彭銳 顧旭東 王市委 陳歡 李光劍 羅凡 汪鑫 陸開昊 倪彬彬 趙正予

（武漢大學電子信息學院空間物理系，武漢 430072）

引 言

VLF信號是指頻段為3～30 kHz的電磁波，主要源于自然界閃電[1-2]以及人工VLF臺站輻射，具有波長較長、傳輸損耗低的特點，能在地球-電離層波導中遠距離傳輸，因此可用于潛艇通信[3-4]和導航定位[5-6]. VLF接收機能夠接收來自自然界和人工臺站輻射的VLF信號，通過組網觀測的方式實現(xiàn)VLF信號源的定位. 采用多站組網協(xié)同探測方式對VLF信號源進行無源定位時，接收站的布站位形對定位精度有著決定性影響.

在基于多站磁定向原理[7]的定位系統(tǒng)中，系統(tǒng)的定位誤差與場地誤差有關[8-9]. 基于多站時差原理的定位系統(tǒng)中，閃電探測網布站優(yōu)化相關的研究[10-15]表明，定位效果會受到接收站數量、布站幾何以及基線長度的影響，通過增加接收站的數量或者基線長度可得到提升. 在布站面積相同的仿真中發(fā)現(xiàn)，相比于菱形、三角形、平行四邊形、矩形、正方形、倒三角等布站幾何，星型布站下的定位誤差相對較小，且誤差分布呈現(xiàn)近似以中心位置為圓心的等值圓的規(guī)則分布，更適合閃電探測. 在針對星載探測系統(tǒng)和多基站雷達探測系統(tǒng)的定位仿真研究中，王卓群等[16]對Y型(星型)、方型及其他不規(guī)則布站構型進行了研究，發(fā)現(xiàn)在Y型(星型)布站定位條件下的定位誤差最小，增加基線長度和衛(wèi)星高度也可降低定位誤差. 李世豪等[17]在對多基站雷達系統(tǒng)的定位仿真研究中發(fā)現(xiàn)，在僅增加某條基線長度的條件下，其對應基線所在方向的直線區(qū)域內的定位精度會顯著提升，而其他基線方向附近區(qū)域內的定位精度并沒有顯著提升；且當三站位置近似處在同一條直線上時，該方向直線區(qū)域內的定位誤差將大幅度提升，甚至出現(xiàn)無法定位的情況. 在布站優(yōu)化方面，潘燁煬等[18]提出自適應遺傳算法優(yōu)化布局方案，與傳統(tǒng)遺傳算法相比，該算法收斂速度更快，且能夠達到最優(yōu)布站的效果. 代聲發(fā)等[19]利用粒子群算法進行布站優(yōu)化，能明顯改善探測定位網內的平均誤差. 竇雪倩等[20]針對不規(guī)則布站問題提出了基于幾何稀釋度(geometric dilution precision, GDOP)的最優(yōu)布站方案，利用柵格法和遺傳算法兩種求解算法，其仿真結果表明，該方案能夠有效提升定位系統(tǒng)對目標的定位能力.

上述研究主要針對百公里量級及以下的短基線輻射源定位，其目標輻射源通常位于定位網內部或者周邊，探測區(qū)域范圍內地球表面曲率變化帶來的誤差可以忽略，因此一般定位模型主要利用三維直角坐標系并忽略z軸高度變化，將探測區(qū)域近似成為平面處理. 而在長基線VLF輻射源的定位中，地球曲率的影響隨著距離的增加而變大，不能忽略，相關理論研究較為缺乏. 本文基于球面模型的多站時差定位算法，利用蒙特卡洛隨機試驗的方法，分別仿真計算了四接收站的方型和星型兩個典型構型下定位結果的均方根誤差(root mean square error, RMSE)分布，并探究了布站幾何、基線長度和主站選擇對定位精度的影響. 研究結果對遠距離VLF源定位系統(tǒng)的實際接收站點設置有著重要的參考價值.

1 研究方法

1.1 定位算法

與短基線定位算法不同，長基線接收站由于站間距較大，采用平面坐標進行定位會導致較大誤差，故將地球本身視為規(guī)則球體，其半徑取6 371.393 km，球面上任意點的坐標可用經度Long和緯度Lat表示. 由于各個接收站的距離較大，故不考慮高度因素，令臺站發(fā)射機和接收機的高度均為0 m. 王濤等[21]在長基線閃電定位系統(tǒng)中利用類似的定位模型達到了較好的定位效果，表明該模型具有一定的準確性.

式中，Re表示地球半徑.

若有N個接收站接收到某輻射源信號，則在輻射源信號到達各站之后，可以獲得N?1個時差數據，記為

式中：TD為 觀測得到的時差向量； Δti代表信號到達第i個副站與信號到達主站的時刻差值. 若將輻射源S位置簡記為m，則可將利用模型求時間差的過程簡化為下面的矩陣形式：

式中：F(m)代表正向求解時間差向量的過程[21]；TD是通過到達時間差(time difference of arrival, TDOA)定位模型推導出的到達時差向量. 尋找解輻射源位置的問題，實際就是利用觀測時差向量TD來反推出輻射源位置m的問題. 利用迭代法解決該問題的過程如下：

首先，構建目標函數[21]：

式中，Cd為測量時差的協(xié)方差矩陣，假設各站測時誤差相同且相互獨立，可取單位陣. 目標函數代表了當前坐標值m下模型時差向量TD與實測時差向量的差異程度. 理論上，若任何測量誤差為0且m為發(fā)射站真實位置，則目標函數值為0. 然而在實際計算過程中，由于誤差的存在，目標函數無法取到0，只能取到極小值. 使用迭代法，從初始位置m(0)開始不斷迭代計算得到m(N)，直至Φ(m)達到極小值. 使用下面的迭代公式求目標函數的極小值點的位置[21]：

式中，J(k)是F(m)在m(k)的偏導數矩陣，

1.2 仿真方法

本文采用蒙特卡洛隨機試驗[22]的方法來估計實際定位誤差，進而探究多接收站在給定布站構型中的實際定位效果. 實際定位誤差主要源于時延測量誤差，即時延測量值與真實值之間的差值，通常在μs量級[23]，例如遠距離雷電脈沖在長距離傳播中高頻分量快速衰減，色散效應明顯，脈沖波形在時域中延展導致時延測量誤差. 信號在地-電離層波導中長距離傳播會經過多次反射，帶來額外的附加時延，產生時延誤差. 考慮到時延誤差的影響，在目標位置真值確定的條件下，給時差向量真值疊加隨機誤差，以模擬時差向量測量值，并結合上述定位算法來求解目標源的位置，得到一次隨機試驗的結果Pm. 通過大數量的多次隨機試驗可以獲得大量的定位結果，然后統(tǒng)計所有定位結果與目標真值之間的誤差，其結果可以作為該目標位置處實際定位誤差的參考值.

具體流程如下：1)根據布站構型，確定各站點的經緯度信息及主站信息. 2)設置某個輻射源位置的真值P，利用上述球面模型，計算出信號從源點到達接收站的到達時間時差真值向量T. 3)為模擬實際探測中會出現(xiàn)的測時誤差，在2)所得的時差真值矩陣中加入服從均值為0、標準差為1 μs的高斯分布的隨機時間誤差，得到時差測量值向量Tm. 這里主要考慮理想狀態(tài)下的時延誤差，相對實際時延誤差可能偏小，但不影響布站構型對定位精度影響的研究.4)利用3)中所得時間測量值向量并結合上述定位算法反演目標位置，得到一次隨機試驗的輻射源位置的測量值Pm. 5)布站位形和輻射源位置的設定不變，重復1 000次隨機試驗，得到一組目標位置測量值PmM(M為重復試驗次數，此處為1 000)，并計算該目標處的定位RMSE，. 其中，dis() 是 求兩位置距離的函數，是第i次隨機試驗的目標測量值. 6)在探測區(qū)域內劃分網格，計算每個格點處的RMSE，從而得到整個探測區(qū)域內的RMSE分布.

選取的探測區(qū)域經緯度覆蓋范圍為：經度73°E～153°E，緯度42°S～53°N，南北距離跨度約為10 564 km，東西距離跨度約為8 896 km，覆蓋區(qū)域為亞洲東部及東南亞、澳洲大陸的大部分亞太地區(qū). 為得到不同布站構型下探測區(qū)域內的定位誤差分布，將上述探測區(qū)域按照經緯度劃分網格，并計算格點處的RMSE，網格間距設置為1°.

在近距離定位中，其布站基線較小且主要針對接收站覆蓋網內部區(qū)域目標進行定位，探測區(qū)域范圍小，定位誤差受布站構型影響較小，不存在定位盲區(qū)；而對于遠距離定位系統(tǒng)，主要針對布站覆蓋網外的目標進行定位，布站基線長、探測區(qū)域范圍大，定位誤差分布受布站構型的影響很大，尤其需要避免探測盲區(qū)的出現(xiàn). 針對這種情況，本文主要探究了遠距離探測中四接收站的方型和星型布站對定位誤差分布的影響. 圖1為方型和星型布站的構型示意圖，按照逆時針順序給出了兩種構型下各個接收站的編號. 圖1(a)為方型構型，其布站選點是放置在半徑為r的圓內接正方形的頂點；圖1(b)為星型構型，其布站選點設置在半徑為r的圓內接等邊三角形的頂點及中心點. 布站基線長度定義為構型外接圓的半徑長度r，以此表征布站范圍的大小.

圖1 方型和星型布站示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the square-shaped and starshaped geometry for station configuration

2 結果分析

首先研究在方型布站和星型布站兩種布站幾何中不同基線長度的布站構型下，定位誤差在探測區(qū)域內的分布. 圖2為#3主站采用不同基線長度的方型布站下的定位誤差分布，圖中的白色實心點代表接收輔站，紅色實心點代表接收主站. 圖2(a)為基線長度為100 km的方型布站仿真結果. 整體上，從定位點到定位中心的距離角度看，距離越近，定位誤差越??；距離越遠，定位誤差越大. 同時，誤差分布具有明顯的方向性，在方型邊長方向上(即東西方向和南北方向)的大部分區(qū)域，定位誤差隨距離增加快速增加到1 500 km的量級，區(qū)域形狀近似為“十字形”；而在方型的對角線方向上，定位誤差隨距離變化較為緩慢，大部分區(qū)域的定位誤差低于700 km，區(qū)域形狀近似為“花瓣形”，且主站所在對角線延長線附加區(qū)域“瓣片”的定位誤差略低于另一對角線延長線附加區(qū)域. 圖2(b)為基線長度為400 km的方型布站結果，其定位誤差整體分布特性與圖2(a)類似，出現(xiàn)了“十字形”區(qū)域和“花瓣形”區(qū)域，并且“花瓣形”的覆蓋范圍有明顯向四周擴張的趨勢；探測區(qū)域內所有位置的定位精度得到了大幅度的提升，“花瓣形”區(qū)域定位誤差幾乎全部降低到了70 km以下，較圖2(a)中下降了近90%. 圖2(c)為基線長度為700 km的方型布站的結果，與圖2(b)的結果類似，定位誤差分布同樣具有方向性的分布特征，“花瓣形”區(qū)域的定位誤差降低到了20 km以下，較圖2(b)降低了近70%. 圖2(d)為基線長度為1 000 km的方型布站結果，與圖2(c)相比，整體的定位精度有了較大提升，“花瓣形”區(qū)域占了整個探測區(qū)域的大部分面積，其定位誤差降低到10 km下，較圖2(c)僅降低了約50%. 進一步增加布站基線長度，探測區(qū)域各點處的定位誤差將會進一步降低，但每次降低的比例會逐漸下降，定位誤差可能會存在一個收斂下界. 綜合上述分析可以發(fā)現(xiàn)，在方型布站下，定位誤差分布在遠距離范圍內具有很強的方向性，在方型邊長所在直線附近區(qū)域的定位誤差隨距離變化很快，而在對角線方向上的定位誤差隨距離變化相對較慢；增加基線長度可使定位精度有明顯的提升，但提升效果會隨著基線長度的增加而減弱. 因此實際布站中，在了解輻射源目標位置與布站中心相對位置大致方向的情景下，可以采用方型布站，并調整布站的位置使得目標區(qū)域能夠落在方型對角線所在直線區(qū)域，以達到最佳定位效果. 但對于完全沒有任何位置先驗信息的目標輻射源，即盲源信號，方型布站并不合適，因為當目標處于該布站條件下的“十字形”區(qū)域時，定位誤差將會很大，其定位結果的參考價值不大.

圖2 不同基線長度的方型布站下的RMSE分布Fig. 2 The RMSE distribution for square-shaped geometries with different baseline length

圖3為采用不同基線長度的星型布站的仿真結果，主站均為#1. 圖3(a)基線長度為100 km，與方型布站的結果相比，星型布站下的定位誤差分布無明顯的方向性，其誤差等值線近似呈現(xiàn)以布站為中心的同心圓分布. 由于基線長度設置較小，地圖中大部分區(qū)域的定位誤差都在100 km以上，僅在布站覆蓋范圍內地區(qū)的定位誤差低于100 km，遠不能滿足實際定位的需求. 圖3(b)基線長度為400 km，定位精度有了很大的提升，大部分區(qū)域的定位誤差低于100 km.在主站和輔站連線的反向延長線上的區(qū)域定位效果略優(yōu)于正向延長線上的區(qū)域. 圖3(c)基線長度為700 km，大部分區(qū)域的定位誤差降低到了20 km以下. 圖3(d)基線長度為1 000 km，大部分區(qū)域的定位誤差在10 km以下. 與方型布站的結果相比，星型布站下定位誤差分布沒有明顯的方向性，且整體定位精度都有明顯提高，適合盲源定位的需求. 細節(jié)上，在主站與副站連線的方向延長線上的區(qū)域定位效果會略好一些；且增加基線長度能明顯提高各區(qū)域的定位效果，但提升效果會隨著基線長度的增加而減弱.

圖3 不同基線長度的星型布站下的RMSE分布Fig. 3 The RMSE distribution for star-shaped geometries with different baseline length

在布站構型中，除了布站幾何和基線長度外，參考主站的選取也是影響定位誤差分布的重要因素.圖4為不同主站的方型布站下的仿真結果. 圖4(a)為#1主站，可以發(fā)現(xiàn)，誤差分布具有明顯的方向性，在方型邊長所在直線附近區(qū)域的誤差會隨著對布站中心的遠離而快速增加，而在方型對角線所在直線附近區(qū)域的誤差隨距離遠離變化較慢，誤差分布呈“花瓣形”，這種誤差分布特征是方型布站下所共有的. 圖4(b)為#2主站，由于其布站構型與圖4(a)中的布站具有對稱性，因而仿真結果也具有對稱性. 通過比較可以發(fā)現(xiàn)，主站所在對角線直線區(qū)域的定位效果要比另一條對角線直線所在區(qū)域的定位效果好.圖4(c)和圖4(d)分別為#3和#4主站的結果，與圖4(a)和(b)的結果類似，具有明顯的“花瓣形”的定位誤差分布. 由于方型布站下不同主站的選取具有相似性，因而仿真結果也具有很明顯的相似性，在方型對角線方向上的區(qū)域定位誤差要明顯低于邊長方向上的定位誤差，而主站所在對角線方向上的誤差要略低于另一對角線方向上的誤差.

圖4 不同主站的方型布站下的RMSE分布Fig. 4 The RMSE distribution for square-shaped geometries with different master stations

圖5為不同主站的星型布站下的仿真結果，其中基線長度均為700 km. 圖5(a)為#1主站，與圖3中的結果相似，其誤差分布的方向性較弱，誤差等值線分布近似呈現(xiàn)以布站中心為同心圓，適合對盲源目標的探測. 圖5(b)為#2主站，明顯可以看到，由于主站設置的改變，誤差分布出現(xiàn)了明顯的方向性特征，在正三角形邊長所在直線方向的附近區(qū)域內，定位誤差較大，而在其他區(qū)域，如三角形的頂點與中心點的連線的所在直線方向上的區(qū)域，定位誤差相對較??；另外，在頂點到中心點連線的反向延長線上的定位誤差要小于正向延長線上的區(qū)域. 同時，與圖5(a)中的結果相比，幾乎所有位置的定位誤差都有不同程度的增加，說明在星型布站中將主站設置在中心位置具有一定的優(yōu)越性. 圖5(c)和(d)分別為#3和#4主站的仿真結果，與圖5(b)中的結果相似，具有明顯的方向性特征，三角形邊長方向區(qū)域的誤差較大，而頂點與中心點連線方向上的誤差較小，兩幅圖中的結果具有明顯的鏡像對稱性，這是由布站的對稱性決定的. 在星型布站的主站選擇方面，將主站設置在中心站的效果要明顯好于其他主站設置，整體的定位誤差較低，且沒有明顯方向性，適合盲源目標定位；而將站點設置在三角形頂角位置時，整體的定位誤差會提高，并且在三角形邊長所在直線附近的區(qū)域內誤差隨距離的增加較快.

圖5 不同主站的星型布站下的RMSE分布Fig. 5 The RMSE distribution for star-shaped geometries with different master stations

選擇從武漢到NWC(21.82°S，114.17°E)路 徑(NWC Path，南北方向)和從武漢到JJI(30.04°N，130.81°E)路徑(JJI Path，東西方向)這兩條典型路徑，詳細分析各種布站構型下的RMSE分布. 圖6為隨著路徑上某點到布站中心的距離變化不同基線的方型和星型布站下的RMSE分布結果. 圖6(a)為NWC路徑上的RMSE分布. 可以看出，隨著基線長度的增加，定位誤差會明顯降低，但降低比例會隨著基線長度的增加而逐漸降低. 另外，在該路徑上，基線長度為700 km的星型布站下的定位誤差已經低于基線長度為1 000 km的方型布站的誤差，體現(xiàn)了星型布站的優(yōu)越性. 圖6(b)為JJI路徑上的RMSE分布，可以發(fā)現(xiàn)，在此方向上，同基線長度的星型布站的誤差要略低于方型布站的誤差，但是差距不大.

圖6 不同基線長度的方型和星型布站下的RMSE路徑分布Fig. 6 The RMSE path distribution for square-shaped and star-shaped geometries with different baseline length

圖7為基線長度均為700 km時不同主站的方型和星型布站下的仿真結果. 圖7(a)為NWC路徑上的RMSE分布. 可以發(fā)現(xiàn)：在方型布站中，各種主站選擇下的誤差分布基本相同；而在星型布站中，定位誤差要明顯低于方型布站，且對于主站為#1和#2的定位誤差要略優(yōu)于主站為#3和#4的結果. 圖7(b)為JJI路徑上的RMSE分布，可以發(fā)現(xiàn)，由于距離中心站較近，整個路徑上的定位誤差基本都低于3 km，且星型布站整體上要優(yōu)于方型布站的結果. 綜上分析，在這兩條路徑上，基線越長，定位效果越好；星型布站的定位效果要優(yōu)于方型布站；在星型布站中，主站設置在布站中心位置的效果優(yōu)于其他主站設置.

圖7 不同主站的方型和星型布站下的RMSE路徑分布Fig. 7 The RMSE path distribution for square-shaped and star-shaped geometries with different master stations

為方便比較不同定位構型的定位效果，表1統(tǒng)計了不同構型下RMSE的區(qū)域占比，即統(tǒng)計了在不同構型下，探測區(qū)域內RMSE處于某一誤差范圍的目標點數量占目標點總數的百分比. 可以看出：在同一構型下，隨著基線長度的增加，定位誤差低于某個誤差水平的占比明顯提升；當基線長度一定時，方型構型下低于某個精度水平占比基本上低于星型構型；在基線長度為700 km的方型構型中，不同主站選擇下，定位精度的分布比例基本相同，各個水平下的百分比差距不到2%；而在基線長度為700 km的星型布站中，主站為#1的定位結果，要明顯優(yōu)于其他主站選擇的結果，特別是在定位誤差小于10 km這一水平上，#1主站的所占百分比為47.11%，其他主站選擇條件下所占比例平均為36.51%，兩者相差約10.6%.

表1 不同構型下RMSE的區(qū)域占比Tab. 1 The proportion of the area of the RMSE level for different positioning configurations

3 結 論

針對VLF多站定位中布站構型對遠距離隨機VLF輻射源的定位性能影響問題，本文提出了一種基于蒙特卡洛隨機試驗的定位誤差分析方法，研究了四站條件下布站幾何、基線長度、主站選取這些布站因素對定位精度分布特性的影響. 得到以下主要結論：

1)在布站幾何和主站設置一定時，增加布站基線長度能夠有效提升定位精度，但提升效果會隨著基線的增加而減弱.

2)在方型布站中，定位誤差分布具有明顯的方向性，方型邊長所在直線區(qū)域的定位誤差較大，而方型對角線區(qū)域的定位誤差較小，且定位誤差分布受主站選擇影響較小.

3)星型布站中定位誤差明顯優(yōu)于同基線長度下的方型布站. 同時，星型布站下的定位誤差受主站選擇的影響較為明顯，當主站設置在布站中心點處時的定位效果最好，且沒有特別明顯的方向性，而當主站設置在三角形頂點位置時，三角形邊長所在直線區(qū)域的定位誤差較大.

本文僅研究了四接收站下方型構型和星型構型的情況，對接收站數量和布站幾何更多，以及不規(guī)則布站的情況都沒有展開相關研究和討論. 利用球面模型近似地球表面，有計算量小、精度高的優(yōu)點，但對于更高精度需求的仿真實驗，可以采用精度更高、計算量較大的WGS-84橢球模型來提高仿真的精度.實際中VLF信號在傳播過程中會受電離層參數、地球表面地形地貌等多種因素影響，這些因素也需要在定位模型中加以考慮. 此外，仿真中使用的時延測量誤差設定取值較小，適用于假定的理想情況，但是實際時延測量中誤差可能更大，對定位的具體精度有較大的影響，在后續(xù)的研究中需要考慮更加真實的時延誤差.