由一道兩圓公共弦所在直線的方程問題引發(fā)的思考

葛彩云

如果兩圓相交，那么這兩個圓就會有兩個交點，這兩個交點的連線就稱為兩圓的公共弦.該弦較為特殊，弦的端點分別在兩個圓上，端點的坐標滿足兩個圓的方程.那么如何求兩相交圓公共弦所在直線的方程呢？

下面，我們一起來探究一道題目.

例1.求兩個圓 x2+ y2+3x - y =0和3x2+3y2+2x + y =0公共弦所在直線的方程.

仔細研究本題，可以發(fā)現(xiàn)，將（1）×3-（2），消去兩圓的方程中二次項后的方程為7x -4y =0，該方程即為所求的兩圓公共弦所在直線的方程.這是不是一種巧合呢？下面來證明一下此結(jié)論的正確性.

結(jié)論1：圓 x 2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 （D1 2 + E1 2 - 4F1 > 0）與圓 x 2 + y2 + D2 x + E2 y + F2 = 0（D2 2 + E2 2 - 4F2 > 0） ， 且 E1 ≠ E2 的公共弦所在直線的方程為 （D1 - D2）x +（E1 - E2）y +（F1 - F2）= 0 .

結(jié)論2：若兩曲線的二次項系數(shù)成比例，則過其交 點的直線方程即為消去二次項后所得的二元一次方 程.

例2.若圓C1：x 2 + y2 - 4x + 6y = 0 與圓C2：x 2 + y2 - 6y = 0 的交點為A、B，求直線AB及其垂直平分線的方程.

利用上述結(jié)論1，消去兩圓方程中的二次項，即可 得出相交弦所在直線的方程，這樣大大簡化了運算.

例3.求兩圓 x 2 + y2 - 10x - 10y = 0 ，x 2 + y2 + 6x + 2y -40 = 0 的公共弦的長.

解答本題，需先根據(jù)結(jié)論1，將兩圓方程聯(lián)立，通 過變形將其二次項消去，求得兩圓公共弦所在直線的 方程；然后根據(jù)圓的性質(zhì)：弦心距、弦的一半、圓的半 徑為直角三角形的三邊，利用勾股定理進行求解.

例 4. 如圖，過原點作圓 C：（x - 3） 2 +（y + 4） 2 = 1 的 兩條切線，求過兩切點的直線方程.

通過構(gòu)造一個圓，將過兩切點的直線問題轉(zhuǎn)化為 求過兩圓的交點的直線方程，即兩圓公共弦所在直線 的方程問題來求解，那么解題過程就會變得十分簡潔.

“題?！庇柧毷且环N低層次的學習方式，而跳出 “題海”最有效的辦法，是探究一些典型、常見題目的 通性通法，總結(jié)解題的規(guī)律.這就要在面對每一道數(shù)學 問題時，不僅僅停留在解題的層面上，要對其進行更 深入的研究，在不斷的探究中積累解題經(jīng)驗，提高解 題的能力.（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學）