解答數(shù)列求和問題的三個常用路徑

王飛

縱觀歷年來全國各地的高考數(shù)學試題，不難發(fā)現(xiàn) 數(shù)列求和問題是重點考查的對象之一.數(shù)列求和問題 中的條件以及求和要求不同，因而往往需運用多種不 同的方法進行解答.本篇文章主要對三種求和路徑：錯 位相減、分組求和和裂項相消進行分析和探討，以期 幫助同學們更從容地應對數(shù)列求和題目.

一、錯位相減

若數(shù)列的各項由等比數(shù)列和等差數(shù)列各項的乘 積構成，則可采用錯位相減法求數(shù)列的前 n 項和.其解 題的步驟：①列出數(shù)列前 n 項和的表達式，并在該式 的左右同時乘以等比數(shù)列的公比；②將兩式錯位相 減，使其中的部分項構成等比數(shù)列；③根據(jù)等比數(shù)列 的前 n 項和公式進行運算、化簡，即可求得數(shù)列前 n 項的和.

仔細研究 {bn} 通項公式的結構特點，可發(fā)現(xiàn)，其 由等差數(shù)列 {n} 和等比數(shù)列 {2 } 2n - 1 各項的乘積構成. 于是采用錯位相減法，在數(shù)列和式的左右同時乘以公 比 q = 22 得到另外一個表達式；再將兩式錯位相減，根 據(jù)等比數(shù)列的前 n 項和公式進行求解即可.

二、分組求和

分組求和法是指把數(shù)列的前 n 項和式按照一定 規(guī)律分成幾個不同的組，再分別求和.在分組時，可按 照奇數(shù)項和偶數(shù)項，將數(shù)列的前 n 項分成不同的兩組； 也可抽取其中的部分項使其構成等差數(shù)列、等比數(shù)列、 常數(shù)列，還可以將其中的負數(shù)項分為一組，將正數(shù)項分 為一組；等等.分別根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項和公式 求得每一組數(shù)列的和，最后綜合所得的結果即可.

雖然該數(shù)列的通項公式并不明確，但根據(jù)數(shù)列的 各項具有一定的規(guī)律，于是將帶有負號的項分為一 組，其他正數(shù)項分為另外一組，通過求常用數(shù)列{n}和 {n } 2 的和求得數(shù)列的和.

三、裂項相消

裂項相消法是指將數(shù)列的通項公式分裂為兩項 的差的形式，通過重新組合，在求和時某些項能夠相 互抵消，從而達到求和目的.運用裂項相消法求和，需 根據(jù)所求數(shù)列通項公式的結構特點，將其進行適當?shù)?裂項.

數(shù)列{bn} 的通項公式可分裂成 ?的形 式，于是采用裂項相消法，將數(shù)列{bn} 的前 n 項相加， 那么中間的部分項，如 - 1 2 與1 2 、 - 1 3 與1 3 …- 1 n與1 n 就 會相互抵消，化簡剩余的項，即可得到數(shù)列的和.

總之，錯位相減法、分組求和法、裂項相消法的適 用情形和特點均不相同，同學們在解題時要仔細研究 數(shù)列和式以及通項公式的結構特征，選擇與之相應的 方法進行求和.

（作者單位：甘肅省清水縣第一中學）