張玉敏

解答數(shù)學(xué)問題，需要具備想象、觀察、判斷、分析、推理、運(yùn)算等能力.而要有效地提升解題的效率，除了要掌握并運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)知識、方法外，還需增強(qiáng)聯(lián)想意識、目標(biāo)意識、優(yōu)化解題方法的意識、反思意識這四種意識.

一、聯(lián)想意識

審題是解題的第一步，也是解題的關(guān)鍵.那么，怎樣才能審好題呢？我認(rèn)為可嘗試聯(lián)想，即逐一分析題目的式子、圖形、條件、結(jié)論，根據(jù)其形式、結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)聯(lián)想到所學(xué)的公式、定理、性質(zhì)、法則等，也可將問題與以前遇到的類似題目、解題方法相關(guān)聯(lián)，通過類比、延伸，找到兩個(gè)題目之間的聯(lián)系，從而尋找到解題的方案.

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中不可分割的兩個(gè)部分，二者之間可以相互轉(zhuǎn)化，通過聯(lián)想，由“數(shù)”思“形”，進(jìn)而構(gòu)造出幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)、位置關(guān)系，就能快速解題.

二、目標(biāo)意識

解題是一種有目的的行為.解題時(shí)，需有目標(biāo)意識，解題的每一步都是為了求得問題的答案，一旦失去方向，就很難達(dá)到目標(biāo).在解題時(shí)，需首先明確目標(biāo)，即所要求得的式子、數(shù)值、范圍以及所要求證的結(jié)論，這樣才不會偏離正確的解題軌道.解題的每一步都要做到有理有據(jù)，且要明白進(jìn)行這一步的目的是什么，這樣才能明確下一步該做什么，如，建立關(guān)系式的目的是為了化簡目標(biāo)式；列方程的目的是為了應(yīng)用韋達(dá)定理.

例2.已知P、Q是f（x）=x2+ax+b（-1≤x≤1）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足f（0）=f（1）=0.

（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；

（2）求直線PQ的斜率的取值范圍；

三、優(yōu)化解題方法的意識

解題須講究方法，有了好的方法，則會事半功倍.若解題的方法選擇不當(dāng)，則會導(dǎo)致解題過程太繁瑣，或者無法得到正確的答案.在解題時(shí)，同學(xué)們需仔細(xì)審題，將已知條件和所求目標(biāo)關(guān)聯(lián)起來，尋找不同的解題方法，如設(shè)而不求、整體代換、數(shù)形結(jié)合等，然后將各種方法進(jìn)行比較，選取最優(yōu)的方案，這樣有利于提升解題的效率.

例3.已知圓C的方程為（x-1）2+（y-2）2=25，直線l的方程為（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）.求證：不論實(shí)數(shù)m取何值，直線l總與圓C相交.

解析：若采用常規(guī)方法，利用方程思想，需將圓C的方程與直線l的方程聯(lián)立，然后消元，得到一元二次方程，最后驗(yàn)證該方程的判別式是否恒大于0.但運(yùn)用該方法求證，計(jì)算量頗大，且容易出錯.這時(shí)，我們要有優(yōu)化解題方法的意識，尋找更為簡便、有效的方法進(jìn)行求解.對于含有參數(shù)的直線方程，應(yīng)關(guān)注它是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)，仔細(xì)研究直線l的方程，可發(fā)現(xiàn)這個(gè)定點(diǎn)在圓C內(nèi)，那么結(jié)論就不言自明了.

則兩直線的交點(diǎn)為A（3，1），

而此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故不論m為任何實(shí)數(shù)，直線l與圓C始終相交.

顯然，這種證法要簡捷多了，不僅運(yùn)算量小，而且思路簡單，這樣可以節(jié)約大量的時(shí)間.

四、反思意識

解題完成后，能否保證得到的結(jié)果是正確的呢？能否保證這種解法是最好的解法呢？這時(shí)，我們就要有反思意識，通過反思，完善解題的過程，確保解題成功.那么，該反思什么呢？我認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面入手：（1）反思答案的合理性；（2）反思解題過程的嚴(yán)謹(jǐn)性；（3）反思解題過程中的易錯點(diǎn)；（4）反思解題過程中用到了哪些思想方法；（5）反思能否從本題出發(fā)，得出相關(guān)的結(jié)論.通過反思，可以得到更多新的體會和收獲.

故所求直線的方程為y-3=±（x-1），即x-y+2=0或x+y-4=0.

在解答本題后，我們可以從兩個(gè)方面進(jìn)行反思：一是重新審題.一般地，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，則會出現(xiàn)兩種情形：（1）直線與拋物線相交于一點(diǎn)；（2）直線與拋物線相切.那么在該解法中，忽略了直線與拋物線相切的情形，因此上述解法中漏了一解：x=1；二是檢驗(yàn)所得的結(jié)果是否滿足題意.

在解題時(shí)，同學(xué)們要根據(jù)題目進(jìn)行聯(lián)想，確定每一步的目標(biāo)，選擇最優(yōu)的解題方法，在解題后進(jìn)行反思，有了聯(lián)想意識、目標(biāo)意識、優(yōu)化意識、反思意識，才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省常州市戚墅堰高級中學(xué)）