用活全等疊合一法 探究幾何多解一題

王新華

聽了馮萬緒老師的直播課《證全等三角形只需一法》，就會知道疊合一法是依據(jù)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等疊合變換構(gòu)造全等三角形的.

基本模型

平移模型：如圖1，將△ABC平移疊合到△DEF.

軸對稱模型：如圖2，將△ABC翻折疊合到△DEF;如圖3，翻折疊合轉(zhuǎn)化為軸對稱模型;如圖4，作雙垂線，構(gòu)造的直角三角形疊合為軸對稱模型.

互補(bǔ)模型：如圖5，構(gòu)造等腰三角形轉(zhuǎn)化為一邊一角模型;如圖6，在三角形外部全等疊合.

模型應(yīng)用

例 如圖7，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在BA的延長線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED = EC. 求證：AE = BD.

學(xué)法指導(dǎo)1：抓住已知條件∠EDC = ∠ECD，∠EDB與∠EDC互補(bǔ)，作∠ECD 的補(bǔ)角∠ECG，由“等角的補(bǔ)角相等”轉(zhuǎn)化為兩角相等，即∠EDB = ∠ECG，再由ED = EC構(gòu)建“一邊一角”型，將△EDB通過翻折、旋轉(zhuǎn)疊合變換得到△ECG，如圖8，構(gòu)造出全等三角形，即△EDB ≌ △ECG.再證△EBG是等邊三角形，易得AE = BD .

輔助線：延長BC至點(diǎn)G，使得CG = BD，連接EG，如圖8.

學(xué)法指導(dǎo)2：抓住已知條件ED = EC，先證∠BED = ∠ACE，可構(gòu)建“一邊一角”型，將△AEC通過旋轉(zhuǎn)疊合變換得到△EGD，如圖9，構(gòu)造出全等三角形，即△GDE ≌ △AEC. 再證△GBD是等邊三角形，易得AE = BD.

輔助線：在AB上取點(diǎn)G，使得GE = AB，連接DG，如圖9.

學(xué)法指導(dǎo)3：抓住∠EDC = ∠ECB，∠EDB與∠EDC互補(bǔ)，作∠ECD 的補(bǔ)角，由“等角的補(bǔ)角相等”轉(zhuǎn)化為兩角相等，即∠GEC = ∠EDB，再由ED = EC構(gòu)建“一邊一角”型，將△EBD通過平移、翻折疊合變換得到△ECG，如圖10，構(gòu)造出全等三角形，即△GEC ≌ △BDE.再證△AEG是等邊三角形，易得AE = BD.

輔助線：過點(diǎn)E作EG[?]BC，交CA的延長線于點(diǎn)G，如圖10.

學(xué)法指導(dǎo)4：抓住已知條件ED = EC，將△EAD翻折、旋轉(zhuǎn)疊合變換得到△EGC，如圖11，構(gòu)造出全等三角形，即△GEC ≌ △AED.再證△EAG是等邊三角形，易得AE = BD.

輔助線：作∠CEG = ∠DEA，取EG = EA，連接GC，AG，AD，如圖11.

學(xué)法指導(dǎo)5：抓住已知條件∠B = 60°，構(gòu)造等邊三角形BGE，如圖12，利用等邊三角形的邊角性質(zhì)，探究出全等三角形，即△EBD ≌ △EGC，易證AE = CG，則AE = BD.

輔助線：延長BC至點(diǎn)G，使得BG = BE，連接EG，如圖12.

學(xué)法指導(dǎo)6：抓住已知條件∠B = 60°，構(gòu)造等邊三角形BDG，如圖13，利用等邊三角形性質(zhì)得到邊角相等關(guān)系，探究出全等三角形，即△GED ≌ △ACE，易證AE = BD.

輔助線：在BA上取一點(diǎn)G，使得BG = BD，連接DG，如圖13.

反思：例題的輔助線引法較多，還可以延長CA至G，使得AG = AE，如圖10;作AG[?]BC，取AG = AE，連接EG，GC，如圖11;過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，如圖14.

請同學(xué)們嘗試證明.

（作者單位：遼寧省大連市第三十七中學(xué)）