景文倩

（湖北文理學(xué)院 純電動汽車動力系統(tǒng)設(shè)計與測試湖北省重點實驗室，湖北 襄陽 441053）

近場聲全息技術(shù)[1–5]（Near-field acoustic holography，NAH）是一種有效的聲場可視化和聲源定位工具，因此得到很多研究學(xué)者的青睞。從空間傅里葉變換方法到逆邊界元方法、最小二乘法、統(tǒng)計最優(yōu)法和等效源法，NAH技術(shù)的全息變換算法一直在持續(xù)發(fā)展和完善。然而，應(yīng)用這些算法的前提是全息數(shù)據(jù)必須在一個自由聲場環(huán)境中獲取。事實上，大多數(shù)振動體可能被固定在某一邊界面上，或位于邊界面上方，導(dǎo)致自由空間聲場變成半空間聲場，此時由邊界面產(chǎn)生的反射聲對空間聲場的影響應(yīng)當(dāng)予以考慮。

由于聲場分離技術(shù)[6–8]可以分離傳入波和傳出波，因此可用來重建半空間聲場。而且該技術(shù)有一個明顯優(yōu)勢，即不需要知道反射面的表面聲阻抗。但該技術(shù)應(yīng)用于半空間聲場時要求測量面必須是包絡(luò)振動體的封閉面，以確保反射聲剛好從測量面的另一側(cè)傳播至待研究的半空間聲場。此外，該技術(shù)本身對測量面也有諸多要求，比如雙面聲壓測量[6]、雙面質(zhì)點振速測量[7]，或單面聲壓-質(zhì)點振速測量[8]，需要高額的測量成本，包括測量設(shè)備等經(jīng)濟成本和測量工作等時間成本。

如果反射面的表面聲阻抗已知，可通過將半空間格林函數(shù)引入傳統(tǒng)近場聲全息技術(shù)[9–10]，來實現(xiàn)半空間聲場重建。目前有兩類半空間格林函數(shù)：一類基于平面波假設(shè)[9]，認(rèn)為被反射的聲波是平面波，在振動體與反射面距離不夠遠(yuǎn)的情況下半空間聲場重建精度顯著降低；另一類基于真實的球面波，自動滿足反射面的邊界條件，可獲取較高的半空間聲場重建精度，但因涉及積分運算，計算很耗時[8]。

另一方面，在反射面表面聲阻抗未知的條件下，若將因反射面產(chǎn)生的反射聲視為由一系列位于反射面下方的等效源輻射所得[11]，那么半空間聲場問題將轉(zhuǎn)換成多源自由聲場問題，即無需考慮反射面的表面聲阻抗，也避免了積分計算，且全息數(shù)據(jù)只需測量單面聲壓或單面質(zhì)點振速即可獲取，大大降低測量成本。由于該方法獨立于反射面表面聲阻抗，且基于等效源方法，故將其命名為I-ESM (Independent-equivalent source method)。ESM 嚴(yán)重依賴于等效源的配置，因此不合理的等效源配置可能顯著降低聲場重建精度甚至導(dǎo)致重建失效，而目前有關(guān)等效源配置的研究主要針對自由空間聲場。本文將探索適用于半空間聲場的等效源配置方法，尤其是表征反射面作用的一系列等效源的配置方案，通過數(shù)值仿真研究和分析，尋找一種合適的等效源配置方案，以保證重建半空間聲場時始終獲得較高精度。

1 理論基礎(chǔ)

根據(jù)I-ESM 的思想，如果一個振動體位于某無限大反射面上方時，反射聲將被視為由一系列位于反射面下方的等效源輻射所得，那么半空間聲場將轉(zhuǎn)化成由振動體本身和一系列表征反射聲的等效源組成的多源自由聲場。

針對表征反射聲作用的等效源，文獻(xiàn)[11]介紹了兩種配置方式：位于像源內(nèi)部（IIS，Inside the Image Source）和位于接近反射面的平面（CRP，Close to the Reflecting Plane）。如果采用IIS 配置，則認(rèn)為反射聲由一個與振動體形狀相同的聲源所輻射，且這個聲源與振動體關(guān)于反射面對稱布置；如果采用CRP 配置，則認(rèn)為反射聲由一個與反射面平行的平面聲源所輻射。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，基于IIS 配置的I-ESM始終可以獲得較高的半空間聲場重建精度，而基于CRP配置的I-ESM卻不能保證半空間聲場重建精度的穩(wěn)定性，有時會得到比較糟糕的重建結(jié)果。據(jù)此，本文將研究基于CRP配置的I-ESM技術(shù)，通過研究不同等效源配置方案對該技術(shù)重建精度的影響，尋找適用于半空間聲場的等效源配置方案。

如果振動體位于某反射面上方時，則聲場可以由位于振動體內(nèi)部的簡單源和位于反射面下方的簡單源所輻射的聲場疊加替代，其原理示意圖如圖1所示。

圖1 基于CRP配置的I-ESM的原理示意圖

給定聲場中某點r，則聲壓可以表示為：

式中：ρ是空氣密度，ω是角頻率，I和J分別是虛源面Г和Ω上的等效源數(shù)目，qΓi和qΩj分別是Г上第i個等效源和Ω上第j個等效源的源強，rΓi和rΩj分別是Г上第i個等效源和Ω上j個等效源的位置。這里gfree代表自由空間格林函數(shù)，可表示為：

式中：k是波數(shù)，RΓi和RΩj分別是場點r與等效源點rΓi和rΩj的距離。

假定全息面H有M個測量點，則式（1）可以寫成矩陣的形式：

式中：是表征H上聲壓與Г上等效源之間的聲壓傳遞函數(shù)矩陣，是表征H上聲壓與Ω上等效源之間的聲壓傳遞函數(shù)矩陣，是表征H上聲壓與Г和Ω上等效源之間的綜合聲壓傳遞函數(shù)矩陣，QΓ=[qΓ1,…,qΓi,…qΓI] 和QΩ=[qΩ1,…,qΩj,…qΩJ]分別是Г上和Ω上的等效源源強列向量，QΣ是Г和Ω上綜合源強列向量。根據(jù)廣義逆矩陣，可得等效源源強列向量QΣ的正則化解為

式中：“H”代表厄密特共軛轉(zhuǎn)置，“-1”代表矩陣逆運算，ε正則化參數(shù)，E是單位矩陣。

將求解的等效源源強列向量QΣ的正則解代入式(1)，即可重建半空間聲場中任意點處的聲壓。同時，振動體表面的法向振速也可得到重建：

式中：是振動體表面S上法向振速與Г和Ω上等效源之間的振速傳遞函數(shù)矩陣，表征質(zhì)點振速傳遞函數(shù)關(guān)系，可表示為：

式中：和分別由以下函數(shù)組成：

式中：“?”表示點積運算，nS是振動體表面的單位法向量，是振動體表面第n個節(jié)點rSn與rΓi之間的距離，是rSn與rΩj之間的距離。

2 基本仿真參數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，基于CRP 配置的I-ESM 技術(shù)不能提供穩(wěn)定的半空間聲場重建精度，有時重建結(jié)果很不理想，其最大原因可能是等效源配置不合理，尤其是布置在Ω上表征反射聲作用的等效源。本節(jié)將研究Ω上的等效源配置對該技術(shù)重建半空間聲場精度的影響，尋找合適的等效源配置方案，以獲得更高更穩(wěn)定的半空間聲場重建精度。

如圖2所示，一個半徑為0.1 m 的球形聲源S位于某反射面上方。假定該反射面是Delany and Bazley 類型[12]，而且擁有無限厚度，那么表面阻抗Z可表示為：

式中：f是頻率，σ0是流阻，采用Cgsunits（g?s-1?cm-3）。需要注意的是，式(9)未考慮入射角度影響，即該反射面材料屬于局部響應(yīng)。

以球聲源S的圓心在反射面上的投影為原點，反射面為xoy平面，建立笛卡爾直角坐標(biāo)系，z>0 的聲場即為待研究的半空間聲場，如圖2所示。圖2很直觀地展示了球聲源S、全息面H、虛源面Г和Ω在三維空間中的相對位置關(guān)系。為了更清晰地說明測量參數(shù)和等效源配置參數(shù)，又用圖3給出仿真示意圖的俯視圖和側(cè)視圖。

圖2 聲源面S、全息面H、虛源面Г和Ω在三維空間的相對位置示意圖

圖3 聲源面S、全息面H、虛源面Ω的平面位置關(guān)系及Ω尺寸和等效源分布間隔

從圖3中可以看出，球聲源S的球心距離反射面0.5 m，全息面H位于y=0.2 m處。全息測量范圍沿x方向上為-0.25 m～0.25 m，沿z方向上為0.25 m～0.75 m，測量間隔沿x和z方向上均為0.05 m。

將聲源S均勻離散為42 個節(jié)點，在方位角和極角方向的離散間隔分別是π 4 和π 6。表征振動體本身的一系列等效源布置在與球聲源S同心的小球面Г上，其球面半徑為0.02 m。Г上等效源的分布間隔與球聲源表面的節(jié)點分布一致。

給定球聲源表面的法向振速為：

式中：v0是均勻徑向振速，ra是振動球的半徑，zS是振動球表面節(jié)點的z坐標(biāo)，za是球心的z坐標(biāo)。全息聲壓數(shù)據(jù)由邊界元方法計算得到，其中反射面流阻設(shè)置為35 cgs units，并加入信噪比為30 dB 的高斯白噪聲。

3 等效源配置討論

如圖3所示，Ω是平行于反射面的平面，其上等效源的配置方案可以從兩個方面考慮：

(1)Ω的位置，以相對反射面的后退距離hz表示，依次設(shè)置為-0.001 m，-0.2 m，-0.5 m和-1 m；

(2)Ω的大小、等效源分布間隔等，以參數(shù)組(x1,x2,y1,y2,dx,dy)表示，共設(shè)置18 組，如表1所示。其中，x1和x2分別表示Ω在x方向上的最小和最大坐標(biāo)值，y1和y2分別表示Ω在y方向上的最小和最大坐標(biāo)值，dx和dy分別表示等效源在x和y方向上的分布間隔，如圖3(a)所示。

分別采用不同后退距離hz和不同參數(shù)組(x1,x2,y1,y2,dx,dy)，采用基于CRP 配置的I-ESM技術(shù)重建500 Hz時球聲源表面法向振速，其重建誤差如圖4所示。這里，定義法向振速的重建誤差為：

圖4 不同等效源配置情況下500 Hz時球聲源表面法向振速重建誤差

式中：VSrecon和VStheo分別是球聲源表面法向振速的重建值和理論值。

首先，分析后退距離hz對重建誤差的影響。在hz依次取值-0.001 m，-0.2 m，-0.5 m的情況下，當(dāng)參數(shù)組取值相同時，法向振速重建誤差隨著hz的減小而減小。但當(dāng)hz取更小值-1 m時，重建誤差不再減小，有時反而會增大，比如參數(shù)組取第3～10號的情況。因此，Ω相對反射面的后退距離hz應(yīng)設(shè)置為-0.5 m。有趣的是，球聲源S剛好位于反射面上方0.5 m 處。由此可認(rèn)為，Ω應(yīng)置于聲源中心的鏡像位置。

其次，分析Ω的大小(x1,x2,y1,y2)和等效源分布間隔(dx,dy)對重建結(jié)果的影響。當(dāng)hz取值-0.001 m，-0.2 m，-0.5 m 時，尤其是取前兩個值時，每條法向振速重建誤差曲線都有著相同的轉(zhuǎn)折點，如參數(shù)組取第3號和7號的情況。從表1可知，這些轉(zhuǎn)折點剛好對應(yīng)于Ω的大小(x1,x2,y1,y2)改變的情況。而當(dāng)Ω的大小取值相同時，重建誤差隨著等效源分布間隔(dx,dy)變化并不明顯。由此說明，Ω的大小對重建精度影響比較明顯，而等效源分布間隔對重建精度影響甚小。但當(dāng)hz為-1 m時，也就是Ω遠(yuǎn)在鏡像距離-0.5 m 以外的情況下，不論是其大小還是等效源分布間隔都對重建精度影響很小?；谶@些分析結(jié)果，下文只考慮等效源分布間隔(dx,dy)均為0.05 m時的等效源配置情況。

然后，分析每條重建誤差曲線中的特殊點。當(dāng)hz=-0.001m 或hz=-0.2 m 時，即Ω在鏡像距離-0.5 m 以內(nèi)，法向振速重建誤差分別在參數(shù)組取第7 號和第14號時為最小值和最大值。圖5給出了由第7號和14號參數(shù)組所繪制的虛源面Ω7和Ω14。從圖中可以看出，Ω7正好覆蓋聲源與全息面之間的區(qū)域，而Ω14是最大虛源面，覆蓋了所有參數(shù)組所確定的虛源面。這些結(jié)果說明，當(dāng)Ω在鏡像距離-0.5 m以內(nèi)時，等效源應(yīng)僅布置在聲源與全息面之間的區(qū)域，可獲得較好重建結(jié)果。

最后，尋找合適等效源配置。從以上分析可知，后退距離hz設(shè)置為-0.5 m 是比較理想的選擇，但如果(x1,x2,y1,y2,dx,dy)選取不當(dāng)，比如選取第14號，則法向振速重建誤差甚至可能大于hz取-1 m 時的重建誤差。從圖4可以看出，在hz=-0.5 m 的情況下，當(dāng)參數(shù)組取第3號、5號、7號、9號或17號時，重建誤差都比較小。由第3 號、5 號、7 號和17 號參數(shù)組所繪制的虛源面Ω3、Ω5、Ω7和Ω17如圖5所示。

圖5 虛源面Ω的位置和尺寸示意圖

由圖可知，Ω3正好覆蓋了球聲源在Ω上的投影區(qū)域；Ω5則稍小，其上等效源都集中分布于球聲源中心部分在Ω上的投影區(qū)域；Ω17也是覆蓋了球聲源中心部分在Ω上的投影區(qū)域。另一方面，Ω7正好覆蓋聲源與全息面之間的投影區(qū)域，Ω9盡管稍大，但也主要集中在這個區(qū)域。總之，Ω上的等效源要么分布在聲源中心部分的鏡像位置，要么分布在聲源與全息面之間區(qū)域的鏡像位置。

4 合理等效源配置方案驗證

基于以上分析，表2給出了3種具有代表性的等效源配置方案。其中，第14 號參數(shù)組和hz=-0.001m 代表較差方案，第5 號參數(shù)組和hz=-0.5 m代表較好方案，而第1號參數(shù)組和hz=-0.2 m則表示中等方案。分別采用3種等效源配置方案重建球聲源表面法向振速，重建結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出，由第5號參數(shù)組和hz=-0.5 m得到的重建結(jié)果與理論值吻合比較好，而由第14 號參數(shù)組和hz=-0.001m 得到的重建結(jié)果則與理論值偏差比較大。此外，表2也給出了3種等效源配置情況下法向振速的重建誤差。不難發(fā)現(xiàn)，由第5 號參數(shù)組和hz=-0.5 m得到的重建誤差很小，而由第14 號參數(shù)組和hz=-0.001m 得到的重建誤差則大得多，由第1號參數(shù)組和hz=-0.2 m 得到的重建誤差處于兩者之間。這些分析結(jié)果表明第5 號參數(shù)組和hz=-0.5 m 確實是比較合適的等效源配置方案，同時也說明在等效源配置合理的前提下，I-ESM 將是一種有效的高精度半空間聲場重建方法。

圖6 頻率為500 Hz時球聲源表面法向振速的重建結(jié)果和理論值.

表2 選取3種等效源配置方案及對應(yīng)的球聲源表面法向振速重建誤差

此外，圖7和圖8分別給出了球聲源表面法向振速重建誤差隨著頻率和反射面流阻的變化曲線。從圖種可以看出，由第5號參數(shù)組和hz=-0.5 m得到的重建誤差始終很小，由第1號參數(shù)組和hz=-0.2 m得到的重建誤差稍大，而由第14 號參數(shù)組和hz=-0.001m 得到的重建誤差則大得多，再次說明第5 號參數(shù)組和hz=-0.5 m 是比較理想的等效源配置方案，而且合適的等效源配置方案可以為I-ESM 提供更高更穩(wěn)定的半空間聲場重建精度。

圖7 球聲源表面法向振速重建誤差頻響曲線

圖8 頻率為500 Hz時球聲源表面法向振速重建誤差隨反射面流阻的變化曲線

5 結(jié)語

本文針對基于CRP配置的I-ESM技術(shù)重建半空間聲場時精度不穩(wěn)定問題，探討適用于半空間聲場的等效源配置方法。通過重建球聲源表面法向振速，分析得出位于虛源面Ω上表征反射聲作用的等效源的合理配置方案為：虛源面Ω應(yīng)當(dāng)置于聲源的鏡像位置，且等效源盡量分布在聲源中心部分的鏡像位置或分布在聲源與全息面之間區(qū)域的鏡像位置。同時，仿真分析結(jié)果也說明合適的等效源配置方案可以保證基于CRP 配置的I-ESM 的準(zhǔn)確性，可提供更高更穩(wěn)定的半空間聲場重建精度。

此外，以某雙核音箱為實驗對象，開展了一系列實驗研究，并分別考慮了大理石剛性地面和海綿吸聲材料兩種反射面。實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果基本一致，即反射聲的等效源應(yīng)盡量分布在真實聲源中心部分的鏡像位置。受文章篇幅所限，實驗研究部分未在本文給出，將分析整理成其他文章。