Frobenius擴(kuò)張下的W⊥-Gorenstein內(nèi)射性

宋 維

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室, 浙江 杭州 310053)

文中的環(huán)R,S均指帶有單位元的環(huán),若非特別指出,R-模均指右R-模,Mod-R表示所有右R-模構(gòu)成的模范疇,idR(M)表示MR的內(nèi)射維數(shù),r.gldimR表示環(huán)R的右整體維數(shù).

傾斜理論是代數(shù)表示論中的最基本也是最重要的內(nèi)容之一,其最本質(zhì)的研究對(duì)象就是傾斜模以及由傾斜模誘導(dǎo)出的一些子模范疇之間的對(duì)應(yīng).廣義傾斜模(也稱Wakamastu傾斜模[1])首先由Wakamastu[2]提出廣義傾斜模(也稱Wakamastu傾斜模[1]).一方面,廣義傾斜模具有很多和傾斜模類似的性質(zhì)；另一方面,一個(gè)和廣義傾斜模相關(guān)的Artin代數(shù)表示論中的著名的同調(diào)猜想,稱之為Wakamastu傾斜猜想(WTC),與表示論中其他著名猜想密切相關(guān).例如,可以利用著名的有限維猜想推出Wakamastu傾斜猜想,利用Wakamastu傾斜猜想可以推出Gorenstein對(duì)稱猜想和廣義Nakayama猜想等[1,3-4].

目前,關(guān)于Gorenstein同調(diào)代數(shù)的研究已有許多結(jié)果.作為Gorenstein內(nèi)射模的推廣形式,Ouaighi[5]定義了X-Gorenstein內(nèi)射模類,這里的X指的是包含內(nèi)射模類的一個(gè)模類.這種模類統(tǒng)一了一些重要的同調(diào)模類,事實(shí)上,若令X為所有內(nèi)射模的類,則X-Gorenstein內(nèi)射模即為經(jīng)典的Gorenstein內(nèi)射模.Meng等[6]給出這類模許多重要的性質(zhì).

環(huán)擴(kuò)張理論中,一類重要的環(huán)擴(kuò)張為Frobenius擴(kuò)張,它是Frobenius代數(shù)的一種推廣,它在代數(shù)表示論、結(jié)構(gòu)理論以及拓?fù)淞孔佑蚶碚撝芯兄匾饔肹7-10].Frobenius擴(kuò)張的研究通常會(huì)和可分?jǐn)U張聯(lián)系在一起,即是可分的Frobenius擴(kuò)張,其基本的例子是群代數(shù)在其具有有限指數(shù)的子群代數(shù)上的擴(kuò)張,更多的例子可參見文[11,例2.4].

1 W⊥-Gorenstein內(nèi)射模

首先回顧廣義傾斜模的概念.

定義1一個(gè)有限生成的R-模WR稱為一個(gè)廣義傾斜模(或稱為Wakamastu傾斜模[1]),若WR是自正交的,即對(duì)任意的i≥1,均有

且存在正合列

使得

1) 對(duì)i≥0,每個(gè)Ti∈addWR,這里的addWR指的是由所有的同構(gòu)于WR的有限直和的直和項(xiàng)構(gòu)成的R-模的全子模范疇.

2) 用HomR(-,WR)作用上述正合列后仍是正合的.

回憶一個(gè)R-模類是一個(gè)內(nèi)射預(yù)解類,指的是它包含內(nèi)射模類,并且對(duì)擴(kuò)張和單同態(tài)的余核封閉.對(duì)于一個(gè)廣義傾斜R-模WR,定義

對(duì)于一個(gè)廣義的傾斜模W,在Gorenstein內(nèi)射模定義[14]的基礎(chǔ)上,定義W⊥-Gorenstein內(nèi)射模如下:

定義2設(shè)WR是一個(gè)廣義傾斜模,一個(gè)R-模MR稱為W⊥-Gorenstein內(nèi)射指的是存在內(nèi)射模的正合列

根據(jù)上述定義,容易得到關(guān)于W⊥-Gorenstein內(nèi)射模的一些基本事實(shí):

1) 每個(gè)內(nèi)射R-模是W⊥-Gorenstein內(nèi)射的.

2) 每個(gè)W⊥-Gorenstein內(nèi)射模是Gorenstein內(nèi)射的.

3)W⊥-Gorenstein內(nèi)射模是一個(gè)內(nèi)射預(yù)解類,且對(duì)直積和直和項(xiàng)是封閉的(見文[6]命題2.10).

下面的引理是對(duì)文[14]中引理3.12對(duì)偶結(jié)論的一個(gè)應(yīng)用.

引理1設(shè)MR是一個(gè)R-模,考慮下面的兩個(gè)正合列

2 Frobenius擴(kuò)張下的W⊥-Gorenstein

內(nèi)射性

1)T=-?RSS:Mod-R→Mod-S是由MR→M?RSS給出.

2)H=HomR(SSR,-):Mod-R→Mod-S是由MR→HomR(SSR,MR)給出.

容易驗(yàn)證(T,F),(F,H)均是伴隨對(duì).

由文[8]中的定義1.1和定理1.2得Frobenius擴(kuò)張.

定義3[8]一個(gè)環(huán)擴(kuò)張S/R稱之為Frobenius擴(kuò)張,指的是它滿足下列等價(jià)條件:

1) 函子T和H是自然等價(jià)的.

2)RSS?HomR(SSR,RRR),并且SR是有限生成投射的.

3)SSR?HomROP(RSS,RRR),并且RS是有限生成投射的.

Frobenius擴(kuò)張的研究通常會(huì)和另一種重要的擴(kuò)張,也就是可分?jǐn)U張聯(lián)系在一起.

定義4一個(gè)環(huán)擴(kuò)張S/R是可分?jǐn)U張,如果S-雙模同態(tài)π是可裂滿的,其中

π:S?RS→S,s1?Rs2s1s2

一個(gè)環(huán)擴(kuò)張S/R既是Frobenius擴(kuò)張,又是可分?jǐn)U張,則被稱作一個(gè)可分的Frobenius擴(kuò)張.

證明根據(jù)假設(shè)S/R是一個(gè)Frobenius擴(kuò)張,則對(duì)任意的MR∈Mod-R,T(MR)=M?RSS?HomR(SSR,MR)=H(MR).根據(jù)伴隨同構(gòu),對(duì)任意的i≥1,

證明根據(jù)伴隨同構(gòu),對(duì)任意的i≥1,

由于S/R是一個(gè)Frobenius擴(kuò)張,RS為一個(gè)有限生成的投射R-模,因而W?RSR∈addWR.根據(jù)假設(shè)得到,對(duì)任意的i≥1均有

從而對(duì)任意的i≥1,

即得到

命題4設(shè)R是一個(gè)交換環(huán),S/R是一個(gè)環(huán)的Frobenius擴(kuò)張.若WR是一個(gè)廣義傾斜R-模,則W?RSS是一個(gè)廣義傾斜S-模.

證明由于RS是一個(gè)有限生成的投射模,則有W?RSS是有限生成的.對(duì)任意的i≥1,有

根據(jù)假設(shè)S/R是一個(gè)Frobenius擴(kuò)張,RS作為R-模是有限生成投射的,從而W?RSR∈addWR.由于WR是自正交的,得到對(duì)任意的i≥1,

故

對(duì)任意的i≥1都成立,即S-模W?RSS是自正交的.

另一方面,因?yàn)閃R是一個(gè)廣義傾斜R-模,于是存在Mod-R中的正合列

其中對(duì)任意的i≥1,Ti∈addWR,且用HomR(-,WR)作用上述正合列仍正合.由于RS是有限生成投射的,用張量函子-?RSS作用后得到Mod-S中的正合列

其中對(duì)任意的i≥1,

Ti?RSS∈add (W?RS)S

考慮下面的復(fù)形同構(gòu),

其中第一個(gè)同構(gòu)是由伴隨同構(gòu)得到.根據(jù)假設(shè)W?RSR∈addWR,由于HomR(T,W)是正合的,從而HomR(T,W?RSR)也是正合的,于是HomS(T?RSS,W?RSS)也是正合的.

綜上所述,W?RSS是一個(gè)廣義傾斜S-模.

回想一個(gè)函子F:C→D稱為Frobenius函子指的是存在一個(gè)函子G:D→C使得(F,G)和(G,F)都是伴隨對(duì).根據(jù)Frobenius擴(kuò)張的定義,容易看出由雙模AAS和SAA誘導(dǎo)的函子-?SAA?HomS(AAS,-)是一個(gè)Frobenius函子.

證明設(shè)T=-?RSS:Mod-R→Mod-S是由MSM?RSS對(duì)應(yīng)關(guān)系得到的張量函子,則T?H=HomS(AAS,-)是一個(gè)同時(shí)以限制函子F=-?sSR為左、右伴隨的Frobenius函子.

根據(jù)定理1和定理2,分別得到

3 W⊥-Gorenstein內(nèi)射維數(shù)

類似于一些經(jīng)典的同調(diào)維數(shù)的定義,本文定義了模的W⊥-Gorenstein內(nèi)射維數(shù)和環(huán)的整體W⊥-Gorenstein內(nèi)射維數(shù).

W⊥-GidR(M)=Inf{n|?W⊥-Gorenstein內(nèi)射分解0→M→E0→E1→…→En→0}

如果不存在這樣的n,則記W⊥-GidR(M)=∞.

下面的命題表明一個(gè)模的W⊥-Gorenstein內(nèi)射維數(shù)在Frobenius擴(kuò)張下是“保持的”.

命題6設(shè)R是一個(gè)交換環(huán),S/R是一個(gè)環(huán)的Frobenius擴(kuò)張.對(duì)任意的R-模MR均有

證明首先斷言

若W⊥-GidR(M)=∞,結(jié)論顯然成立.

假設(shè)W⊥-GidR(M)=n<∞,則存在Mod-R中的正合列

0→M→E0→E1→…→En→0

0→M?RSS→E0?RSS→E1?RSS→…→
En?RSS→0

反過(guò)來(lái),假設(shè)

對(duì)于R-模MR,存在Mod-R中的正合列

0→M→E0→E1→…→Em-1→Km→0

使得對(duì)0≤i≤m-1,Ei均是W⊥-Gorenstein內(nèi)射模(事實(shí)上,可以都取內(nèi)射模).由于RS是投射的,于是利用張量函子-?RSS作用后得到Mod-S中的正合列

綜上,得到

推論1是命題6的一個(gè)有意義的推論.

推論1設(shè)S/R是一個(gè)環(huán)的Frobenius擴(kuò)張.對(duì)任意的R-模MR,均有idR(M)=idS(M?RS).

命題7設(shè)MR是一個(gè)R-模,M′R是MR的一個(gè)直和項(xiàng),則有

W⊥-GidR(M′R)≤W⊥-GidR(MR)

證明若W⊥-GidR(MR)=∞,則結(jié)論顯然成立.令MR?M′R⊕M″R,現(xiàn)設(shè)

W⊥-GidR(MR)=n<∞

對(duì)n應(yīng)用歸納法.

若n=0,MR是一個(gè)W⊥-Gorenstein內(nèi)射模,而W⊥-Gorenstein內(nèi)射模是保持直和項(xiàng)的,故M′R也是一個(gè)W⊥-Gorenstein內(nèi)射模.

若n>0,考慮正合列0→M′→I′→K′→0和0→M″→I″→K″→0,其中I′和I″是內(nèi)射R-模.于是得到如下的交換圖:

圖1 交換圖

其中列正合,行是可裂正合的.根據(jù)引理1,

W⊥-GidR(K′⊕K″)=n-1

利用歸納假設(shè),

W⊥-GidR(K′)≤n-1

于是再利用引理1,得到

W⊥-GidR(M′)≤n

命題8設(shè)R是一個(gè)交換環(huán),S/R是一個(gè)環(huán)的Frobenius擴(kuò)張.對(duì)任意的S-模MS,

若此環(huán)擴(kuò)張S/R也是可分的,則

則有Mod-S中的正合列

0→MS→E0→E1→…→En-1→En→0

0→MR→E0→E1→…→En-1→En→0

根據(jù)定理1,對(duì)每個(gè)0≤i≤n,Ei均是W⊥-Gorenstein內(nèi)射的.從而有

反過(guò)來(lái),若

W⊥-GidR(MR)=m

則有Mod-R中的正合列

0→MS→E0→E1→…→Em-1→Em→0

0→M?RSS→E0?RSS→E1?RSS→…→
Em?RSS→0

若環(huán)擴(kuò)張S/R是可分的,則有MS是M?RSS的一個(gè)直和項(xiàng),于是根據(jù)命題7,

綜上,得到

推論2設(shè)S/R是一個(gè)環(huán)的Frobenius擴(kuò)張.對(duì)任意的S-模MS,均有idR(M)≤idS(MS).特別地,若S/R同時(shí)是可分的擴(kuò)張,則

idR(M)=idS(MS)

證明利用命題8,類似于推論1的證明.

推論3設(shè)R是一個(gè)交換環(huán),S/R是一個(gè)環(huán)的Frobenius擴(kuò)張.則

若此環(huán)擴(kuò)張還是可分的,則

證明根據(jù)命題6,容易得到

若S/R是可分的,對(duì)任意的S-模MS,均有MS|M?RSS.因而,根據(jù)命題7得到

利用上述結(jié)果,可以得到環(huán)的整體維數(shù)是可分Frobenius擴(kuò)張下的一個(gè)同調(diào)不變量.

推論4設(shè)S/R是一個(gè)環(huán)的Frobenius擴(kuò)張,則

r.gldim(R)≤r.gldim(S)

特別地,若此擴(kuò)張是可分的,則有

r.gldim(R)=r.gldim(S)

證明根據(jù)推論1和推論2容易得到.

致謝：本文得到浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院科教融合項(xiàng)目(A-0271-21-025)的資助，在此表示感謝.