韓曉冰 張輝 梁冰洋 周遠(yuǎn)國

（西安科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，西安 710054）

引 言

石墨烯[1]是一種由單層碳原子構(gòu)成的二維納米材料. 由于其獨特的六角形蜂巢晶格結(jié)構(gòu)、動態(tài)可調(diào)性、低損耗性以及其在微波和太赫茲波段中獨特的光學(xué)特性[2-3]，引起了科學(xué)界和工程界的廣泛關(guān)注. 由于與傳統(tǒng)貴金屬相比石墨烯具有以上優(yōu)點，近些年來學(xué)者們紛紛開展了微波波段以及太赫茲波段中石墨烯器件的研究工作.

在太赫茲器件中，吸收器對入射波的有效吸收非常重要. 一些由普通金屬和介電材料組成的超表面吸收材料在制造后具有不可調(diào)性的固有缺陷. 然而，石墨烯具有極高的載流子遷移率以及其電導(dǎo)率取決于費米能級水平，而費米能級水平可以通過靜電摻雜或化學(xué)摻雜來調(diào)節(jié)[4-5]. 因此，對石墨烯吸收器進行精確的建模和仿真具有較高實用價值.

眾所周知，目前已有一些解析法和數(shù)值分析法用于模擬太赫茲頻段的石墨烯器件[6]. 其中，時域有限差分(finite-difference time-domain, FDTD)方法[7]結(jié)合太赫茲頻段的單層石墨烯Drude模型以及輔助差分方程(auxiliary difference equation, ADE)技術(shù)常用于模擬石墨烯結(jié)構(gòu)[8]. 雖然FDTD方法數(shù)值計算結(jié)果的精度較高，但是由于石墨烯薄片一般為原子級厚度，需要大量的空間離散. 傳統(tǒng)FDTD方法必須滿足CFL(Courant-Friedrich-Levy)穩(wěn)定性條件，其時間步長主要由計算空間網(wǎng)格長度的最小值決定[9]. 因此，使用該方法仿真石墨烯吸收器計算效率較低，并且內(nèi)存消耗較為嚴(yán)重.

為了解決傳統(tǒng)FDTD方法CFL穩(wěn)定性條件的問題，幾種改進的FDTD方法被提出. 例如交替方向隱式時域有限差分(alternating-direction implicit FDTD,ADI-FDTD)法[10]時間步長不受空間網(wǎng)格長度大小限制，僅受到數(shù)值誤差的限制，但缺點也是很明顯的，必須求解大型矩陣的逆，計算量大且效率較低. 綜合FDTD和ADI-FDTD優(yōu)點的混合顯隱式時域有限差分(hybrid implicit-explicit FDTD, HIE-FDTD) 方法[11-13]雖然不如ADI-FDTD方法在理論上具有無條件穩(wěn)定性，但是其CFL條件僅由兩個方向空間離散化決定，并非由最小的空間離散化決定[14]. 因此，HIE-FDTD方法非常適用于仿真石墨烯等在單一方向上具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的二維材料[15-16].

為了解決階梯網(wǎng)格劃分問題，可以使用非常細(xì)的網(wǎng)格離散石墨烯薄片以充分近似曲面邊界，但是增加了網(wǎng)格數(shù)從而增加了計算時間. 為了在不使用細(xì)網(wǎng)格的情況下處理曲面邊界，最常用共形技術(shù)對其進行處理[17]. 本文通過將共形技術(shù)與HIE-FDTD方法相結(jié)合，以實現(xiàn)對具有曲面邊界的石墨烯結(jié)構(gòu)進行精確仿真.

1 適用于石墨烯的HIE-FDTD方法

數(shù)值建模中，石墨烯通常被視為一個薄導(dǎo)電表面，其表面電導(dǎo)率包括兩部分：帶間電導(dǎo)率和帶內(nèi)電導(dǎo)率，通常用Kubo公式計算得到[18-20]：

式中： σintra和 σinter分別為由對應(yīng)的載流子躍遷而產(chǎn)生的帶內(nèi)和帶間分量[21-22]； ω為角頻率；τ為弛豫時間τ=1/(2Γ)，Γ 為散射率；e為 電子電荷；kB為玻爾茲曼常數(shù)；T為開爾文溫度；hˉ為 普朗克常量；；μc為化學(xué)勢. 在太赫茲波段，由于入射光子能量較小，可以忽略帶間躍遷所引起的效應(yīng)，因此帶內(nèi)躍遷在相互作用中占主導(dǎo)地位. 所以本文只考慮石墨烯的帶內(nèi)電導(dǎo)率，即 σ (ω)=σintra(ω).

設(shè)石墨烯的厚度為d，則其相對介電常數(shù)可表示為

為模擬石墨烯電導(dǎo)率的色散特性，采用ADE對其進行處理[23-24]，在頻域安培方程中引入傳導(dǎo)電流密度項，即

式中，

從電導(dǎo)率 σ中分離頻率項，式(6)可以表示為

式中，

等式(4)表示石墨烯的色散特性，由于HIE-FDTD方法是一種改進的FDTD方法，通過ADE將式(4)變換為時域差分形式得到式(9)，因此通過式(9)可以方便地將其引入到HIE-FDTD方法之中.

1.1 色散HIE-FDTD公式推導(dǎo)

納入電流密度J的麥克斯韋方程如式(10)和(11)所示：

對式(10)和(11)采用HIE差分格式并結(jié)合式(9)可以推導(dǎo)出適用于石墨烯的色散HIE-FDTD迭代公式如下：

使用式(9)替換，同時將式(16)帶入到式(12)經(jīng)過計算得到公式，其迭代公式如下：

式(18)、(19)、(14)～(17)是最終的色散HIEFDTD迭代公式. 值得注意的是，如果計算區(qū)域不包含石墨烯，則式(9)中的系數(shù)C1和C2為0.

1.2 色散HIE-FDTD方法穩(wěn)定性分析

在本節(jié)中，討論色散HIE-FDTD方法的時間穩(wěn)定性條件. 結(jié)合式(9)和式(12)～(17)，我們可得到式(20)：

式中：a=ε0/Δt;b=μ0/Δt;Dp=?/?p(p=x,y,z).

不失一般性，三維平面波定義如下：

式 中：φ 表 示E，H或J； φφ表示各個場分量的 幅度；ζ表示增長因子；kx，ky，kz分 別表示沿x，y，z方向的波束. 將式(21)帶入到式(20)中，并利用中心差分代替空間導(dǎo)數(shù)，即sin(kpΔp/2)/Δp)，整理得到式(22)：

要使式(22)存在非零解，其系數(shù)矩陣的行列式應(yīng)為零. 通過求解我們得到：

式中：

為了保證迭代過程的穩(wěn)定性，增長因子 ζ的模必須小于1. 通過分析，色散HIE-FDTD的穩(wěn)定性條件與常規(guī)HIE-FDTD的穩(wěn)定性條件同為[25-26]

1.3 共形HIE-FDTD方法

傳統(tǒng)FDTD方法在模擬彎曲物體時常采用階梯近似法，這樣不僅會產(chǎn)生誤差，而且會產(chǎn)生偽解. 在過去幾十年里為了克服這些困難，人們提出了許多分析彎曲物體的方法，特別是Dey S和Mittra R提出的局部共形FDTD方法，且證明了該方法具有較高的精度和穩(wěn)定性[27]. 為了可以精確模擬石墨烯的曲面邊界，將共形FDTD和色散HIE-FDTD相結(jié)合，在x和y方向上使用共形HIE-FDTD方法，在z方向使用傳統(tǒng)的HIE-FDTD方法，這樣能夠保持在仿真石墨烯時具有更高的精確度.

如圖1所示，使用共形HIE-FDTD方法仿真石墨烯，只需要在共形網(wǎng)格處對石墨烯取有效電導(dǎo)率并與周圍介質(zhì)進行線性平均，從而修正式(9)中系數(shù)C2實現(xiàn)共形HIE-FDTD. 共形網(wǎng)格處石墨烯等效電導(dǎo)率為

圖1 石墨烯曲面邊界處的共形網(wǎng)格Fig. 1 Conformal grid at the boundary of the graphene surface

進一步修正共形網(wǎng)格處系數(shù)C2，將式(25)帶入式(9)系數(shù)中得共形網(wǎng)格處修正后C2表達式為

式中，l為石墨烯在共形網(wǎng)格處占據(jù)的長度. 該方法在提高精度的同時與原始HIE-FDTD復(fù)雜度相同.

2 算例部分

為了驗證色散HIE-FDTD方法的有效性，我們對無限大石墨烯進行仿真模擬，并與傳統(tǒng)FDTD方法進行對比給出兩種方法的優(yōu)缺點. 然后，利用共形HIE-FDTD方法設(shè)計了一種新型的石墨烯圓環(huán)結(jié)構(gòu)吸收器，基于這種方法仿真并分析了該吸收器的光學(xué)特征.

2.1 色散HIE-FDTD算法有效性驗證

為了驗證所應(yīng)用的色散HIE-FDTD方案計算精度和效率，首先采用FDTD方法和色散HIE-FDTD來對無限大石墨烯結(jié)構(gòu)進行對比仿真. 如圖2所示，石墨烯位于x，y平面中，它在z方向的厚度為d. 電場是沿著x方向極化的均勻平面波垂直入射在該結(jié)構(gòu)上. 入射波作為一時間函數(shù)表達式為

式 中，t0=τ=4×10?12s. 入 射波 頻 率 為0～2 THz.

如圖2所示，使用Floquet周期邊界在x，y方向模擬了無限結(jié)構(gòu)，沿著z方向設(shè)置卷積完美匹配層(convolutional perfectly matched layer，CPML)，通過總場/散射場(TS/SF)邊界條件將平面波引入到計算域.石墨烯相關(guān)參數(shù)選擇如下：開爾文溫度T=300K，化學(xué)勢 μc=0.1eV， 弛豫時間 τ=1ps ， 散射率 Γ=1/(2τ)，石墨烯厚度d=1.5nm.

圖2 包含石墨烯薄片的空間圖Fig. 2 A spatial diagram containing graphene flakes

由于單層石墨烯的厚度非常薄，本文中使用兩種尺度網(wǎng)格進行仿真：細(xì)網(wǎng)格剖分石墨烯，粗網(wǎng)格剖分其他介質(zhì). 其中，細(xì)網(wǎng)格尺寸選擇 Δz=0.3nm. 為了減少由數(shù)值色散引起的誤差，一般情況下在計算域的其他介質(zhì)中，最小波長包含的最小網(wǎng)格數(shù)(point per wavelength, PPW)應(yīng)大于8，本文選取PPW為15即Δx=Δy=Δz=10μm. 為了滿足CFL穩(wěn)定性條件，在傳統(tǒng)FDTD方案中的時間步長需要滿足

相比之下，在HIE-FDTD方法中，時間步長僅取決 于 兩 個 方向的單元尺寸 (例如 Δx和 Δy).

由圖3可以看出色散HIE-FDTD方法與傳統(tǒng)FDTD方法仿真無限大石墨烯的結(jié)果非常吻合. 但是由于傳統(tǒng)FDTD時間步長短，制約了計算效率. 而色散HIE-FDTD方法體現(xiàn)出了其對二維材料仿真的高效性. 本文中所有的算例仿真都是在Intel(R)Core(TM)i5-8250U的CPU以及16 G內(nèi)存的工作平臺上進行. 兩種計算方法CPU耗時比較如表1所示.

圖3 色散HIE-FDTD與FDTD方法電場對比結(jié)果圖Fig. 3 Comparison result of electric field between HIE-FDTD and FDTD method

表1 FDTD與色散HIE-FDTD方法仿真石墨烯的CPU耗時對比Tab. 1 Comparison of CPU time consumption between FDTD and dispersive HIE-FDTD methods for simulating graphene

從表1可以看出，F(xiàn)DTD方法和色散HIE-FDTD方法CPU總耗時分別為750 min和31 s. 雖然色散HIE-FDTD方法采用的時間步長非常大，但色散HIEFDTD方法總耗時僅為FDTD方法總耗時的1/1451.

2.2 新型石墨烯吸收器設(shè)計

本文設(shè)計的一種新型石墨烯吸收器結(jié)構(gòu)如圖4所示，其由三層介質(zhì)組成，包括頂層環(huán)狀石墨烯、中間介質(zhì)層以及底部完美電導(dǎo)體(perfect electrical conductivity, PEC). 該吸收器為周期結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)單元在x和y方向周期排布，周期P=4 μ m. 頂層石墨烯薄膜的結(jié)構(gòu)為圓環(huán)，圓環(huán)內(nèi)直徑d1為 2.2 μ m，外直徑d2為 2.48 μ m. 介質(zhì)層是介電常數(shù)為2.35的環(huán)烯烴共聚物. 由于色散HIE-FDTD方法對石墨烯的仿真非常有效，我們用它結(jié)合共形技術(shù)來分析本文提出的新型石墨烯吸收器的光學(xué)特性.

圖4 石墨烯吸收器結(jié)構(gòu)圖Fig. 4 Structure of graphene narrow-band absorber

吸收器的吸收率表達式為A=1?T?R，其中T表示傳輸系數(shù)，R表示反射系數(shù). 由于底部采用PEC，所以在太赫茲入射的傳輸系數(shù)為0，因此吸收率的表達式可以簡化為A=1?R.

太赫茲電磁波垂直入射至吸收器表面，在石墨烯化學(xué)勢為0.7 eV、中間介質(zhì)層厚度為18 μ m、圓環(huán)寬度為0.14 μ m的前提下，得到該吸收器的吸收率曲線如圖5所示. 可以看出，在2.68 THz處吸收率趨近于1. 說明該吸收器在2.68 THz附近具有良好的吸收特性.

圖5 采用共形HIE-FDTD方法計算的吸收率Fig. 5 Use conformal HIE-FDTD method to calculate absorption rate

眾所周知，在太赫茲頻率范圍內(nèi)，石墨烯的費米能級可以通過化學(xué)摻雜或靜電摻雜發(fā)生改變，從而實現(xiàn)調(diào)節(jié)石墨烯表面電導(dǎo)率的功能. 利用這一特性，該吸收器可以實現(xiàn)可調(diào)諧性. 吸收器的吸收率曲線隨化學(xué)勢的變化如圖6所示. 可以看出，隨著化學(xué)勢從0.5 eV增加到1 eV，吸收器的吸收頻率從2.25 THz移動至3.25 THz. 同時可以看出，吸收率隨著化學(xué)勢的增加而增加，這是因為費米能級的增加會導(dǎo)致等離激元共振的等離子體濃度逐漸增加，當(dāng)化學(xué)勢μc=0.7 eV時到達最佳狀態(tài). 數(shù)值實驗結(jié)果表明所設(shè)計的石墨烯吸收器工作頻率可以通過控制其化學(xué)勢進行調(diào)節(jié).

圖6 化學(xué)勢對吸收率的影響Fig. 6 The effect of chemical potential on absorption rate

為了進一步分析吸收器的幾何參數(shù)對吸收性能的影響，石墨烯的化學(xué)勢選擇為0.7 eV，保持其他參數(shù)不變. 通過計算得到了圓環(huán)寬度對吸收率曲線影響的變化情況如圖7所示. 當(dāng)圓環(huán)寬度由0.10 μ m增加到0.20 μm時，吸收峰頻率由2.42 THz移動到2.97 THz，即隨著圓環(huán)寬度的增加吸收峰出現(xiàn)了藍移，吸收率先增加再減小. 在圓環(huán)寬度為0.14 μ m時達到最佳狀態(tài)，吸收率趨近于1. 說明該吸收器可以通過調(diào)節(jié)幾何參數(shù)對工作頻率進行選擇.

圖7 圓環(huán)寬度對吸收率的影響Fig. 7 Effect of ring width on absorptivity

3 結(jié) 論

本文應(yīng)用HIE-FDTD方法完成了對石墨烯吸收器的數(shù)值模擬. 該方法的時間步長不受石墨烯厚度離散的限制，因此非常適用于分析在某一方向具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的二維材料. 同時，本文為了能夠精確模擬具有彎曲邊界的石墨烯將共形技術(shù)與本文中色散HIE-FDTD方法相結(jié)合，并使用共形HIE-FDTD方法設(shè)計了一種工作在太赫茲頻段的可調(diào)諧完美超材料吸收器. 數(shù)值結(jié)果表明，本文設(shè)計的吸收器工作頻率可以通過調(diào)節(jié)石墨烯的化學(xué)勢和幾何參數(shù)進行改變，這一結(jié)果表明基于石墨烯的太赫茲吸收器具有可調(diào)諧性. 本文所設(shè)計的吸收器結(jié)構(gòu)為一種單頻帶可調(diào)諧完美吸收器，為了實現(xiàn)對入射波的多帶或者寬帶吸收，可以通過在該單元結(jié)構(gòu)中放置多個尺寸相似的石墨烯圓環(huán)并采用上述方法進行分析.