其從數(shù)據(jù)本質(zhì)上提取了一組滿足最小二乘意義上能量最優(yōu)的基函數(shù)，在這些基函數(shù)中，一般能量最高的幾個(gè)基函數(shù)就已經(jīng)包含了已有數(shù)據(jù)的絕大部分本質(zhì)信息，因此，利用這些少量的基函數(shù)和對(duì)應(yīng)的譜系數(shù)進(jìn)行線性組合，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)原有數(shù)據(jù)的高精度模擬[6]。

任何函數(shù)均可寫(xiě)為式(1)所示的一組正交基函數(shù)的線性組合：

(1)

式中，函數(shù)f(x，t)可為任意流場(chǎng)；ak(t)表示譜系數(shù)，為時(shí)間的函數(shù)；φk(x)表示基函數(shù)，為空間的函數(shù)；N為基函數(shù)的總數(shù)。

POD方法的核心在于尋找一組能夠最準(zhǔn)確地描述函數(shù)f(x，t)的一組正交基函數(shù)，即尋找一組可以滿足如式(2)所示的最小二乘意義上能量最優(yōu)的POD基函數(shù)[7]：

maxφ〈(f，φ)2〉s.t.(φ，φ)=1

(2)

對(duì)由樣本數(shù)據(jù)得到的自相關(guān)矩陣采取正交分解計(jì)算出基函數(shù)φ的特征向量[φ(x1)φ(x2) …φ(xNt)]T以及其特征值λ。這里求得的特征向量也稱(chēng)POD模態(tài)，特征值對(duì)應(yīng)每個(gè)模態(tài)所含的能量值。將特征值和特征向量按照特征值大小順序重新排列，特征值從大到小對(duì)應(yīng)的POD模態(tài)依次為第1到第N階模態(tài)，第i階模態(tài)所包含的能量貢獻(xiàn)率可表示為：

(3)

由于前幾階模態(tài)包含了大部分的數(shù)據(jù)信息，因此通常利用前M階即可實(shí)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)的高精度描述，此時(shí)函數(shù)f(x，t)可近似寫(xiě)為如下公式：

(4)

這樣，通過(guò)對(duì)已有熱風(fēng)加熱瀝青路面溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行POD分解，分解出溫度場(chǎng)的各階模態(tài)，找到包含絕大部分能量的前M階模態(tài)，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)原始溫度場(chǎng)的高精度重構(gòu)。

2 溫度場(chǎng)POD模態(tài)分解

通過(guò)CFD軟件建立熱風(fēng)加熱瀝青路面的二維流固耦合換熱模型，根據(jù)施工中的常用工況，設(shè)定噴嘴出口熱風(fēng)溫度為500℃，出口熱風(fēng)流速8 m/s，噴口直徑0.055 m，噴口距離瀝青路面0.15 m，瀝青路面深度0.1 m，計(jì)算60 min內(nèi)的溫度場(chǎng)分布數(shù)據(jù)。

將溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB中，通過(guò)POD模態(tài)分解，得到各階模態(tài)數(shù)據(jù)，這里根據(jù)式(3)計(jì)算出占比較大的前20階模態(tài)的能量貢獻(xiàn)率，如圖1所示。

圖1 前20階模態(tài)能量貢獻(xiàn)率

從圖1可以看出，前4階模態(tài)的能量貢獻(xiàn)率為66%，而前14階模態(tài)能量貢獻(xiàn)率達(dá)到90%，前4階模態(tài)已包含了溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)的絕大部分主要信息，為了保證溫度場(chǎng)計(jì)算精度，在溫度場(chǎng)重構(gòu)中應(yīng)盡可能選擇前14階以上的模態(tài)進(jìn)行計(jì)算。

3 溫度場(chǎng)POD重構(gòu)

低階模態(tài)相對(duì)于高階模態(tài)所含能量更高，其涵蓋了溫度場(chǎng)中的低頻、大尺度流動(dòng)結(jié)構(gòu)，而高階模態(tài)包含了溫度場(chǎng)中的大部分高頻噪聲和干擾，因此選用能夠描述溫度場(chǎng)本質(zhì)信息的一組低階模態(tài)進(jìn)行原始溫度場(chǎng)重構(gòu)，不僅能夠得到溫度場(chǎng)的主要結(jié)構(gòu)，更有利于后續(xù)對(duì)溫度場(chǎng)的分析和預(yù)測(cè)。

選擇對(duì)加熱時(shí)間為60 min下的溫度場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)，由于前14階模態(tài)的能量貢獻(xiàn)率高達(dá)90%，因此這里利用前14階模態(tài)數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(4)對(duì)溫度場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)，圖2為重構(gòu)出的溫度場(chǎng)和原始溫度場(chǎng)的對(duì)比圖。

圖2 重構(gòu)溫度場(chǎng)與原始溫度場(chǎng)對(duì)比

從圖2可以看出，前14階模態(tài)的重構(gòu)流場(chǎng)已經(jīng)包含了溫度場(chǎng)的主要結(jié)構(gòu)，保留了能夠反映溫度場(chǎng)本質(zhì)特征的所有大尺度渦旋和大部分小尺度渦旋，雖然隨著重構(gòu)流場(chǎng)模態(tài)階數(shù)的增加，越來(lái)越多的小尺度渦旋將會(huì)被保留，但前14階模態(tài)的能量貢獻(xiàn)率已高達(dá)90%，因此利用前14階模態(tài)重構(gòu)出的溫度場(chǎng)可以近似代替原始溫度場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算分析，同時(shí)滿足基本的計(jì)算精度需求。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于POD方法的基本原理，將CFD數(shù)值計(jì)算得到的熱風(fēng)加熱瀝青路面的溫度場(chǎng)分布數(shù)據(jù)通過(guò)POD模態(tài)分解和重構(gòu)，分析得到以下結(jié)論。

1)前4階模態(tài)的能量貢獻(xiàn)率為66%，前14階模態(tài)的能量貢獻(xiàn)率高達(dá)90%，已包含了溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)的絕大部分主要信息。

2)前14階模態(tài)的重構(gòu)流場(chǎng)保留了能夠反映溫度場(chǎng)本質(zhì)特征的所有大尺度渦旋和大部分小尺度渦旋，利用前14階模態(tài)重構(gòu)出的溫度場(chǎng)，能夠近似代替原始溫度場(chǎng)，并滿足一定的精度要求。