巧用對稱解決立體幾何最值問題

蘇 寧

(廣東省深圳科學高中 518116)

最值問題是高中教學的一個重要內(nèi)容，最值一詞意味著需要在可選擇且較復(fù)雜的情況里進行分析計算，從而求得符合題目要求的答案，這是學生在解決最值問題時倍感困難之所在.結(jié)合最值內(nèi)容考查時的綜合性比較強的特點，最值內(nèi)容的教學不是在一節(jié)課或者幾節(jié)課中就可以讓學生完全掌握的，因此，教師應(yīng)貫徹在整個高中數(shù)學教學過程中.因高考涵蓋模塊知識較多，本文只選擇立體幾何問題中的最值來研究，而且只針對一類特殊處理方法應(yīng)用下的立體幾何最值求解來研究.

結(jié)合近幾年各省份的高考模擬題真題，可以確定立體幾何中的最值往往涉及長度或距離、周長或面積、體積、角度等方面.依據(jù)2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課程標準數(shù)學科考試大綱中提出在立體幾何點、線、面之間的位置關(guān)系學習中形成對空間形式的觀察、分析、抽象的空間想象能力的要求，立體幾何問題在解決過程中應(yīng)以空間幾何體為對象，充分認識幾何體的結(jié)構(gòu)特征.如果在立體幾何最值求解問題中，能夠?qū)缀误w的結(jié)構(gòu)特征融入對稱性質(zhì)解決最值問題，不僅能提高解題效率，簡化復(fù)雜的運算，還能較好地突破最值這一重難點問題.

1 對稱性的理解

對稱的含義就是和諧、美觀.在現(xiàn)實世界中，對稱形式各樣，無處不在.段學復(fù)說“對稱，照字面來講，就是兩個東西相對而又相稱(或者相仿，相等).因此，把這兩個東西互換一下，好像沒動一樣.”數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學，對稱廣泛存在于代數(shù)與幾何之中.數(shù)學教學融入對稱的學習，既能揭示數(shù)學知識的本質(zhì)，又能讓學生們感受數(shù)學之美，提升學生學習興趣和學習效果.特別地，幾何中融入對稱性，尤其是立體幾何，空間幾何體較多具備較好的結(jié)構(gòu)特征，使用對稱性去分析問題、解決問題能更好地建立學生的“對稱觀”，因此，研究立體幾何中的對稱性解題絕對有必要.

2 對稱性在立體幾何最值中的應(yīng)用

2.1 對稱在立體幾何長度、距離最值問題中的應(yīng)用

例1O為單位正方體ABCD-A1B1C1D1側(cè)面ADD1A1的中心，在面ABCD上存在一點P，使得OP+PC1最短，求OP+PC1的最小值.

圖1

解析題目中P，Q兩點均是動點，作為空間兩條異面直線上的動點，研究它們的距離的最小值必然是BD，SC兩條異面直線的公垂線段，所以這個問題的關(guān)鍵是尋找公垂線段.

例3在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，若AP1∥面AEF，求線段AP1長度的取值范圍.

解析本題可以首先根據(jù)面面平行獲取點P的運動軌跡在棱BB1，B1C1中點連接的線段上運動，如圖2所示.

圖2

2.2 對稱在立體幾何周長、面積最值問題中的應(yīng)用

例4二面角α-l-β的大小為60°，點P到面α的距離為2，到面β的距離為3，A∈α,B∈β,求△ABP的周長的最小值.

圖3

解析根據(jù)球的對稱性確定四面體PABC體積取得最大值時點P的位置.當點P所在面與面ABC垂直時可根據(jù)體積的大小求出球的半徑，繼而求出球的表面積.

例6在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點P，使得AP+D1P最短，求其最小值.

2.3 對稱在立體幾何體積最值問題中的應(yīng)用

例7如圖4，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a，其中a,c為常數(shù)，求四面體ABCD體積的最大值.

圖4 圖5

解析因為AB+BD=AC+CD=2a，所以AB=BD=AC=CD=a時，四面體ABCD關(guān)于AD以及BC的中點E確定的平面是對稱的，此時體積最大，如圖5.

2.4 對稱在立體幾何其他最值問題中的應(yīng)用

例8如圖6，點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并保持AP⊥BD1，若正方體邊長為2，則|PB|的取值范圍.

圖6

根據(jù)以上內(nèi)容的陳述可知，解決立體幾何最值問題時，教師可以融入對稱思想，不斷在教學中滲透，能夠較快解決一些問題，使問題處理起來簡潔、清晰，提高學生分析問題、解決問題的能力，提高學生的審美能力.