肖家全

（武漢市洪山高級(jí)中學(xué)，湖北 武漢 430000）

2020年浙江省1月高考物理試卷第22題如下.

例題.通過測(cè)量質(zhì)子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡和打到探測(cè)板上的計(jì)數(shù)率（即打到探測(cè)板上質(zhì)子數(shù)與衰變產(chǎn)生總質(zhì)子數(shù)N的比值），可研究中子的β衰變.中子衰變后轉(zhuǎn)化成質(zhì)子和電子，同時(shí)放出質(zhì)量可視為0的反中微子.如圖1所示，位于P點(diǎn)的靜止中子經(jīng)衰變可形成一個(gè)質(zhì)子源，該質(zhì)子源在紙面內(nèi)各向均勻地發(fā)射N個(gè)質(zhì)子.在P點(diǎn)下方放置有長(zhǎng)度L＝1.2m以O(shè)為中點(diǎn)的探測(cè)板P點(diǎn)離探測(cè)板的垂直距離OP為a.在探測(cè)板的上方存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng).

圖1

已知 電 子 質(zhì) 量me＝9.1×10－31kg＝0.51MeV/c2，中子質(zhì)量mn＝939.57MeV/c2，質(zhì)子質(zhì)量mp＝938.27MeV/c2（c為光速，不考慮粒子之間的相互作用）.若質(zhì)子的動(dòng)量p＝4.8×10－21kg·m·s－1＝3×10－8MeV·s·m－1，電荷量e＝1.6×10－19C.

（1）寫出中子衰變的核反應(yīng)式，求電子和反中微子的總動(dòng)能（以MeV為能量單位）；

（2）當(dāng)a＝0.15m，B＝0.1T時(shí)，求計(jì)數(shù)率；

（3）若a取不同的值，可通過調(diào)節(jié)B的大小獲得與（2）問中同樣的計(jì)數(shù)率，求B與a的關(guān)系并給出B的取值范圍.

命題組給出的參考答案如下.

（1）略.

（3）在確保計(jì)數(shù)率為2/3的情況下，R′＝2a，即如圖2（乙）所示，恰好能打在探測(cè)板左端的條件為解得因此滿足條件的

圖2

筆者研究后發(fā)現(xiàn)，第（3）問答案存在以下兩個(gè)問題.

（1）答案沒有指明a的取值范圍.設(shè)想a非常大，肯定達(dá)不到的計(jì)數(shù)率.

（2）經(jīng)計(jì)算，若L保持一定，依據(jù)a的取值不同，B與a的關(guān)系可能有3種.

事實(shí)上，若粒子圓半徑在此基礎(chǔ)上有所增大，v1和v2的方向都會(huì)變化，原從v2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至v1對(duì)應(yīng)的240°角會(huì)有所增大，所以即便是有部分粒子從A點(diǎn)左側(cè)漏出，計(jì)數(shù)率仍有可能達(dá)到原值，如圖3（乙）所示.

圖3

下面通過定量計(jì)算來(lái)判斷這種情況是否有解.

設(shè)4個(gè)圓對(duì)應(yīng)的臨界速度分別為v1、v2、v3、v4.沿逆時(shí)針方向觀察，v1與v2之間、v3與v4之間的粒子打不到板上.設(shè)圓O1中圓心角為γ，菱形PO3AO4中∠APO4＝θ，滿足360°－2γ－2θ＝240°有同樣的計(jì)數(shù)率，即

由幾何關(guān)系可知

顯然應(yīng)該有0＜θ＜60°，且0＜γ＜60°，即

（1）式兩邊取余弦，得

由（2）、（3）式得

代入（6）式

解此方程得

另一根為

經(jīng)檢驗(yàn)，解方程的過程中兩邊平方導(dǎo)致了此增根，舍去.

下面繼續(xù)探究（8）成立的條件.

將（8）式代入（2）式，并注意到（4）式，得

解此不等式得

將（8）式代入（3）式，并注意到（5）式，得

解此不等式得

綜上所述，

是獲得與（2）問中同樣的計(jì)數(shù)率另一解，其前提條件由式（10）、（12）的交集給出，即若板長(zhǎng)L可變，a與L仍應(yīng)滿足此關(guān)系，代入（8）式則可求出相應(yīng)a與L下符合要求的粒子圓半徑.本題中L＝1.2m一定，代入得B應(yīng)滿足的條件

以上代數(shù)運(yùn)算過程經(jīng)Mathematica7.0驗(yàn)算無(wú)誤，所對(duì)應(yīng)幾何情景由GeoGebra5.0作圖，各角度度量結(jié)果如圖4所示，此時(shí)γ＋θ＝33.73°＋25.87°≈60°，證明此解是存在的.

圖4

本題很好地考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，需要同時(shí)考慮到軌跡圓的旋轉(zhuǎn)和縮放，是一道頗具難度和區(qū)分度的好題.但在分秒必爭(zhēng)的考場(chǎng)上，即便考生想到了獲得同樣的計(jì)數(shù)率有兩種可能，恐怕也無(wú)法完整寫出后一個(gè)答案.作為高考?jí)狠S題最后一問，重要的功能是區(qū)別優(yōu)生，但恰恰是思維最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)生才會(huì)想到可能有多解，頂尖學(xué)生在此困擾，耗費(fèi)時(shí)間而難有作為，不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜朔炊p松跳過，這應(yīng)該不是我們?cè)O(shè)計(jì)此問的初衷，不能不說略有遺憾.