由歐拉角確定一次回轉(zhuǎn)軸的簡單解法

張 媛 王士敏 王 琪

(北京航空航天大學(xué)，北京 100083)

歐拉角以及一次回轉(zhuǎn)軸，不僅在教學(xué)上是理解定點運動的基礎(chǔ)，而且在應(yīng)用方面，如進行航天器、機器人、機械手等剛性部件的姿態(tài)描述、大角度姿態(tài)機動的軌跡規(guī)劃[1]等，也起著重要作用。

首先，歐拉角便于剛體姿態(tài)的描述，歐拉角是三個獨立的廣義坐標，當章動角不為零時，剛體姿態(tài)與歐拉角一一對應(yīng)，兩組歐拉角之差反映了剛體的有限位移。當章動角為零時，其運動退化為定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸的位置以及剛體轉(zhuǎn)過的角度仍然是確定的，轉(zhuǎn)動角度可以視為進動角與自轉(zhuǎn)角之和，一旦根據(jù)其他條件給出自轉(zhuǎn)角的值，剛體姿態(tài)又可以與歐拉角一一對應(yīng)。而定點運動剛體有限位移的一次回轉(zhuǎn)軸，對于有限位移，給出姿態(tài)機動的最小路徑，對于微小位移，則給出了瞬軸或角速度的方位。

結(jié)合定點運動的教學(xué)內(nèi)容，以及一次回轉(zhuǎn)軸的應(yīng)用背景，這里介紹了利用歐拉角以及隨體坐標系到固定坐標系之間的變換矩陣，構(gòu)造出任意姿態(tài)之間有限位移一次回轉(zhuǎn)軸位置以及計算轉(zhuǎn)角的方法。該方法基于定軸轉(zhuǎn)動時剛體上點的位移特性得出，與求解矩陣特征向量的方法相比較，幾何意義更為直觀，計算簡單。在應(yīng)用上，既可以像四元數(shù)法一樣用于剛體姿態(tài)接續(xù)機動的規(guī)劃，又可以作為輔助參數(shù)，消除章動角為零時歐拉角的奇異性，使得表述定點運動剛體的運動學(xué)、動力學(xué)方程所用的廣義坐標一致，幾何意義明確。

1 方法

1.1 方法的幾何解釋

問題：如圖1 所示，設(shè)剛體的姿態(tài)A和姿態(tài)B分別對應(yīng)于歐拉角(ψA,θA,φA) 和(ψB,θB,φB)，求解剛體從姿態(tài)A到姿態(tài)B的有限位移的一次回轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)角。

圖1 剛體的姿態(tài)A 和姿態(tài)B 位置

剛體由姿態(tài)A機動至姿態(tài)B時，歐拉角由(ψA,θA,φA)變化至(ψB,θB,φB)，相應(yīng)地，隨體坐標軸單位向量由i′A，j′A，k′A變化至i′B，j′B，k′B，如圖2 所示。設(shè)單位向量端點的位移分別為Δi′，Δj′，Δk′，再假設(shè)一次回轉(zhuǎn)軸的單位方向向量為l。

圖2 隨體坐標系單位矢量末端的有限位移

基于歐拉-達朗貝爾定理，定點運動剛體的有限位移可通過繞一固定軸作一次轉(zhuǎn)動實現(xiàn)，那么在該定軸轉(zhuǎn)動中，利用剛體上任一點的位移矢量與該轉(zhuǎn)軸垂直，便可求出一次回轉(zhuǎn)軸的方向向量。因此在上述三個位移中任選兩個，比如Δi′和Δj′，即可構(gòu)造出一次回轉(zhuǎn)軸的位置，如果上述兩個位移中有一個為零，那么，該單位向量便是一次回轉(zhuǎn)軸的位置，如果兩個均不為零，由于它們均與l正交，則一次回轉(zhuǎn)軸的方向向量，可通過計算兩個位移的叉積得到

其中a為待定系數(shù)。

在一次回轉(zhuǎn)軸的位置確定后，利用剛體繞l定軸轉(zhuǎn)動時，向量i′的位置變化，以及其末端到l的距離不變，便可以求出相應(yīng)的一次回轉(zhuǎn)角。如圖3 所示，在姿態(tài)A時，過i′A的端點A作l的垂線交l于點C，剛體由姿態(tài)A機動至姿態(tài)B時，向量i′繞l作定軸轉(zhuǎn)動至i′B，AC轉(zhuǎn)過角度β后到達BC位置。

圖3 隨體坐標軸x′ 方向的單位向量繞一次回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動

由此得到一次回轉(zhuǎn)角β。

1.2 由歐拉角表示的一次回轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)角

剛體上一點M在隨體坐標系下坐標為(x′,y′,z′)，在固定坐標系下坐標為(x,y,z)，存在以下關(guān)系式[3]

(ψ,θ,φ)為剛體當前姿態(tài)對應(yīng)的歐拉角，其中坐標變換矩陣為

進一步有

將式(5) 代入式(1)，可得一次回轉(zhuǎn)軸的單位向量為

其中m=Δi′×Δj′，a=1/|m|。

為了便于驗證，假設(shè)姿態(tài)A為初始姿態(tài)，即ψA=θA=φA= 0，將這三個歐拉角代入式(6)后可得

將式(6) 再代入式(2)，可得兩個位置之間的一次回轉(zhuǎn)角β，由于用歐拉角表示的轉(zhuǎn)角計算公式過于冗長，這里不列出其具體表達式。

2 算例分析

為了便于進行較為直觀的驗證，這里給出一個簡單的算例，設(shè)剛體由隨體坐標與固定坐標相重合的姿態(tài)A出發(fā)，如圖4(a) 所示，作一系列姿態(tài)機動，先繞Oz(OC) 進動π/2 到圖4(b) 所示位置，再繞Oy(OA) 章動π/2 到圖4(c) 所示位置，最后繞Ox(OC) 自轉(zhuǎn)π/2 到圖4(d) 所示的位置。剛體從姿態(tài)A到姿態(tài)D對應(yīng)的歐拉角依次為(0,0,0)，(π/2,0,0)，(π/2,π/2,0)，(π/2,π/2,π/2)，其中，括弧中三個歐拉角依次為進動角、章動角和自轉(zhuǎn)角。

圖4 剛體從初始姿態(tài)到姿態(tài)D 的機動過程

例1 計算姿態(tài)A到姿態(tài)D的一次回轉(zhuǎn)軸，如圖5 所示。

圖5 姿態(tài)A 到姿態(tài)D 一次回轉(zhuǎn)軸

首先根據(jù)式(7)，計算長方體從姿態(tài)A到姿態(tài)D的一次回轉(zhuǎn)軸的單位方向向量可得將l代入式(2)，可得回轉(zhuǎn)角β= π；參照圖5 可看出，一次回轉(zhuǎn)軸的方向向量為m=i+k=(1,0,1)T，回轉(zhuǎn)角為β=π。

下面利用求解變換矩陣特征向量的方式進行驗算。變換矩陣A(ψ,θ,φ) 為正交陣，由線性代數(shù)理論可知該矩陣存在特征值為1 的特征向量，滿足

利用特征向量方法，僅可以求出有限位移的一次回轉(zhuǎn)軸，若求解相應(yīng)的轉(zhuǎn)角，還需進一步的計算，這里可由式(2) 給出。下面驗證任意姿態(tài)之間有限位移的一次回轉(zhuǎn)軸及轉(zhuǎn)角公式。

例2 計算姿態(tài)B到姿態(tài)D的一次回轉(zhuǎn)軸，如圖6 所示。

圖6 姿態(tài)B 到姿態(tài)D 的一次回轉(zhuǎn)軸

首先將姿態(tài)B和姿態(tài)D的歐拉角代入式(6)，可得一次回轉(zhuǎn)軸的單位方向向量

將l代入式(2) 可得回轉(zhuǎn)角β=2π/3；如圖6 所示，一次回轉(zhuǎn)軸的方向向量m=i+j+k=(1,1,1)T。

再利用求解變換矩陣特征向量的方法進行驗算，設(shè)剛體上一點M的隨體坐標為(x′,y′,z′)，令其在姿態(tài)B和姿態(tài)D下的絕對坐標分別為(xB,yB,zB)和(xD,yD,zD)，通過式(3) 可得(xB,yB,zB)T為從姿態(tài)B機動至姿態(tài)D的一次回轉(zhuǎn)軸的方向向量。將姿態(tài)B和姿態(tài)D對應(yīng)的歐拉角代入式(9)，經(jīng)計算可得

示例表明，這里給出的任意姿態(tài)之間有限位移的一次回轉(zhuǎn)軸與通過變換矩陣求特征向量方法一致，比較兩種方法的求解過程，發(fā)現(xiàn)計算矩陣特征向量的方法涉及到對矩陣進行求逆及求解特征向量等運算，而利用本文給出的方法所推導(dǎo)的公式只有簡單的代數(shù)運算，計算量顯著減小。

3 結(jié)論

本文利用歐拉-達朗貝爾定理所證明的有限位移一次回轉(zhuǎn)軸的存在性，通過歐拉角以及隨體坐標到固定坐標的變換矩陣，構(gòu)造出了任意兩個姿態(tài)之間有限位移的一次回轉(zhuǎn)軸，避免了先求解任意姿態(tài)之間的變換矩陣再求解其特征向量的復(fù)雜運算過程。該構(gòu)造方法幾何意義明確，涉及到的基本概念簡單，便于理解。在應(yīng)用方面，可以由具有獨立性的歐拉角和歐拉角速度描述剛體的運動學(xué)以及動力學(xué)方程，由歐拉角給定的一次回轉(zhuǎn)軸、轉(zhuǎn)角作為輔助參變量，消除章動角為零時的奇異性問題，相比于其他參數(shù)表述運動學(xué)方程更為直觀。