一節(jié)好課

吳軼泓

（江蘇省蘇州市昆山市張浦鎮(zhèn)張浦初級中學(xué)，江蘇 蘇州）

一、提高學(xué)習(xí)勾股定理的目標(biāo)

勾股定理在初中數(shù)學(xué)的圖形與幾何部分有著重要地位。勾股定理既是平面幾何中的重要定理，又是數(shù)形結(jié)合思想的一次生動展現(xiàn)。在實(shí)際教學(xué)中，我們需要讓學(xué)生知道什么是勾股定理，如何運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題，還需要讓學(xué)生真正經(jīng)歷勾股定理的“再發(fā)現(xiàn)”過程，讓學(xué)生作為課堂的主體來推動教學(xué)，將我國古代勾股定理的發(fā)現(xiàn)和畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程，結(jié)合起來介紹，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化并培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。

二、引入勾股定理背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在“教材編寫建議”所述：數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。因此，教材可以適時地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料等，但是在介紹背景材料時，由我國發(fā)現(xiàn)或證明的數(shù)學(xué)定理和結(jié)論比較少，甚至在蘇教版的課本中，引入情景是畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的郵票圖案。

選擇我國歷史上的趙爽證法來引入，讓學(xué)生了解到，在我國古代的幾何學(xué)中，已經(jīng)記載了能夠如火純情應(yīng)用的面積方法，總結(jié)出的面積“出入相補(bǔ)”原理運(yùn)用到許多幾何圖形的研究中，而著名的勾股定理趙爽證法就是這一原理的經(jīng)典應(yīng)用，介紹歷史背景可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生感受到中國歷史上的數(shù)學(xué)成就，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和愛國主義情感。

三、勾股定理中的數(shù)學(xué)思考

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行勾股定理的再發(fā)現(xiàn)過程，建立直角三角形的三條邊的平方與長方形面積的聯(lián)系。在格點(diǎn)紙上的正方形面積，雖然可以直接數(shù)格子解決，但是其他兩個正方形的面積不能直接數(shù)出小方格的個數(shù)。通過設(shè)計問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)已有的知識不能解決問題，產(chǎn)生矛盾來引起學(xué)生思考。讓學(xué)生進(jìn)行幾次實(shí)際操作，來發(fā)現(xiàn)三個正方形面積之間的聯(lián)系，總結(jié)其中的規(guī)律。在這個觀察、猜想、驗(yàn)證的過程中，教師應(yīng)保持引導(dǎo)者的身份，發(fā)現(xiàn)勾股定理的主體始終應(yīng)該是學(xué)生自己。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在“課程內(nèi)容”中針對“勾股定理及其應(yīng)用”指出：探索勾股定理，并能運(yùn)用它解決一些簡單的實(shí)際問題，那么，站在學(xué)生的角度，可以通過設(shè)置有一定思維量的問題。學(xué)生通過努力得到見解，讓學(xué)生更有成就感，體會探究的樂趣。同時要兼顧后進(jìn)生的學(xué)習(xí)情況，將綜合性較強(qiáng)的題目分階梯，設(shè)置多小問的形式?？梢岳靡恍┨厥馇闆r來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。筆者設(shè)計了一個問題串：“在直角三角形中兩直角邊的長分別為6 和8，求斜邊的長?！边M(jìn)行變式——變式1：將條件中“兩直角邊”改為“兩邊”其他不變？繼續(xù)將數(shù)學(xué)問題與生活模型相結(jié)合。變式2：已知有一根16 米高的竹子，折斷后竹梢著地與竹子底部相距8 米，求折斷處離地面的高度？變式3：超強(qiáng)臺風(fēng)將路邊大樹吹斷，樹尖著地與地面成45 度，同時和樹干底部距離6 米，樹干與地面成30 度，則大樹原來高多少米？以上4 個問題從簡單的公式運(yùn)用到實(shí)際問題的運(yùn)用層次遞進(jìn)，將來源于教材中的例題進(jìn)行變形，同時借助勾股定理在解決幾何問題時的通用特點(diǎn)，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理的運(yùn)用環(huán)境，在已知和未知之間產(chǎn)生思維的碰撞。

通過學(xué)生自己的歸納發(fā)現(xiàn)了勾股定理之后，去掉在直角三角形中這個條件，如果不在直角三角形中，三角形的三條邊關(guān)系是否也有一樣的結(jié)論呢？如果不是，那能不能找到它們的三條邊長度的關(guān)系？教師將問題階梯化，讓每一層的學(xué)生都能思考。普通學(xué)生可能通過舉例說明勾股定理在銳角三角形和鈍角三角形中不成立?；A(chǔ)更好的學(xué)生可以獨(dú)立完成探究，通過同樣的從特殊到一般的探索過程，歸納出銳角三角形和鈍角三角形中的三條邊平方的關(guān)系。優(yōu)秀的學(xué)生還可能在三種不同的三角形邊長平方的關(guān)系中，嘗試探究其中的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

四、提高課堂效率

“雙減”背景下需要減少課外作業(yè)，也就需要教師進(jìn)一步提高課堂的教學(xué)效率，減少其他因素對學(xué)生課堂時間的浪費(fèi)。例如，借助一題多變，上文提及的問題串形式，或是將勾股定理中的在直角三角形換成在其他種類的三角形中，來引起學(xué)生思考。合理運(yùn)用好問題串，減少學(xué)生花費(fèi)在閱讀題目和理解題目上的精力。

在教學(xué)過程中，很多教師都是把我國古代勾股定理的證明和畢達(dá)哥拉斯勾股定理的證明看成兩個獨(dú)立的方法，分別進(jìn)行講解，而沒有去嘗試發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在聯(lián)系，減少學(xué)生的精力浪費(fèi)。勾股定理應(yīng)該是一次很好的數(shù)形結(jié)合機(jī)會，在以往教學(xué)中教師很少讓學(xué)生感知代數(shù)證明過程中的圖形變化，每一步都是在代數(shù)運(yùn)算而不存在幾何意義的講解，用數(shù)形結(jié)合的方法讓學(xué)生感知勾股定理，也能更好地利用學(xué)生在課堂中的精力，從而提高課堂的效率。