袁卓俊 郭棟祥

（江蘇科技大學(xué) 鎮(zhèn)江 212100）

1 引言

通常設(shè)計(jì)齒輪時(shí)，首先要對(duì)齒輪強(qiáng)度進(jìn)行核算。對(duì)于齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算方法，最早于1893年，Lewis［1］將輪齒視為懸臂梁，以此為基礎(chǔ)計(jì)算齒根應(yīng)力值。此后，基于Lewis懸臂梁理論的齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算方法被多數(shù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)采用。現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)［2～4］的齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算里，應(yīng)力值取決于齒輪的齒形、結(jié)構(gòu)參數(shù)、工況條件，與材料屬性無(wú)關(guān)。但在文獻(xiàn)［5］里，D Walton闡述了非金屬齒輪由于彈性模量小，在變形影響下會(huì)導(dǎo)致齒輪實(shí)際重合度增大的可能性；在文獻(xiàn)［6］與［7］中，Christian Hasl與Jabbour分別嘗試以現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，擬定一種考慮實(shí)際重合度增大引起的塑料直齒輪與塑料斜齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算方法。

本文采用ANSYS Workbench軟件，對(duì)鋼-塑料齒輪副單齒嚙合模型的塑料齒輪齒根應(yīng)力仿真分析，通過(guò)改變不同的彈性模量值，以及考慮輪齒撓曲變形的影響，計(jì)算不同材料彈性屬性的塑料齒輪在一定負(fù)荷下的齒根應(yīng)力。

2 試驗(yàn)參數(shù)與條件

齒輪參數(shù)如表1所示，齒輪副為外嚙合標(biāo)準(zhǔn)漸開線直齒圓柱齒輪，常溫下工作。材料參數(shù)如表2所示，塑料材料的泊松比范圍μ?(0.3，0.5)，這里取泊松比值μ=0.4。齒輪副參數(shù)不變，彈性模量選取1000Mpa～4000Mpa范圍內(nèi)的4個(gè)數(shù)值，主動(dòng)輪施加的扭矩T1選取0.06Nm～8Nm范圍內(nèi)的6個(gè)數(shù)值，應(yīng)用ANSYS Workbench軟件進(jìn)行仿真試驗(yàn)。

表1 齒輪參數(shù)

表2 材料參數(shù)

3 基于VDI 2736標(biāo)準(zhǔn)的塑料齒輪齒根應(yīng)力計(jì)算

根據(jù)VDI 2736塑料齒輪強(qiáng)度計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，齒根應(yīng)力有下列計(jì)算式：

查詢VDI 2736標(biāo)準(zhǔn)的圖表數(shù)據(jù)，通過(guò)確定式中參數(shù)，可以計(jì)算得σF2≈33.5T1。其中主動(dòng)輪施加扭矩T1單位為Nm，塑料齒輪的齒根應(yīng)力σF2單位為Mpa。

4 考慮材料彈性影響的齒根應(yīng)力有限元法

聯(lián)合應(yīng)用Creo與ANSYS Workbench軟件，根據(jù)表1的齒輪參數(shù)，建立齒輪單齒嚙合模型，并定義表2的材料參數(shù)；然后對(duì)模型用六面體網(wǎng)格整體劃分；最后在塑料齒輪齒根部位網(wǎng)格細(xì)化，如圖1所示，經(jīng)過(guò)網(wǎng)格劃分后的模型，共有59048個(gè)節(jié)點(diǎn)和37801個(gè)單元。

圖1 網(wǎng)格劃分

在軟件中，兩個(gè)零件的接觸分為接觸體與目標(biāo)體，鋼齒輪與塑料齒輪接觸，比較軟的塑料齒輪為接觸體，而較硬的鋼齒輪為目標(biāo)體，輪齒接觸區(qū)需要考慮到塑料會(huì)出現(xiàn)的大變形，選用增廣拉格朗日法，可以使這種大變形問(wèn)題計(jì)算更容易收斂。塑料齒輪輪齒的底面固定約束，對(duì)齒根兩側(cè)面無(wú)摩擦支撐；鋼齒輪作為驅(qū)動(dòng)輪，應(yīng)用Joint命令，僅釋放鋼齒輪輪齒繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，施加的載荷與約束如圖2所示。此外，考慮在負(fù)荷下塑料齒輪模型產(chǎn)生的單元位移與形變，以及形變對(duì)有限元計(jì)算中剛度矩陣變化的影響，必須打開大變形開關(guān)。

圖2 施加載荷與約束

通過(guò)計(jì)算，可以得出塑料齒輪的最大變形量、左側(cè)齒根應(yīng)力、右側(cè)齒根應(yīng)力、最大齒根應(yīng)力的取值，以及最大齒根應(yīng)力相對(duì)VDI 2736標(biāo)準(zhǔn)值的偏差。

5 齒根應(yīng)力的數(shù)值處理與結(jié)果分析

5.1 塑料輪齒的變形

塑料輪齒的變形如圖3所示，當(dāng)塑料齒輪受到鋼制齒輪施加的扭矩時(shí)，塑料輪齒會(huì)呈現(xiàn)出一定的撓曲變形，其最大變形點(diǎn)通常在塑料輪齒的齒尖部位。將塑料輪齒的最大變形量記為s，繪制圖4曲線。圖中，當(dāng)施加的扭矩很小時(shí)，不同材料彈性模量下塑料輪齒的變形相差不大；當(dāng)主動(dòng)輪施加的扭矩較大時(shí)，塑料材料的彈性模量越小，塑料輪齒越容易較大變形。

圖3 扭矩T1=6Nm時(shí)塑料輪齒的變形

圖4 塑料輪齒的變形曲線圖

5.2 塑料輪齒的接觸

考慮塑料輪齒變形的影響，會(huì)使輪齒的接觸狀態(tài)出現(xiàn)相應(yīng)變化。塑料輪齒的接觸如圖5～6所示。圖5～6可以看出：主動(dòng)輪施加扭矩T1一定時(shí)，選用較小彈性模量的材料，會(huì)使得塑料輪齒接觸面積增大；額外增大的接觸面積開始分擔(dān)部分應(yīng)力，導(dǎo)致輪齒接觸面上最大應(yīng)力點(diǎn)的位置與最大應(yīng)力的數(shù)值發(fā)生改變，塑料輪齒上的載荷出現(xiàn)了重新分布。

圖5 扭矩T1=4Nm時(shí)輪齒接觸狀況

圖6 扭矩T1=4Nm時(shí)輪齒接觸區(qū)的載荷分布

5.3 塑料輪齒的齒根應(yīng)力

在主動(dòng)輪施加的扭矩作用下，塑料齒輪的輪齒左側(cè)齒根存在受拉的應(yīng)力，右側(cè)齒根存在受壓的應(yīng)力。以主動(dòng)輪施加的扭矩T1為橫坐標(biāo)，某一側(cè)的齒根應(yīng)力σF為縱坐標(biāo)，繪制曲線圖7。在圖7中，塑料齒輪兩側(cè)齒根處的應(yīng)力具有一致的變化趨勢(shì)，但齒根受壓側(cè)的應(yīng)力值普遍比受拉側(cè)的大，因此塑料齒輪最大齒根應(yīng)力應(yīng)取決于齒根受壓側(cè)。而無(wú)論是受拉還是受壓，其兩者的應(yīng)力值普遍比VDI 2736標(biāo)準(zhǔn)的理論計(jì)算值低。

圖7 塑料齒輪齒根應(yīng)力

以主動(dòng)輪施加的扭矩T1為橫坐標(biāo)，最大齒根應(yīng)力相對(duì)VDI 2736標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算值的偏差為縱坐標(biāo)，繪制圖8所示的偏差曲線。在圖8中，當(dāng)施加的扭矩不大時(shí)，不同彈性模量下的偏差相對(duì)較小，其最小值在3%附近；如果主動(dòng)輪施加的扭矩較大，則相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的偏差值會(huì)隨著選用材料彈性模量的減小而增大，本試驗(yàn)研究中最大偏差達(dá)到18%左右。

圖8 偏差曲線圖

相對(duì)偏差值的變化，這是由于VDI 2736標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算，將齒輪視為了剛體模型，產(chǎn)生的形變忽略不計(jì)，這種假設(shè)對(duì)于鋼制齒輪來(lái)說(shuō)是成立的。但是塑料輪齒的變形對(duì)齒輪應(yīng)力的影響不可忽略，特別是較小彈性模量的齒輪材料，在撓曲變形影響下，塑料輪齒額外擴(kuò)展的接觸區(qū)開始分擔(dān)部分應(yīng)力，以及塑料輪齒上載荷的重新分布，導(dǎo)致齒根處的部分應(yīng)力在一定程度上得到消除，如圖9～10所示，這會(huì)使塑料齒輪的齒根承載能力得以提高。

圖9 施加扭矩T1=4Nm

圖10 施加扭矩T1=6Nm

6 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用ANSYS Workbench軟件對(duì)鋼-塑料齒輪副單齒嚙合模型仿真試驗(yàn)，模擬不同塑料材料彈性模量數(shù)值下塑料輪齒的變形，以及對(duì)塑料齒輪齒根應(yīng)力的影響，通過(guò)對(duì)比現(xiàn)有VDI 2736標(biāo)準(zhǔn)的塑料齒輪應(yīng)力計(jì)算值，分析相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算值的偏差來(lái)源。試驗(yàn)結(jié)果表明：?jiǎn)锡X嚙合時(shí)，施加扭矩一定，使用較小彈性模量的齒輪材料，塑料輪齒有更大的撓曲變形，導(dǎo)致輪齒接觸面積會(huì)出現(xiàn)額外的增大，額外增大的接觸面開始分擔(dān)部分應(yīng)力，齒輪上的載荷出現(xiàn)了重新分布，齒根處的部分應(yīng)力在一定程度上得以消除，這會(huì)使塑料齒輪的齒根承載能力得到提高。