一種新的嶺估計(jì)解法及精度評(píng)定

翁燁，邵德盛

(1.云南省地震局，云南 昆明 650200； 2.昆明理工大學(xué)國(guó)土資源與工程學(xué)院，云南 昆明 650093)

1 引 言

在經(jīng)典線性平差模型中，采用最小二乘求解未知參數(shù)稱為最優(yōu)線性無偏估計(jì)，而在實(shí)際中因|BTPB|≈0導(dǎo)致法方程的參數(shù)解變得不穩(wěn)定，此時(shí)的法方程稱為病態(tài)方程[1]。最小二乘估計(jì)雖然是無偏估計(jì)，但是在自變量相關(guān)性較強(qiáng)或者某些自變量變化范圍較大時(shí)的估計(jì)結(jié)果差強(qiáng)人意，基于對(duì)法方程系數(shù)矩陣的病態(tài)性考量，Hoerl和Kenard通過對(duì)法方程系數(shù)矩陣對(duì)角線上添加一個(gè)參數(shù)k得到了嶺估計(jì)[2，3]，嶺估計(jì)目的在于按照正則化法則取目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化選擇，達(dá)到減小均方誤差的同時(shí)提升參數(shù)的估計(jì)可信度[4]。嶺估計(jì)中主要是關(guān)于嶺參數(shù)的求解，因此嶺參數(shù)的選取至關(guān)重要，目前關(guān)于嶺參數(shù)的選取方法主要有嶺跡法、L-曲線法[5，6]、U-曲線法[7，8]、廣義交叉檢核法[9]。文獻(xiàn)[10]總結(jié)了8種求取嶺參數(shù)的方法、對(duì)含有較多自變量的大型回歸問題的解法進(jìn)行研究；文獻(xiàn)[11]提出了一種可以利用典則參數(shù)重復(fù)計(jì)算的方法，使得均方誤差逐步減小，該方法改進(jìn)了Hoerl和Kennard的相應(yīng)方法；文獻(xiàn)[12]提出了一種廣義嶺估計(jì)的直接解法，不需要計(jì)算嶺參數(shù)就可以直接求得具有最小均方誤差的解。文獻(xiàn)[13]闡述了在病態(tài)情形下對(duì)于病態(tài)矩陣的兩步解法。由于廣義嶺估計(jì)算法確定嶺參數(shù)太過繁雜，計(jì)算量龐大，而嶺估計(jì)對(duì)病態(tài)問題的參數(shù)改正考慮得不夠全面，缺乏針對(duì)性。本文在廣義嶺估計(jì)的基礎(chǔ)上將參數(shù)進(jìn)行分塊擬定，根據(jù)特征值的貢獻(xiàn)率確定分塊大小，按照法方程矩陣的病態(tài)性影響大小分類計(jì)算，將不同的對(duì)角線元素分塊添加嶺參數(shù)。在均方誤差下驗(yàn)證了新的嶺估計(jì)優(yōu)于狹義嶺估計(jì)和LS估計(jì)，推導(dǎo)出新的嶺估計(jì)嶺參數(shù)選取方法，通過算例驗(yàn)證了該估計(jì)的可行性和適用性。

2 新的嶺估計(jì)模型

2.1 線性模型的嶺估計(jì)解

在線性模型[14]

(1)

中，L為觀測(cè)向量，B為系數(shù)矩陣，X為未知參數(shù)，△為觀測(cè)向量的隨機(jī)誤差，Q已知正定矩陣且滿足Q=P-1，P為權(quán)矩陣。設(shè)G為正交方陣，使得GT(BTPB)G=Λ=diag(λ1，λ2，…，λt)，λi(i=1，2，…，t)為法方程系數(shù)陣的t個(gè)特征根，引入典則參數(shù)α=GTX，并記A=BG。

典則參數(shù)α在模型(1)中的最小二乘估計(jì)和嶺估計(jì)分別為[14]：

(2)

(3)

廣義嶺估計(jì)的參數(shù)估計(jì)為：

(4)

廣義嶺估計(jì)的均方誤差為[14]：

(5)

(6)

2.2 新的嶺估計(jì)模型

本文在線性模型(1)上重新構(gòu)造嶺估計(jì)，相對(duì)于式(3)做出改進(jìn)：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

=f1(k1)+f2(k2)+f3(k3)+f4(k1)+f5(k2)+f6(k3)=F(k)

(12)

(BTPB+GKGT)-1BTB(BTPB+GKGT)-1

(13)

3 新嶺估計(jì)的嶺參數(shù)確定方法

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

4 算例及分析

4.1 算例一

圖1 嶺回歸參數(shù)估計(jì)

觀測(cè)值真值以及添加微小誤差后的觀測(cè)值Li 表1

模型參數(shù)X的計(jì)算結(jié)果表 表2

參數(shù)估計(jì)的協(xié)因數(shù)矩陣 表3

4.2 算例二

采用文獻(xiàn)[19]和[20]中的數(shù)值算例，含有5個(gè)未知數(shù)，病態(tài)設(shè)計(jì)矩陣和觀測(cè)向量真值如下所示：

法矩陣N的條件數(shù)為cond(N)=2.084×104，嚴(yán)重病態(tài)性。嶺跡法得出的嶺參數(shù)k=0.10，如圖2所示。表4中顯示了求未知參數(shù)的LS估計(jì)、嶺估計(jì)以及本文方法的計(jì)算結(jié)果，新的嶺估計(jì)參數(shù)值的協(xié)因數(shù)矩陣如表5所示。

圖2 嶺跡法確定嶺參數(shù)

模型參數(shù)X的計(jì)算結(jié)果表 表4

參數(shù)估計(jì)的協(xié)因數(shù)矩陣 表5

通過算例1～2可以得出以下結(jié)論：

新的嶺估計(jì)可以有效地改善LS估計(jì)和狹義嶺估計(jì)，提升參數(shù)估計(jì)的可信度。就算例一而言，新的嶺估計(jì)相比較LS估計(jì)，殘差值和均方誤差值分別為：

均方誤差減小明顯，殘差增加也在可控范圍內(nèi)。相比較狹義嶺估計(jì)，參數(shù)估計(jì)可信度也有一定的提升。在算例二中，新的嶺估計(jì)相比較LS估計(jì)，殘差值和均方誤差值分別為：

因此本文新的嶺估計(jì)優(yōu)于LS估計(jì)和狹義嶺估計(jì)。

5 結(jié) 語

新的嶺估計(jì)相比較于LS估計(jì)和普通嶺估計(jì)，對(duì)參數(shù)的估計(jì)更加貼近于真值，相比較LS估計(jì)、狹義嶺估計(jì)更加具有可信度；新的嶺估計(jì)相比較LS估計(jì)和嶺估計(jì)在均方誤差上有所改善，同時(shí)殘差值增加也在限制范圍內(nèi)。本文的廣義平差方法針對(duì)貢獻(xiàn)率較小的多數(shù)特征值有很大的改進(jìn)作用，能在一定要求范圍內(nèi)快速求解參數(shù)估計(jì)值。可以在大型病態(tài)矩陣中減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率。