有界擾動下約束非線性系統(tǒng)魯棒經(jīng)濟(jì)模型預(yù)測控制

何德峰 韓 平 王青松

近年來,經(jīng)濟(jì)模型預(yù)測控制(Economic model predictive control,EMPC)在工業(yè)界和學(xué)術(shù)界引起了廣泛關(guān)注[1-2].作為一種新近發(fā)展的先進(jìn)控制技術(shù),EMPC 有望成為解決復(fù)雜系統(tǒng)節(jié)能、降耗和增效優(yōu)化控制問題的重要手段,目前已應(yīng)用于能源、造紙、車輛等系統(tǒng)的能效優(yōu)化控制[3-9].除具有常規(guī)模型預(yù)測控制 (Model predictive control,MPC)的顯式處理約束和多變量控制的優(yōu)點外,EMPC 還能優(yōu)化 “經(jīng)濟(jì)”類目標(biāo)函數(shù),通常這類函數(shù)不是設(shè)定值跟蹤偏差的正定函數(shù),而是系統(tǒng)狀態(tài)和控制變量的非凸或非正定函數(shù)[1-9].因此,把以設(shè)定值跟蹤偏差的正定函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)的常規(guī)MPC 稱為目標(biāo)跟蹤MPC,而不以跟蹤偏差的正定函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)的MPC 統(tǒng)稱為經(jīng)濟(jì)MPC[2].現(xiàn)有研究表明:經(jīng)濟(jì)最優(yōu)性目標(biāo)與閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性目標(biāo)具有一定的沖突性[1-2],因此近年來EMPC 的穩(wěn)定性綜合策略得到了廣泛研究.

為建立EMPC 關(guān)于經(jīng)濟(jì)平衡點的穩(wěn)定性,一種主要方法是構(gòu)造基于經(jīng)濟(jì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的Lyapunov 函數(shù)[5,10-17].例如,使用終端等式約束和強(qiáng)對偶性假設(shè),定義經(jīng)濟(jì)目標(biāo)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)代價函數(shù)并將其作為閉環(huán)系統(tǒng)的一個Lyapunov 函數(shù)[10],而引入廣義終端等式約束[15],建立了經(jīng)濟(jì)性能變化下的遞推可行性與閉環(huán)系統(tǒng)的有界穩(wěn)定性[11].進(jìn)一步,采用嚴(yán)格耗散性條件、終端不等式約束和終端代價函數(shù)代替,降低了EMPC 穩(wěn)定性綜合策略的保守性[12-13].在無終端約束EMPC 策略中,閉環(huán)軌跡在足夠長的預(yù)測時域情況下收斂到平衡點的鄰域[16-17].雖然無終端約束增大了閉環(huán)系統(tǒng)的吸引域,但長時域預(yù)測將大大增加了在線優(yōu)化的計算負(fù)擔(dān).進(jìn)一步,EMPC穩(wěn)定性和經(jīng)濟(jì)性是一對存在沖突的控制目標(biāo)[18-19],且穩(wěn)定性和經(jīng)濟(jì)性目標(biāo)無法統(tǒng)一度量,難以通過權(quán)重標(biāo)定.對此,從多目標(biāo)優(yōu)化控制角度,考慮非線性系統(tǒng)強(qiáng)對偶性或耗散性條件難以滿足情況,文獻(xiàn)[20-21]通過構(gòu)造穩(wěn)定性收縮約束,建立閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點的漸近穩(wěn)定性.

實際系統(tǒng)總是存在不確定擾動,現(xiàn)有EMPC 策略通常難以保證受擾系統(tǒng)的可行性和穩(wěn)定性.對于目標(biāo)跟蹤MPC,目前已有較多魯棒穩(wěn)定性結(jié)果[22-32],主要包括本質(zhì)魯棒MPC[22]、Tube 魯棒MPC[24-25]以及min-max MPC[26-32]等,其中min-max MPC 采用微分對策原理,在使最壞擾動輸入情況下系統(tǒng)的性能指標(biāo)上界達(dá)到最小.相比于本質(zhì)魯棒MPC和Tube 魯棒MPC,min-max MPC 能大大降低魯棒MPC 的保守性,但會增加優(yōu)化問題的在線計算量[1].為降低min-max MPC 的在線計算量,文獻(xiàn)[30]采用仿射輸入結(jié)構(gòu),使MPC 含有抑制擾動的閉環(huán)成分和易于求解的開環(huán)優(yōu)化.另一方面,輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性(Input-to-state stability,ISS)成為分析不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的一個有效工具[23,27-32],并應(yīng)用到了EMPC 魯棒性研究,如文獻(xiàn)[33-34]采用強(qiáng)對偶性假設(shè)和約束緊縮方法,證明了周期性擾動下線性系統(tǒng)EMPC 閉環(huán)收斂性,文獻(xiàn)[35]獲得了非線性系統(tǒng)EMPC 的有界穩(wěn)定性結(jié)果,提高了經(jīng)濟(jì)性能優(yōu)化的靈活性,文獻(xiàn)[36]將穩(wěn)定性目標(biāo)和經(jīng)濟(jì)性目標(biāo)相加,證明EMPC 線性系統(tǒng)關(guān)于經(jīng)濟(jì)目標(biāo)的最大值是ISS 的,文獻(xiàn)[37]施加保證魯棒穩(wěn)定性的顯式收縮約束,提出兩種非線性系統(tǒng)魯棒EMPC算法,文獻(xiàn)[38]提出Lipschitz連續(xù)非線性系統(tǒng)的隱式收縮魯棒EMPC 策略,提高了系統(tǒng)的平均經(jīng)濟(jì)性能.

本文針對含有未知有界擾動的不確定非線性系統(tǒng),提出一種新的具有遞推可行性以及ISS 保證的魯棒EMPC 策略.該策略明確考慮經(jīng)濟(jì)最優(yōu)性和魯棒穩(wěn)定性控制目標(biāo)的矛盾特點,采用微分對策原理在線滾動優(yōu)化計算這對沖突目標(biāo)的min-max 問題.離線計算最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點,并利用狀態(tài)與該平衡點的偏差定義魯棒穩(wěn)定性目標(biāo)函數(shù),而經(jīng)濟(jì)目標(biāo)函數(shù)則由系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性能給定.通過特殊設(shè)計EMPC 優(yōu)化問題的隱式收縮約束,并在魯棒穩(wěn)定性目標(biāo)優(yōu)化問題中引入一個新約束,保證EMPC 優(yōu)化的遞推可行性和閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于不確定擾動輸入的ISS.相比現(xiàn)有魯棒EMPC 策略,本文首先建立了約束非線性系統(tǒng)具有ISS 的魯棒EMPC 策略;其次,EMPC 遞推可行性和魯棒穩(wěn)定性無需強(qiáng)對偶性或耗散性假設(shè)條件,從而擴(kuò)大了魯棒 EMPC 的應(yīng)用范圍;最后,采用微分對策原理得到了保守性更低的容許擾動上界.采用一個受擾非線性連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器(Continuous stirred tank reactor,CSTR)的仿真實例,驗證本文提出策略的有效性與優(yōu)越性.

符號說明:Z+表示非負(fù)整數(shù)集,Ia:b表示集合{i ∈Z+:a ≤i ≤b,a ∈Z+,b ∈Z+},I≥j表示集合{i ∈Z+:i ≥j,j ∈Z+}.x+表示x的下一時刻狀態(tài),|x|表示x的歐幾里得范數(shù),‖x‖=sup{|x(k)|,k ∈Z+},x(i|k) 表示在第k時刻對未來第k+i時刻的預(yù)測變量.連續(xù)函數(shù)h1:R+→R+稱為K類函數(shù)系指該函數(shù)單調(diào)遞增,且h1(0)=0 ;函數(shù)h2:R+→R+稱為K∞類 函數(shù)系指該函數(shù)是K類函數(shù),且當(dāng)s →∞時,有h(s)→∞;函數(shù)h3:R+×R+→R+稱為KL函 數(shù)系指對于任意固定的t≥0,h3(·,t) 是K類函數(shù),而對于任意固定的s＞0,h3(s,·) 是單調(diào)遞減,且當(dāng)t→∞時,h3(s,t)→0 .

1 問題描述

考慮不確定離散時間非線性系統(tǒng)

其中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm,w(k)∈Rq和z(k)∈Rs分別表示系統(tǒng)在k時刻的狀態(tài)、控制輸入、擾動輸入和輔助輸出.假設(shè)f1(·),f2(·),f3(·)和g(·) 分別為定義在 Rn上的光滑函數(shù),滿足f1(0)=0,f2(0)=0,f3(0)=0 以及g(0)=0 .系統(tǒng)(1) 在k時刻的狀態(tài)x(k)=φ(k;x0,u,w) 由初始狀態(tài)x0,控制序列u={u(0),u(1),···}和擾動序列w={w(0),w(1),···}表示.假設(shè)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)完全可測,且系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入滿足約束

其中,集合X?Rn和U?Rm均為凸的緊集,且它們內(nèi)部包含某些平衡點 (xe,ue) .

假設(shè) 1.擾動輸入w滿足如下約束

其中,W為包含平衡點 (xe,ue) 的緊集.滿足約束(3)的擾動稱為容許擾動.注意w表示參數(shù)不確定性、模型失配以及持續(xù)外部擾動等多種有界不確定性[29],其上界表示為‖w‖=sup{|wt|:wt∈W,t ∈Z+}.

考慮系統(tǒng)(1)的經(jīng)濟(jì)性能函數(shù)Le:X×U →R,基于系統(tǒng)(1)的名義模型x+=f1(x)+f2(x)u離線計算如下最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點

不失一般性,后文假設(shè)系統(tǒng)(1)的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點為原點.

下面介紹輸入到狀態(tài)穩(wěn)定(ISS)相關(guān)理論,首先回顧魯棒不變集的概念.考慮一般離散不確定非線性系統(tǒng)x+=f(x,w) .

定義 1[27].考慮系統(tǒng)x+=f(x,w)和集 Θ?Rn,如果對于任意x∈Θ和w∈W,該系統(tǒng)滿足x+=f(x,w)∈Θ,則稱 Θ 為該系統(tǒng)的一個魯棒不變集.

定義 2[27].考慮系統(tǒng)x+=f(x,w) 及其內(nèi)含原點的魯棒不變集 Θ?X,如果對于任意初始狀態(tài)x0∈Θ 及w∈W,存在K∞類函數(shù)α和KL類函數(shù)β使系統(tǒng)滿足

則該系統(tǒng)在 Θ 內(nèi)是ISS 的.

引理 1[29].考慮系統(tǒng)x+=f(x,w) 及其內(nèi)含原點的魯棒不變集 Θ?X,如果對于任意x∈Θ和w ∈W,存在連續(xù)函數(shù)V:Rn→R+滿足

其中,ξ1,ξ2和ξ3為K∞類函數(shù),ρ1和ρ2為K類函數(shù),則該系統(tǒng)在 Θ 內(nèi)ISS,稱V為該系統(tǒng)的ISSLyapunov 函數(shù).

注 1.由定義2 可知,當(dāng)系統(tǒng)不受擾動或僅受衰減擾動作用時,系統(tǒng)最終在原點處漸近穩(wěn)定;當(dāng)受持續(xù)有界擾動作用時,系統(tǒng)有界穩(wěn)定,且狀態(tài)軌跡最終收斂的范圍與持續(xù)擾動的上界有關(guān).

本文目標(biāo)是針對不確定非線性系統(tǒng)(1),通過極小化經(jīng)濟(jì)性能函數(shù)在線計算魯棒EMPC 控制器,要求相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)滿足約束條件(2),且閉環(huán)系統(tǒng)的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點相對于容許擾動(3)具有ISS.

2 魯棒經(jīng)濟(jì)模型預(yù)測控制

考慮有限預(yù)測步長N∈I≥1,定義k∈Z+時刻的N步控制序列u(k)={u(0|k),u(1|k),···,u(N-1|k)}、擾動序列w(k)={w(0|k),w(1|k),···,w(N-1|k)}以及對應(yīng)的預(yù)測狀態(tài)序列x(k)={x(1|k),x(2|k),···,x(N|k)},并且x(i|k)=φ(i;x(k),u(k),w(k)),其中x(k) 為當(dāng)前時刻系統(tǒng)狀態(tài).考慮系統(tǒng)(1)的經(jīng)濟(jì)性能函數(shù)Le,定義N步經(jīng)濟(jì)目標(biāo)函數(shù)

其中,x(0|k)=x(k)

為計算魯棒EMPC 控制器,在每個時刻優(yōu)化經(jīng)濟(jì)目標(biāo)函數(shù)(7).由于擾動的存在,在魯棒EMPC 中求解如下min-max 經(jīng)濟(jì)最優(yōu)控制問題:

其中,(u*(k),w*(k)) 為k時刻的經(jīng)濟(jì)最優(yōu)解,對應(yīng)最優(yōu)預(yù)測狀態(tài)序列x*(k) ;x(0|k)=x(k) 為初始條件;x(N|k)∈Ω 為終端狀態(tài)約束,終端約束集 Ω?X且內(nèi)含原點;(8e)為待設(shè)計的魯棒穩(wěn)定性收縮約束,λ∈[0,1) 為收縮因子.進(jìn)一步定義如下關(guān)于最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點的魯棒穩(wěn)定性目標(biāo)函數(shù):

其中,函數(shù)L:X×U →R+,Lw:W →R+和E:X →R+為連續(xù)有界函數(shù).為書寫簡潔,令VR(x)=VR(x,u,w) .

假設(shè) 2.存在K∞類函數(shù)αl,αw和βw,使魯棒穩(wěn)定性目標(biāo)函數(shù)VR(x) 滿足:L(x,u)≥αl(|x|),?x ∈X,?u∈U;αw(|w|)≤Lw(w)≤βw(|w|),?w ∈W.

假設(shè) 3.在終端約束集 Ω 內(nèi)存在局部反饋控制律u=π(x) 使 得π(x)∈U,?x ∈X和如下不等式成立:

其中,αf(|x|)≤E(x)≤βf(|x|),αf和βf為K∞類函數(shù).

注意,局部控制律u=π(x) 可采用如H∞控制方法求解[26,30].為此,定義對稱矩陣

其中,P為對稱正定矩陣,I為單位矩陣.令R=R(0) .不失一般性,令擾動抑制水平γ=1 .

引理 2[30].假設(shè)矩陣P滿足Riccati 不等式方程

注 2.如果假設(shè)3 成立,則對于任意w∈W,Ω為閉環(huán)系統(tǒng)(13)的一個魯棒不變集,同時E(x) 為該系統(tǒng)在 Ω 內(nèi)的一個ISS-Lyapunov 函數(shù).文獻(xiàn)[30]給出了保證 Ω 魯棒不變性的一個充分條件,即容許擾動w的上界

其中,lx和lw分別為閉環(huán)系統(tǒng)(13)關(guān)于x和w的局部Lipschitz 常數(shù),λmax和λmin分別為矩陣P的最大和最小特征值.如擾動w滿足式(15),則 Ω 為閉環(huán)系統(tǒng)(13)的魯棒不變集,且π(x)∈U,?x ∈Ω .

下面構(gòu)造收縮約束函數(shù)η.令x(k)為當(dāng)前時刻系統(tǒng)狀態(tài),求解如下有限時域魯棒性最優(yōu)控制問題

其中,(u*(i|k-1),w*(i|k-1)) 是 優(yōu)化問題(8)在k-1 時刻最優(yōu)解 (u*(k-1),w*(k-1)) 的 分量.將 (u*(k-1),w*(k-1))和(u0(k),w0(k)) 分別代入VR(x),據(jù)此定義函數(shù)

如果優(yōu)化問題(8)在k時刻可行,則根據(jù)滾動時域控制原理,將u*(k) 的第1 個分量定義為魯棒EMPC 控制律,即u(k)=umpc(x(k))=u*(0|k),對應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)為

計算魯棒EMPC 控制器的算法總結(jié)如下:

算法 1.魯棒EMPC 算法

步驟 1.初始化.設(shè)定N∈I≥1,λ ∈[0,1),λ1≥1,Le(x,u),L(x,u),Lw(w)和E(x) ;離線計算π(x)以及 Ω ;令k=0,考慮初始狀態(tài)x0,令η充分大;求解優(yōu)化問題(8),得到經(jīng)濟(jì)最優(yōu)解 (u*(0),w*(0)),并將u*(0) 的首個分量u*(0|0) 作用于系統(tǒng)(1).

步驟 2.在k時刻,利用k-1 時刻經(jīng)濟(jì)最優(yōu)解(u*(k-1),w*(k-1)) 構(gòu) 造(u1(k),w1(k)),更 新(16e);求解優(yōu)化問題(16),得到當(dāng)前時刻魯棒最優(yōu)解 (u0(k),w0(k)) .

步驟 3.計算和,更新η;求解優(yōu)化問題(8),得到當(dāng)前時刻經(jīng)濟(jì)最優(yōu)解(u*(k),w*(tk)) .

步驟 4.將u*(k) 的首個分量u*(0|k) 作用于系統(tǒng)(1).

步驟 5.令k=k+1,測量系統(tǒng)(1)的狀態(tài);返回步驟2.

為更清晰地描述算法1 的運(yùn)行過程,圖1 給出了每個時刻兩個優(yōu)化問題的求解順序.

由算法1和圖1 可知,在初始時刻k=0,由于約束(8e)不起作用,故在初始時刻無需求解優(yōu)化問題(16),并可令η(x0,λ)→∞.

圖1 魯棒EMPC 算法運(yùn)行過程示意圖Fig.1 A schematic diagram of the robust EMPC algorithm

3 輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性

閉環(huán)系統(tǒng)(19)具有ISS 性質(zhì)的前提是需要保證算法1 具有遞推可行性,即兩個優(yōu)化問題在每個時刻都至少存在一組可行解(不一定最優(yōu)),使得對于任意容許擾動,經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問題(8)和魯棒性優(yōu)化問題(16)的所有約束均滿足.注意,(8b)～(8d)與(16b)～(16d)具有相同約束.

考慮約束不確定系統(tǒng)(1)～(3)和狀態(tài)τ=x(0|k)∈X.對于優(yōu)化問題(8),定義N步可行控制序列集為

其中,N步擾動約束集WN=W ×W ×···×W.

定義 3.考慮系統(tǒng)(1)和狀態(tài)τ=x(0|k)∈X,如果可行控制序列集UN(τ) 非空,則稱τ為該系統(tǒng)的初始可行狀態(tài).所有初始可行狀態(tài)τ的集合稱為系統(tǒng)的初始可行狀態(tài)集XN.

定理 1.如果假設(shè)1～3 成立,且容許擾動滿足式(15),則優(yōu)化問題(16)具有遞推可行性.

證明.考慮序列對 (u1(k),w1(k)) 并代入系統(tǒng)(1)得到狀態(tài)序列x1(k)={x*(1|k-1),···,x*(N|k-1),x1(N|k)},其中x*(N|k-1)∈Ω 是對應(yīng)于u*(k-1)的終端預(yù)測狀態(tài).由假設(shè)3和注2 可知,Ω 是閉環(huán)系統(tǒng)(13)的魯棒不變集,故對于任意w1(N -1|k)∈W,u1(N -1|k)=π(x*(N|k-1))∈U和x1(N|k)=φ(N;x*(N|k-1),u1(N -1|k),w1(N -1|k))∈Ω 成立.利用序列對 (u1(k),w1(k)) 構(gòu)造優(yōu)化問題(16)在k時刻的備選解

其對應(yīng)狀態(tài)序列x2(k)={x1(1|k),···,x1(N|k),x2(N|k)},其中x1(N|k)∈Ω.又 Ω 是魯棒不變的,則對于任意w2(N -1|k)∈W,u2(N -1|k)=π(x1(N|k))∈U和x2(N|k)=φ(N;x1(N|k),u2(N-1|k),w2(N -1|k))∈Ω 成立,因此約束(16b)～(16d)滿足.

再分別 將 (u1(k),w1(k))和(u2(k),w2(k)) 代入函數(shù)VR(x) 中,計算得

故約束(16e)滿足,從而 (u2(k),w2(k)) 為問題(16)在k時刻的可行解,即優(yōu)化問題(16)具有遞推可行性.□

定理 2.如果假設(shè)1～3 成立,且容許擾動滿足式(15),則優(yōu)化問題(8)具有遞推可行性.

故約束(8e) 成立.由定理1 可知,(u0(k),w0(k))作為優(yōu)化問題(16)在k時刻的最優(yōu)解滿足約束(8b)～(8d).因此,在k時刻總存在可行控制序列u0(k) 滿足優(yōu)化問題(8)的所有約束,從而優(yōu)化問題(8)具有遞推可行性.□

根據(jù)定理1和定理2,本文魯棒EMPC 策略中的雙目標(biāo)優(yōu)化問題皆具有遞推可行性.下面將基于定理1和定理2 給出閉環(huán)系統(tǒng)(19)的ISS 結(jié)果.

定理 3.如果假設(shè)1～3 成立,且容許擾動滿足式(15),則當(dāng)優(yōu)化問題(8)在初始時刻存在可行解時,閉環(huán)系統(tǒng)(19)在魯棒不變集XN內(nèi)相對于擾動具有ISS.

證明.由定理1和定理2 可知,當(dāng)優(yōu)化問題(8)在初始時刻存在可行解時,該優(yōu)化問題在任意k時刻都是可行的,則對任意x(k)∈XN和w(k)∈W,閉環(huán)系統(tǒng)(19)滿足x(k+1)∈XN.由定義3 可知,XN為閉環(huán)系統(tǒng)(19)的一個魯棒不變集.

成立.則聯(lián)立不等式(26),(32)和(36),由引理1 可知,值函數(shù)VN(x(k))為閉環(huán)系統(tǒng)(19)的一個ISSLyapunov 函數(shù).因此,閉環(huán)系統(tǒng)(19)在XN內(nèi)相對于擾動具有輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性.□

4 實例仿真

考慮不確定非線性連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器(CSTR)

其中,cA和cB分別為組分A和B的濃度,Q為反應(yīng)器進(jìn)料流量,cAf和cBf分別為進(jìn)料中組分A和B的濃度,Δc為進(jìn)料中組分A 濃度的不確定波動,體積V和反應(yīng)動力學(xué)參數(shù)k0.當(dāng)忽略進(jìn)料中組分濃度的波動,該模型廣泛用于名義穩(wěn)定EMPC 綜合策略的驗證[10,13,21].這里假設(shè)進(jìn)料中組分A的濃度波動是有界的,用于驗證本文魯棒EMPC 的有效性.取模型參數(shù)[10]:cAf=1.0 mol/l,cBf=0,V=10 l和k0=1.2 l/(mol·min).

令 [cA,cB]T為系統(tǒng)狀態(tài)[x1,x2]T,Q為控制輸入u,w為擾動 Δc.進(jìn)一步,定義狀態(tài)約束和控制約束

選擇采樣周期Ts=0.1 min,利用歐拉差分法離散化連續(xù)時間模型(37),得CSTR 非線性離散時間模型

其中,k為采樣時刻.定義CSTR 經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)[10]

進(jìn)一步,為保證終端狀態(tài)集 Ω 的魯棒不變性,由式(15)計算容許擾動上界為0.143 6.

令預(yù)測步長N=5,仿真總步長Tsim=100,系數(shù)λ1=1,并考慮不同收縮因子λ∈[0,1) 的控制效果.選擇系統(tǒng)初始狀態(tài)x0=(0.15,0.7)T,仿真結(jié)果如圖2和圖3 所示,圖2 對應(yīng)持續(xù)擾動w(k)=0.1436 sin(k/2)的仿真結(jié)果,圖3 對應(yīng)衰減擾動w(k)=0.1436 exp(-k/10) 的仿真結(jié)果.分析圖2 可知,在持續(xù)擾動下,閉環(huán)系統(tǒng)最終在最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點附近有界穩(wěn)定;分析圖3 可知,在衰減擾動下,閉環(huán)狀態(tài)軌跡漸近收斂于.根據(jù)圖2和圖3 可知,對于不同收縮因子λ∈[0,1),由算法1 得到的魯棒EMPC 控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)在相對于容許擾動總是ISS 的,但不同λ對應(yīng)的閉環(huán)狀態(tài)軌跡的動態(tài)響應(yīng)不同.以衰減擾動w(k)=0.1436 exp(-k/10)為例,由圖3 可知,因子λ越小,閉環(huán)狀態(tài)軌跡的收斂過渡時間Ttr越短,具體數(shù)據(jù)如表1 最右列所示.

圖2 持續(xù)擾動 w (k)=0.1436 sin(k/2) 的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results under continuous disturbance w(k)=0.1436 sin(k/2)

圖3 持續(xù)擾動 w (k)=0.1436 exp(-k/10) 的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results under continuous disturbance w(k)=0.1436 exp(-k/10)

定義閉環(huán)系統(tǒng)T步平均經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)

取T=100,表1 給出了不同λ值對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)平均經(jīng)濟(jì)性能.分析表1 可以看出,因子λ越大,閉環(huán)系統(tǒng)平均經(jīng)濟(jì)性能越好.這表明,無論是名義系統(tǒng)還是不確定系統(tǒng),閉環(huán)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)最優(yōu)性和穩(wěn)定性是互相沖突的雙控制目標(biāo)[10,21].在本文魯棒EMPC 策略中,可以通過調(diào)節(jié)收縮因子λ對經(jīng)濟(jì)性控制目標(biāo)和魯棒穩(wěn)定性控制目標(biāo)進(jìn)行權(quán)衡,從而實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)性和魯棒穩(wěn)定性綜合控制效果.

表1 平均經(jīng)濟(jì)性能和收斂過渡時間Table 1 Average economic performance and transient time

進(jìn)一步,為了驗證本文魯棒EMPC 策略(簡記為MM-EMPC)的優(yōu)越性,對比文獻(xiàn)[38]中魯棒收縮EMPC 策略(簡記為RC-EMPC),研究不同容許擾動上界對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.對約束CSTR 系統(tǒng)(37)和(38),在系統(tǒng)參數(shù)相同情況下,RC-EMPC 策略容許擾動上界d1=0.0136,MM-EMPC 容許擾動上界d2=0.1436.選擇持續(xù)擾動w(k)=0.04sin(k/5),令初始狀態(tài)x0=(0.5,0.5)T,仿真步長Tsim=500.在相同仿真環(huán)境下,兩種魯棒EMPC 策略的控制結(jié)果如圖4 所示,其中,實線表示MM-EMPC 策略仿真結(jié)果,虛線表示RC-EMPC 策略仿真結(jié)果.

圖4 閉環(huán)狀態(tài)軌跡和控制輸入曲線Fig.4 Closed-loop state trajectorand control input profiles

從圖4 可以看出,MM-EMPC 策略對應(yīng)的閉環(huán)狀態(tài)軌跡和控制輸入曲線均收斂于附近,而RC-EMPC 策略對應(yīng)的閉環(huán)軌跡雖然收斂,但存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差,且MM-EMPC 閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)更加快速.進(jìn)一步,考慮衰減擾動w(k)=0.04 exp(-k/5),選擇4 個不同的初始狀態(tài)對兩種控制策略進(jìn)行仿真對比分析,控制結(jié)果如圖5 所示.綜合圖4和圖5 分析可知,當(dāng)容許擾動上界d ∈(d1,d2) 時,MM-EMPC 策略下的閉環(huán)系統(tǒng)相對于擾動是ISS 的,而RC-EMPC 卻無法保證閉環(huán)系統(tǒng)相對于擾動具有ISS,其中一個重要原因是RCEMPC 對大擾動會丟失遞推可行性.因此,相較于RC-EMPC 策略,本文策略在保證閉環(huán)系統(tǒng)ISS 同時,能夠獲得更大的容許擾動上界,從而降低魯棒EMPC 控制器的保守性.

圖5 不同初始狀態(tài)的閉環(huán)系統(tǒng)相軌跡Fig.5 Phase trajectories of the closed-loop system from different initial states

5 結(jié)束語

本文針對有界擾動下的約束不確定仿射輸入非線性系統(tǒng),提出了一種新的魯棒EMPC 策略.基于微分對策原理分別對經(jīng)濟(jì)目標(biāo)函數(shù)和關(guān)于最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點的魯棒穩(wěn)定性目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,利用得到的魯棒穩(wěn)定性目標(biāo)最優(yōu)值函數(shù)構(gòu)造隱式收縮約束,保證了雙控制目標(biāo)優(yōu)化問題的遞推可行性,并建立了閉環(huán)系統(tǒng)在最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點處相對于擾動的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性結(jié)果.通過對不確定CSTR 經(jīng)濟(jì)優(yōu)化控制的對比仿真實驗,驗證了本文策略的有效性和優(yōu)越性.

盡管基于微分對策的min-max 魯棒EMPC 在理論上能有效提高魯棒EMPC 的性能,但minmax 優(yōu)化在線計算復(fù)雜,將阻礙魯棒EMPC 在快速響應(yīng)系統(tǒng)中的應(yīng)用.因此,降低min-max 魯棒EMPC 的在線優(yōu)化計算量和設(shè)計更高效的魯棒EMPC 策略(如Tube 魯棒EMPC、本質(zhì)魯棒EMPC 等)將是后續(xù)研究重點.