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      四面體的界心

      2022-03-06 09:11:10曾建國
      數(shù)學(xué)通報(bào) 2022年1期
      關(guān)鍵詞:周界四面體平分

      曾建國

      (贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 341000)

      文[1]中,筆者把三角形的奈格爾(Nagel)點(diǎn)[2]概念及性質(zhì)引申推廣至有棱切球的特殊四面體中.本文擬將奈格爾點(diǎn)概念進(jìn)一步引申推廣至一般四面體中.

      圖1

      三角形的奈格爾(Nagel)點(diǎn)被國內(nèi)作者稱為三角形的“界心”[3~10]——這是由三角形的三條“周界中線”交于一點(diǎn)而得名(同一個(gè)三角形的界心與奈格爾點(diǎn)是同一點(diǎn),以下統(tǒng)稱為三角形的界心).即有(如圖1)

      定理0[3]過△ABC的頂點(diǎn)A、B、C與對邊上一點(diǎn)X、Y、Z作線段,使之平分△ABC的周長,則(周界中線)AX、BY、CZ交于一點(diǎn).

      對上述性質(zhì)進(jìn)行類比,我們可以將三角形界心的概念及性質(zhì)引申推廣至任意四面體中,即有

      定理1過四面體A1A2A3A4的棱AiAj和它的對棱上一點(diǎn)作截面πij(1≤i

      定理1的證明需要下面的:

      引理(空間塞瓦逆定理)[11~12]在四面體A1A2A3A4的棱AiAj上取一點(diǎn)Bij(1≤i

      成立,則六個(gè)平面A1A2B34、A1A3B24、A1A4B23、A2A3B14、A2A4B13、A3A4B12交于一點(diǎn)N.

      定理1的證明如圖2,設(shè)所作四面體A1A2A3A4的各周界中面與棱AiAj交于點(diǎn)Bij(1≤i

      圖2

      由題設(shè),截面A1A4B23平分四面體A1A2A3A4的表面積,則

      同理可得

      同理可證

      根據(jù)引理可知,六個(gè)周界中面πij(1≤i

      由于本文得到的“任一四面體六個(gè)周界中面交于一點(diǎn)”這一結(jié)論很好地類比了三角形界心的概念及性質(zhì),因此,我們有理由將本文定理1中的任一四面體六個(gè)周界中面的交點(diǎn)N稱為四面體的界心.

      細(xì)心的讀者也許注意到,文[1]將三角形的奈格爾(Nagel)點(diǎn)概念及性質(zhì)引申推廣至有棱切球的特殊四面體中,得到了“三組對棱之和相等”的四面體的奈格爾點(diǎn)概念;文[13]則用向量法定義了一般四面體的奈格爾點(diǎn)概念,這些四面體的奈格爾點(diǎn)與本文所得到的一般四面體的界心是否為同一點(diǎn)?這是值得進(jìn)一步研究的問題.

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