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      線面關(guān)系的證明方法探究之“一找二作三證明”

      2022-03-12 09:16:00周關(guān)保
      數(shù)理化解題研究 2022年4期
      關(guān)鍵詞:線線線面平行

      周關(guān)保

      (廣東省陽江市第一職業(yè)技術(shù)學校 529948)

      立體幾何中,空間的線面關(guān)系有三種:平行、相交和線在平面內(nèi),其中,線面垂直是線面相交的一種特殊情況.縱觀歷年試題,發(fā)現(xiàn)立體幾何中考得最多的是證明“線面平行”及“線面垂直”的問題或需要轉(zhuǎn)化為這兩種關(guān)系再證明的題型.由此,線面平行及線面垂直的關(guān)系是立體幾何中證明題型的核心內(nèi)容.

      1 證明方法 “一找二作三證明”的剖析

      “一找二作三證明”是筆者在教學實踐中總結(jié)的一種證明線面平行或線面垂直方法,此證明方法分為三步,具體的操作流程如下:

      第一步,就是“一找”:(1)根據(jù)直線與平面平行的判定定理,要證明線面平行,只需要在這個平面內(nèi)“找”出一條直線與已知直線平行即可.(2)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,要證明線面垂直,就要在此平面內(nèi)“找”出兩條相交的直線分別與此直線垂直.其次是“一找”的原則:一是要“找”的都是線線平行或線線垂直,二是要在一個平面圖形中“找”.

      第二步,就是“二作”:在分析題意之后,若不能直接“找”到所需要證明的線線平行或線線垂直的關(guān)系,則進入 “二作”的程序.從三個方面去理解“二作”,第一方面,“作”就是作輔助線或輔助平面,有簡單的“作”或復雜的“作”;第二方面,每一次“作”的時候都要圍繞證明所需去“作”,要證平行關(guān)系就去“作”線線平行,要證垂直關(guān)系就去“作”線線垂直;第三方面,要把線線平行或線線垂直的關(guān)系“作”在一個平面圖形中.

      第三步,就是“三證明”:經(jīng)過第一或第二步的操作之后,再按照分析的思路,快速而且規(guī)范地寫出證明命題的整體過程.在“三證明”中要注意三點,第一,數(shù)學符號要標準,幾何語言表述要規(guī)范;第二,書寫要有層次性;第三,最后表述證明結(jié)果時要嚴格遵守判定定理的條件.

      2 理解題意,運用“一找”

      2.1 應用舉例

      例1 如圖1,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求證:AB∥平面A1B1C.

      圖1

      證明因為ABCD-A1B1C1D1是平行六面體,

      所以四邊形ABB1A1是平行四邊形.

      所以AB∥A1B1.

      又因為AB?平面A1B1C,A1B1?平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.

      評析本題直接運用“一找”就可以解決問題.閱讀完題目,直接在平面A1B1C內(nèi)就可以找到A1B1∥AB,從而運用線面平行的判定定理證明,這種是顯性的證明題型.若要證明面面平行,則需轉(zhuǎn)化為兩次線面平行的證明,就要在其中一個平面內(nèi)“找”兩條相交的直線分別與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行.

      圖2

      求證:AC⊥平面BEF.

      證明連接BF,因為在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,所以四邊形ACC1A1是矩形.

      又因為E,F(xiàn)分別是AC,A1C1的中點,

      所以EF∥CC1.則EF⊥平面ABC.

      因為AC?平面ABC,所以EF⊥AC.

      在△ABC中,因為AB=BC,所以 △ABC是等腰三角形.

      又因為E是AC的中點,所以BE⊥AC.

      又因為EF,BE?平面BEF,且EF∩BE=E,

      所以AC⊥平面BEF.

      評析本題直接運用“一找”就可以解決問題.由已知能夠在平面BEF內(nèi)找到直線EF、直線BE分別與直線AC垂直,從而運用線面垂直的判定定理證明.在此過程中,還運用了線面垂直的性質(zhì)定理及等腰三角形的中線進行轉(zhuǎn)化,這也是要“找”的重要內(nèi)容.

      2.2 “一找”依據(jù)

      2.2.1 線線平行的常見“找”法依據(jù)

      (1)中位線的平行;

      (2)平行四邊形的對邊平行;

      (3)平行線的傳遞性;

      (4)線面垂直的性質(zhì)定理;

      (5)面面平行的性質(zhì)定理.

      2.2.2 線線垂直的常見“找”法依據(jù)

      (1)直角三角形:勾股定理;

      (2)等腰或等邊三角形:底邊的中線(或頂角的平分線)與底邊垂直;

      (3)矩形或正方形:兩鄰邊互相垂直;

      (4)菱形:對角線互相垂直;

      (5)圓:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;

      (6)線面垂直的性質(zhì)定理:若一條直線垂直于平面,則這條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線.

      3 理清題意,運用“二作”

      3.1 應用舉例

      圖3

      求證:PO⊥平面ABC.

      即AB2+BC2=AC2.

      所以△ABC是等腰直角三角形.

      連接BO,且O為AC的中點,則BO=2.

      即BO2+PO2=PB2.

      所以PO⊥BO.

      又因為AC,BO?平面ABC,且AC∩BO=O,

      所以PO⊥平面ABC.

      評析本題是證明線面垂直問題,要證明PO⊥平面ABC,就要在平面ABC內(nèi)“找”兩條直線與直線PO垂直.由題意可知,PA=PC,點O為AC的中點,易知PO⊥AC;另一條直線就要進行“作”的操作了,再結(jié)合三棱錐的底面ABC可知,△ABC是一個等腰直角三角形,故需要連接BO,這樣輕易地“作”出了另一條所需的直線,再由線面垂直的判定定理證得結(jié)論.

      3.2 “二作”小結(jié)

      在“二作”中,恰當?shù)亍白鳌背鰸M足題意的輔助線或輔助面對解題帶來很大的便捷.對于一些復雜的題型,常常需要找到準確的切入點,運用“二作”構(gòu)造輔助線或輔助面,快速地把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,從而打開證明思路.“二作”中常用的“作”法:中位線、對角線、中線、垂線、過特定點“作”平行線或垂線、構(gòu)造輔助平面等.前面“一找”小結(jié)中所有的“找”法依據(jù)都可以運用.

      4 綜合實踐,探析“一找二作三證明”

      求證:平面AMD⊥平面BMC.

      圖6

      為了更好地運用“一找二作三證明”的證法,在“一找”中務(wù)必要記住“在同一個平面圖形中尋找兩線的平行關(guān)系或垂直關(guān)系”;在“二作”中要時刻關(guān)注著已知條件的特殊點、特殊線及特殊圖形,在同一個平面圖形中“作”出兩線的平行關(guān)系或垂直關(guān)系;在“三證明”中,要注意規(guī)范書寫證明過程,做到層次分明.立體幾何的學習有利于培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想象能力和邏輯推理能力,有利于提高學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學遷移能力,有利于學生樹立轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.因此,教師在實際的教學中,要站在運用數(shù)學思想方法和思維方式的高度上來指導教學,有意識地滲透立體幾何所體現(xiàn)的各種數(shù)學思想,注意學生常犯的錯誤,加強對證明方法的訓練,嚴格要求學生運用規(guī)范的幾何語言書寫證明步驟.

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