構建知識據(jù)點 勾勒數(shù)學系統(tǒng)

【摘要】數(shù)學知識據(jù)點是教學中的堡壘，構建合理的數(shù)學知識據(jù)點，使得數(shù)學教學有輪有廓.保持內部結構連貫性的同時，又使得數(shù)學系統(tǒng)具有模塊性，形成認知的片段性，有力地勾勒出連續(xù)與綿長的知識版圖.既照顧了數(shù)學知識本身的獨立性，又關注了數(shù)學系統(tǒng)的整體性.

【關鍵詞】知識據(jù)點;系統(tǒng);增長點;策略

構建數(shù)學知識的據(jù)點，使其成為鞏固數(shù)學知識的堅定堡壘，使得數(shù)學本質內容更容易為學生所理解，數(shù)學講授形式更豐富精彩，教學效果對學生的影響更深刻.

1找準數(shù)學知識據(jù)點，描繪數(shù)學框架系統(tǒng)

數(shù)學知識據(jù)點是指對某一部分數(shù)學知識，進行特定的教學活動，使得學生對這一部分數(shù)學知識掌握得更加透徹，把握得更加準確，使用得更加熟悉，使其對整個數(shù)學知識系統(tǒng)有著承上啟下的作用.數(shù)學知識據(jù)點一般布控在難點、盲點和生長點上.這三個關鍵點如同一個鐵三角，足以支撐數(shù)學教學的整體知識脈絡，同時又發(fā)揮相互補充、相互促進的重要作用.

1.1將據(jù)點建在難點上，化難為易，降低數(shù)學系統(tǒng)構建門檻

數(shù)學難點是指學生學習過程中的一個短板板塊.比如講授“回歸分析的基本思想及其初步應用”時，發(fā)現(xiàn)整節(jié)教學內容概念很多，且是學生相對不熟悉的領域，學生已經學習了兩個變量之間的相關關系，包括畫散點圖，求回歸直線方程，利用回歸直線方程進行預報等內容，因此確定教學難點：1.解釋殘差變量的含義;2.了解偏差平方和分解的思想.教師以難點為據(jù)點，分清主次，區(qū)別輕重，突出重點，解決難點.教師可以以PowerPoint為操作平臺，界面活潑，操作簡單，能有效支持多種其它技術，用EXCEL圖表展示，直觀形象，節(jié)約時間，幫助學生順利完成學習內容.使得學生學習更加輕松，知識更加清晰，為理解以后新知識和掌握新技能提供方便.因為難點具有很多的不確定性，給學生儲存的信息造成混亂，學生對于數(shù)學知識的理解和掌握，很大程度有賴于學生自身的知識水平、理解能力，以及教師的妥善指導.另外，難與易是相對，只要教師在教學中，了解學生需要，選擇問題驅動，善于處理，知識的難易是可以轉化的.

1.2將據(jù)點建在盲點上，由模糊到清晰，明確了數(shù)學系統(tǒng)構建方向

數(shù)學知識盲點是學生在學習過程中看不透、想不準、理不清的部分.例如在講授“回歸分析的基本思想及其初步應用”時，學生的盲點在于不知道如何討論一元線性回歸模型，分析模型中產生隨機誤差項的原因，難以從相關系數(shù)的角度研究兩個度量間線性相關關系的強弱，更不清楚在什么情況下可以考慮使用線性回歸模型.教師應該以點帶面，讓學生通過實際問題去理解回歸分析的必要性，從散點圖中點的分布上我們發(fā)現(xiàn)直接求回歸直線方程存在明顯的不足，從中引導學生去發(fā)現(xiàn)解決問題的新思路——進行回歸分析，進而介紹利用R2來表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，從中選擇較為合理的回歸方程，最后是建立回歸模型基本步驟.

1.3將據(jù)點建在生長點上，促快促優(yōu)，激活了數(shù)學系統(tǒng)完善的動力.

數(shù)學知識生長點是數(shù)學引申的源頭，同樣，在講授“回歸分析的基本思想及其初步應用”時，教師在教學中明確統(tǒng)計思想，函數(shù)思想，數(shù)形結合的方法是本節(jié)的生長點，在教學中適當?shù)卦黾訉W生合作與交流的機會，多從實際生活中找出例子，著力利用整體的觀點和互相聯(lián)系的觀點來分析問題，以科學的態(tài)度評價兩個變量的相互關系.

2運用數(shù)學據(jù)點構建策略，升華數(shù)學系統(tǒng)勾勒版圖

由學生數(shù)學學習的特點，歸納、演繹、類比往往是構建數(shù)學據(jù)點的快速策略，也是勾勒數(shù)學系統(tǒng)的有力手段.

2.1歸納包括縱向歸納和橫向歸納，縱橫交錯，在縱向中深化，在橫向中擴展

2.1.1縱向歸納

（1）已知平面上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），求以線段AB為直徑的圓的方程.（圓上動點為P，則kPA·kPB=-1）

（2）設A，B是橢圓的左右頂點，P是橢圓上一點，求kPA×kPB=.

（3）設A，B在橢圓上，且關于原點對稱，P是橢圓上一點，求kPA×kPB=.

2.1.2橫向歸納

（1）已知圓O：x2+y2=1，點P在直線l：x+3y-8=0上，過P作圓的切線PA，PB，切點為A，B，則四邊形OAPB面積的最小值是.

兩個基本思路：

①P在直線上，設P點的坐標，OP的長可用P點坐標參數(shù)表示，由于S四邊形OAPB=2S△OAP，再根據(jù)二次函數(shù)求最值.

②設OP=t，則S可用t表示，只有OP⊥直線l時，t最小.

這兩個思路不足以鞏固經驗思維，比較引入新問題：

（2）求向量PA，PB的數(shù)量積的最小值.

數(shù)量積變化的根本原因是線段OP長度的變化，設OP=t，∠APO=θ，則tsinθ=1，cos2θ=1-2sin2θ，于是PA·PB=（t2-1）1-2t2=t2+2t2-3≥22-3.這個結論是錯誤的，原因就是等號不成立，因為問題中的t≥4105，根據(jù)函數(shù)的單調性知，t=42 瘙 綋 4105，+∞，當且僅當t=4105時，可求最小值.

2.2演繹包括逆向演繹和反思演繹，在逆向中尋找據(jù)點，在反思中升華系統(tǒng)

2.2.1逆向演繹

比如：設f（x）=exx+k在區(qū)間（2，3）上不單調，求k的范圍.

f′（x）=ex（x+k-1）（x+k）2在區(qū)間（2，3）上不單調，有兩種情況：

在（2，3）上連續(xù)，則f（x）=0有根，

即f（2）f（3）<0，得-2

在（2，3）上間斷，由x+k=0及2

綜上，k∈（-3，-1）.

本題對“不單調”進行演繹分析，挖掘出在（2，3）連續(xù)與間斷兩個關鍵據(jù)點，逆向思考在（2，3）上連續(xù)時k的范圍，在（2，3）上間斷時k的范圍，兩面開花，從而完整把這道題進行解答.

2.2.2反思演繹

比如：在已知曲線3y=x3+4上，求過點P（2，4）的切線方程.

（1）因為P在曲線上，可求出切線斜率為4，所以切線方程為4x-y-4=0.

（2）先設切點，寫出切線方程，將P點帶入切線方程，得到切點的橫坐標為2或-1，所以切線方程為4x-y-4=0，或x-y+2=0.

而（1）是對題目的表征意義不明確，或是把“過P點的切線”與“過P點處的切線”當成了同一個意思.

2.3類比包括對比表征和比較猜想，在類比中鞏固據(jù)點，在類比中完善系統(tǒng)

2.3.1對比表征

例如：已知x2+px+1>2x+p，

（1）x∈＼[2，4＼]時，不等式恒成立，求p的取值范圍;

（2）|p|≤2時，不等式恒成立，求x的取值范圍.

對第一問，常規(guī)思路1：函數(shù)法，研究函數(shù)f（x）>0，借用對稱軸進行分類討論;比較復雜（通法）.

常規(guī)思路2：分離變量，因為x>1，所以p>1-x，求其最大值.

啟示：圖象法，原不等式化為：（x-1）2 >-px+p，作兩函數(shù)圖象，x∈＼[2，4＼]，（x-1）2min=1.

當p>0，得（-px+p）max<1;

當p<0，得（-px+p）max<1;

當p=0，恒成立.

對第二問，常規(guī)思路1：函數(shù)法，此時，轉化后的左邊表示一次函數(shù)，只需端點的函數(shù)值大于0.

常規(guī)思路2：分離變量.

啟示1：圖象法，不等式變?yōu)椋▁-1）p>-（x-1）2.x>1，p>-x+1，只需1-x<-2，所以x>3;x<1，p<1-x，只需1-x>2，所以x<-1.

啟示2：討論，把不等式看成方程，有兩個根1，1-p，對根進行比較：

1-p>0，所以x<1或x>（1-p）max=3;

1-p<0，所以x>1或x<（1-p）min=-1;

1-p=0，此時x≠1.取交集：x<-1或x>3.

2.3.2比較猜想

（1）過拋物線焦點的光線通過反射得到平行于對稱軸的光線，這條光線實際上是入射點的切線反射出來的，引申到過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B的切線互相垂直.切線交點的軌跡就是拋物線的準線.

（2）猜想橢圓也有這樣的性質？反之，過橢圓外一點P引橢圓兩條互相垂直的切線，P點的軌跡是一個圓（2014年廣東20題）.

（3）猜想雙曲線也有這樣性質？

3找點建系，找準數(shù)學知識據(jù)點，描繪數(shù)學框架系統(tǒng)

“找據(jù)點”需要教學善喻、善導、善聯(lián)、善點、善講，“建體系”使得教學更合法、合情、合理、適時.

3.1知識據(jù)點注重點與點遷移連接

數(shù)學知識通過知識據(jù)點連接，由知識點與點遷移，由對照來揭示知識的本質屬性和非本質屬性之間的關系，從而展示知識的形成過程，促進學生對知識的理解＼[1＼].

例如：（1）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1-an=2，則該數(shù)列的通項公式為;

（2）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an，則該數(shù)列的通項公式為.

等比數(shù)列與等差數(shù)列的知識隔閡得以打破.

3.2知識據(jù)點注重線性發(fā)散遞進

通過知識據(jù)點教學，變式教學側重對例題、習題的變形，提高學生自身的基本技能＼[2＼].

例如：如果x>0，求函數(shù)f（x）=x+1x的最小值.

遞進1：如果x<0，求函數(shù)f（x）=x+1x的最值;

遞進2：如果x>3，求函數(shù)f（x）=x+1x-3的最值;

遞進3：如果x>0，求函數(shù)f（x）=-x2-2x+3x的最值.

3.3知識據(jù)點注重面到體伸展遷移遞進

知識據(jù)點考慮知識面上的完整性，也要注重知識板塊的整體性.例如：“平面內，垂直于同一直線的兩條直線是否平行？”

“空間內，垂直于同一直線的兩條直線是否仍然平行呢？”

在正、反、側立體化遷移，縱橫知識，以完整打通知識內容聯(lián)系.

我們在構建知識據(jù)點，切實提高學生相應的感性認識，避免教學中已知對新知的負遷移作用壓倒了正遷移作用，確定好教學中切合實際的靜態(tài)和動態(tài)重點難點.

參考文獻

[1]何正文.基于核心素養(yǎng)的多階數(shù)學思維的培養(yǎng)＼[J＼].中學數(shù)學雜志，2019（01）：1416.

[2]何正文.何謂彈性游擊教學＼[J＼].課程教學研究，2014，（09）：9394.

作者簡介何正文（1988—），男，廣東茂名人，廣東省肇慶市學科委員會委員，中學一級教師;主要研究課堂教學;發(fā)表論文40多篇，主持課題10多項，參與課題20多項.