一道2021年上海數(shù)學(xué)競賽試題的解法探究

山西省太原市第三實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 (030031) 董立偉

圖1

圖2

評注：解法中利用“坐標(biāo)法”的思想，將求CD的長度轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而只需想法求出AB、CP、BM三條直線的方程即可.當(dāng)然，解法是以“點(diǎn)P在線段AB上”和“點(diǎn)D為直線CP與BM的交點(diǎn)”兩個(gè)事實(shí)為基礎(chǔ).其本質(zhì)是“三點(diǎn)共線”.

評注：向量法有效地將問題中的長度、角度等幾何關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使得問題的解答變得簡單.當(dāng)然，求解中也可以換一個(gè)視角來理解“CP是△CAB的一個(gè)頂點(diǎn)C與對邊AB上一點(diǎn)P的連線”這一幾何結(jié)構(gòu)：線段PA和PB是具有一個(gè)公共端點(diǎn)的兩條線段，且∠ACP和∠BCP分別是這兩條線段對同一視點(diǎn)C的張角.

解法4：(張角定理1)在△CAB和△CMB中分別使用張角定理，可得

圖3

評注：借助輔助線CO，使得圖形中隱藏的邊角關(guān)系變得明朗.事實(shí)上，我們確定了含有邊CD的一個(gè)三角形△BCD中的一邊BC的長度，并可以確定CD與BC各自的對角.因此，還可以利用正弦定理得到解法6.

評注：本解法充分利用了圖形中的角之間的關(guān)系.當(dāng)然，在△CDM中使用正弦定理也可以給出一個(gè)類似的解答.事實(shí)上，利用圖中的角與長度，還可以進(jìn)一步確定一些邊長，比如AP和BP，且不難發(fā)現(xiàn)BDM是△ACP的一條截線.

圖4