求解三類幾何概型問題的措施

周立清

若每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度、面積、體積成比例，則稱該模型為幾何概率模型，其概率公式為幾何概型是高中數(shù)學(xué)概率中的重要知識(shí)點(diǎn).若每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度、面積、體積成比例，則稱該模型為幾何概率模型，此種概率模型具有無限性與等可能性的兩大特點(diǎn)，其概率公式為：

常見的幾何概型主要包括：與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的 幾何概型.解答幾何概型概率問題，往往要構(gòu)造出幾何 圖形，根據(jù)幾何圖形的特征、性質(zhì)，求出圖形中線段的 長(zhǎng)，圖形的面積、體積，來求得各事件的概率.本文主要 探討一下求解三種幾何概型概率問題的措施.

一、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型

若概率問題中涉及了線段長(zhǎng)、邊長(zhǎng)、距離、時(shí)間等，就可以將試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域看作一段線段的長(zhǎng)度，將問題轉(zhuǎn)化線段的長(zhǎng)度問題，分別求出事件所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度與實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度，再運(yùn)用幾何概型概率的公式求解.

例1.在區(qū)間[0， 10]上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)a ，求 a 不大于3的概率.

本題主要考查與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的應(yīng)用，可將該事件理解成為從長(zhǎng)度為10的線段上隨機(jī)取一點(diǎn)，取到每一點(diǎn)都是等可能的，此時(shí)隨機(jī)事件為“取[0， 10]中的任意一點(diǎn)”，就可以運(yùn)用幾何概型概率公式來解題.

二、與面積有關(guān)的幾何概型

與面積有關(guān)的幾何概型往往與圓、等腰梯形、扇形、直角三角形、長(zhǎng)方形等平面圖形的面積有關(guān).解答此類概率問題，要分辨事件所構(gòu)成的區(qū)域是否與面積有關(guān)，再根據(jù)平面幾何圖形，如三角形、矩形、圓等的面積公式和幾何概型概率公式，就能求得概率的大小.

例2.將長(zhǎng)度為 a 的線段段分成三段，求這三段可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.

我們根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量 x、y，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，通過構(gòu)建直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)構(gòu)成的集合用平面圖形表示出來，將問題轉(zhuǎn)化為圖形的面積問題來求解，即可順利解題.

三、與體積有關(guān)的幾何概型

對(duì)于與體積相關(guān)的幾何概型，需根據(jù)幾何概型概率公式，將概率問題轉(zhuǎn)化為體積問題，根據(jù)常見簡(jiǎn)單幾何體的體積公式求得各個(gè)幾何體體積的比值.這就要求我們熟記棱錐、棱柱、圓錐、圓錐、長(zhǎng)方體、正方體、球等空間幾何體的體積公式和幾何概型概率公式.

例3.A水杯的容量為2L ，水中含有1個(gè)細(xì)菌，B水杯的容量為0.1L .若將 A水杯的水倒入 B水杯中，求 B 杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.

解：記“B水杯中有這個(gè)細(xì)菌”為事件 M，事情 M 的概率只與水的體積有關(guān)，

由于 B 水杯中的水為0.1L，A 水杯里有2L 水，

由幾何概型概率公式得 P（M）= =0.05.

本題是與體積相關(guān)的幾何概型問題，雖然題目中沒有給出具體的圖形，但是聯(lián)系實(shí)際生活，可以得知水杯是空間幾何體，故可根據(jù)幾何概型概率公式解題.

求解幾何概型問題需注意以下幾點(diǎn)：（1）根據(jù)題意和集合觀點(diǎn)，將問題看成長(zhǎng)度、面積、體積問題；（2）判斷實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是否具有無限性與等可能性；（3）靈活運(yùn)用相關(guān)的公式，求得長(zhǎng)度、面積、體積.此類題目的難度不大，但同學(xué)們需要仔細(xì)審題，辨別題目的類型與概率模型，選用正確的概率公式進(jìn)行求解.

（作者單位：江蘇省射陽(yáng)中學(xué)）