2021年全國(guó)乙卷立體幾何二面角解法賞析

張曉建

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

1 題目呈現(xiàn)

題目(2021年全國(guó)乙卷理科第18題)如圖1，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM．

圖1

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值．

1.1 試題情境分析

本題命制情境的幾何體是一個(gè)四棱錐，其滿足底面是一個(gè)矩形，有一條側(cè)棱垂直于底面，其原型是“陽(yáng)馬”模型．

1.2 學(xué)科核心素養(yǎng)與學(xué)業(yè)質(zhì)量水平

學(xué)科核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平(一、二、三)數(shù)學(xué)思想邏輯推理能夠?qū)εc學(xué)過(guò)的知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論的分析,探索論證的思路,選擇合適的論證方法予以證明,并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證過(guò)程(水平二)直觀想象能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法,能夠借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律,解決實(shí)際問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題(水平二)數(shù)學(xué)運(yùn)算能夠針對(duì)運(yùn)算問(wèn)題,合理選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,解決問(wèn)題.能夠理解運(yùn)算是一種演繹推理;能夠在綜合運(yùn)用運(yùn)算方法解決問(wèn)題的過(guò)程中,體會(huì)程序思想的意義和作用(水平二)轉(zhuǎn)化與化歸

1.3 基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能

二面角的定義以及二面角的平面角求解；運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會(huì)向量方法和綜合幾何方法的共性和差異；運(yùn)用向量方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，感悟向量是研究幾何問(wèn)題的有效工具；能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、平行直線、平行平面間的距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用．

2 解法探究

2.1 第(1)問(wèn)解析

解析由題知，PD⊥底面ABCD,PD⊥AM.

又PB⊥AM，所以AM⊥平面PDB.

所以AM⊥DB.

2.2 第(2)問(wèn)解析

圖2

故平面APM與平面EBCP所成銳二面角即為所求．

連接AF交BE于點(diǎn)H，則由長(zhǎng)方體性質(zhì)可得AH⊥平面EBCP.

過(guò)點(diǎn)H作HI⊥PM于點(diǎn)I，連接AI，則∠AIH即為二面角A-PM-B的平面角．

圖3

故平面APM與平面EBCP所成銳二面角即為所求．

連接AF交BE于點(diǎn)H，則由長(zhǎng)方體性質(zhì)可得AH⊥平面EBCP.

過(guò)點(diǎn)H作HI⊥PM于點(diǎn)I，連接AI，則∠AIH即為二面角A-PM-B的平面角．

二是建立考核獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制。要進(jìn)一步健全考核獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制，在檢查評(píng)比的基礎(chǔ)上，每年對(duì)工作成績(jī)突出、群眾認(rèn)可的協(xié)會(huì)進(jìn)行表彰獎(jiǎng)勵(lì)；對(duì)工作不力、群眾意見大的協(xié)會(huì)進(jìn)行整頓、改選，確保農(nóng)民用水戶協(xié)會(huì)長(zhǎng)期發(fā)揮效益。

圖4

作BN⊥PM于點(diǎn)N，則

圖5

由等體積變換VP-ABC=VA-PBC，

解法5 如圖6，由題意，PD⊥底面ABCD,PD⊥AM.

圖6

又PB⊥AM，所以AM⊥平面PDB.

所以平面ABCD⊥平面PDB,且交線為PO.

過(guò)點(diǎn)O作OS⊥PO交PB于點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)O作OT⊥PM交PM于點(diǎn)T,連接ST，則∠OTS即為二面角A-PM-B的平面角.

解法6建立如圖7所示空間坐標(biāo)系D-xyz．

圖7

同理可求得平面PMB的一個(gè)法向量為m=(0,1,1).

筆者從不同的角度分析、解決二面角的求解問(wèn)題，當(dāng)然對(duì)于不同的立體幾何模型而言常需要不同的方法，希望能夠借此文章和各位讀者共同探討.為更好地掌握本題，特改編兩道練習(xí)如下：

圖8