孫 威

（湖北省電力勘測設(shè)計院有限公司，湖北 武漢 430040）

在進(jìn)行鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計時，是否正確考慮現(xiàn)澆樓板對框架梁端受力特性的影響，對能否分析出正確的結(jié)構(gòu)破壞模式至關(guān)重要。國內(nèi)外學(xué)者在這方面進(jìn)行了大量研究，大多數(shù)學(xué)者以層間位移為控制指標(biāo)，通過樓板翼緣的有效作用范圍，研究樓板效應(yīng)下結(jié)構(gòu)的不同破壞模式。同濟(jì)大學(xué)和中國建筑科學(xué)研究與日本、新西蘭和美國合作所完成了兩個帶樓板的雙軸受力節(jié)點(diǎn)滯回試驗(yàn)研究，結(jié)果表明層間位移達(dá)到1/69時，梁的抗負(fù)彎矩能力與按整個板寬作為翼緣計算幾乎相等。蔣永生等進(jìn)行的有、無樓板的框架節(jié)點(diǎn)對比試驗(yàn)表明，有板節(jié)點(diǎn)的梁負(fù)屈服彎矩承載力比無板的提高了約30%。Pantazopoulou分析了框架的13個中節(jié)點(diǎn)和7個邊節(jié)點(diǎn)的試驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)不考慮現(xiàn)澆樓板作用會使梁的承載力分別降低25%和17%。

該文通過研究樓板-梁組合結(jié)構(gòu)中主梁和樓板的協(xié)同受力特征，歸納出梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線的變化規(guī)律，并將該變化規(guī)律以簡化計算公式的形式表現(xiàn)出來。推導(dǎo)出的簡化計算公式，能夠靈活方便地考慮現(xiàn)澆樓板對梁端抗彎承載力的提高效應(yīng)。最后以某一樓板-梁組合結(jié)構(gòu)為例，利用該簡化計算公式，分析得到不同參數(shù)條件下的梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線，同時利用有限元軟件ABAQUS建立相應(yīng)的樓板-梁組合實(shí)體模型進(jìn)行模擬分析。結(jié)果表明，該文提出的簡化計算公式，能夠計算出梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線，其計算結(jié)果與有限元實(shí)體建模分析得到的梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線吻合良好。

1 樓板-梁組合結(jié)構(gòu)端部受力特征

樓板-梁組合結(jié)構(gòu)的端部受力特征，主要表現(xiàn)為材料層面上的鋼筋和混凝土兩種材料協(xié)同作用。在推導(dǎo)考慮樓板效應(yīng)的梁端彎矩轉(zhuǎn)角關(guān)系時，需要考慮鋼筋和混凝土兩種材料的本構(gòu)關(guān)系，將鋼筋本構(gòu)關(guān)系曲線和混凝土本構(gòu)關(guān)系曲線繪于同一應(yīng)變坐標(biāo)軸下，如圖1所示。從圖1中可以看出，在受拉區(qū)段（第一象限），鋼筋屈服拉應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變值ε與混凝土峰值拉應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變值ε差距很大；而在受壓區(qū)段（第三象限），鋼筋屈服壓應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變值ε′和混凝土峰值壓應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變值ε基本相近。這說明，當(dāng)梁端受拉鋼筋屈服時，受拉鋼筋周圍混凝土早已受拉破壞；而當(dāng)受壓鋼筋屈服時，受壓鋼筋附近的混凝土剛好處于峰值壓應(yīng)力狀態(tài)。

圖1 同一應(yīng)變坐標(biāo)軸下鋼筋和混凝土材料本構(gòu)曲線示意圖

無論是否考慮樓板的效應(yīng)，梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線都可以簡化為兩個階段：彈性階段和塑性階段。彈性階段指梁端受拉縱筋屈服前所處階段，塑性階段指梁端受拉縱筋屈服及屈服后階段。圖2中，曲線OA段和AB段分別對應(yīng)于梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線中的彈性階段和塑性階段。這兩個階段對應(yīng)的梁端截面鋼筋和混凝土應(yīng)變和應(yīng)力的變化規(guī)律分別如圖3和圖4所示。從圖3和圖4中可以看出，在彈性階段，受拉、受壓縱筋均未屈服，此時梁端截面符合平截面變形假定，受壓區(qū)段混凝土應(yīng)變分布和應(yīng)力分布均滿足線性變化規(guī)律。進(jìn)入塑性階段，受拉縱筋屈服后，鋼筋較大的應(yīng)變變形導(dǎo)致混凝土受壓區(qū)應(yīng)力重分布，此時受壓區(qū)段混凝土應(yīng)變分布和應(yīng)力分布已不滿足線性變化規(guī)律，而應(yīng)近似等效為均勻分布情況。

圖2 梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線示意圖

圖3 梁端截面鋼筋和混凝土應(yīng)變變化規(guī)律

圖4 梁端截面鋼筋和混凝土應(yīng)力變化規(guī)律

2 梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線簡化計算方法

為了確定圖2中樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線，首先需要求得點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)角值和彎矩值，同時還需要求得塑性階段曲線的斜率值。記圖2中點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)角值為，點(diǎn)對應(yīng)的彎矩值為，彈性階段曲線的斜率值為，塑性階段曲線的斜率值為。在計算樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線過程中，計算表達(dá)式中的截面相關(guān)參數(shù)如圖5所示。其中，表示節(jié)點(diǎn)柱截面寬度；表示梁端截面有效翼緣寬度；表示直交梁計算長度，一般取為框架柱橫向凈間距的一半；表示樓板厚度；表示縱向板筋間距；表示主梁端部截面的梁寬；表示主梁端部截面的梁高；表示主梁端部截面有效高度；表示單側(cè)樓板有效翼緣寬度范圍內(nèi)板筋面積；A表示主梁端部截面受拉縱筋截面總面積；表示主梁端部截面受壓縱筋截面面積；表示主梁端部截面受壓區(qū)縱筋合力點(diǎn)至截面受壓邊緣的距離；表示混凝土受壓區(qū)高度。

圖5 樓板-梁組合結(jié)構(gòu)端部截面示意圖

2.1 屈服點(diǎn)彎矩M1值的計算

第一步計算截面彈性階段和塑性階段交點(diǎn)對應(yīng)的彎矩承載力值。在研究樓板效應(yīng)過程中，大部分研究人員采用梁端截面有效翼緣寬度這一參數(shù)來衡量樓板對梁端彎矩承載力的影響。影響梁端截面有效翼緣寬度的因素有很多，包括板面鋼筋材性、梁高、梁跨、板厚、板寬、直交梁剛度等。因此，梁端截面有效翼緣寬度這個參數(shù)綜合考慮了在研究梁端彎矩承載力過程中需要考慮的所有因素。筆者通過大量有限元模擬，逐個分析各因素對梁端截面有效翼緣寬度的影響，最終發(fā)現(xiàn)，在適筋梁條件下，梁端截面有效翼緣寬度與樓板板筋配筋情況以及直交梁扭轉(zhuǎn)剛度有密切關(guān)系。

無論計算梁為中梁或邊梁，梁端截面單側(cè)有效翼緣寬度與樓板板筋屬性代表系數(shù)和直交梁截面面積的關(guān)系式擬合如公式（1）所示。

式中：表示樓板板筋屬性代表系數(shù)，kN/mm；表示直交梁截面面積，mm；表示梁端截面有效翼緣寬度；表示節(jié)點(diǎn)柱截面寬度；表示主梁端部截面的梁寬。其中、和的單位均為mm。

公式（1）中的值如公式（2）所示。

式中：表示板筋層數(shù)；表示單個縱向板筋面積；表示板筋強(qiáng)度；表示板筋間距。

求得梁端截面有效翼緣寬度后，將其值與直交梁計算長度進(jìn)行比較，當(dāng)＜-0.5（-）時，單側(cè)樓板有效翼緣寬度范圍內(nèi)板筋面積Ash值取為直交梁計算長度范圍內(nèi)的縱向板筋面積。當(dāng)-0.5（-）時，可按公式（3）計算出梁端截面單側(cè)有效翼緣寬度范圍內(nèi)的有效板筋面積值。

此時，混凝土受壓區(qū)高度值可按公式（4）進(jìn)行計算。

式中：表示主梁受拉縱筋屈服拉應(yīng)力；表示主梁受拉區(qū)縱向鋼筋截面面積；表示與主梁相交的直交梁個數(shù)，中梁時取為2，邊梁時取為1，獨(dú)立梁時取為0；表示板筋屈服拉應(yīng)力；表示單側(cè)板筋有效面積；′表示主梁受壓縱筋屈服壓應(yīng)力；′表示主梁受壓區(qū)縱向鋼筋截面面積；表示混凝土強(qiáng)度折減系數(shù)；表示混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；表示主梁矩形截面的寬度。通過簡支梁的相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及大量有限元模擬驗(yàn)證，點(diǎn)對應(yīng)的彎矩承載力值如公式（5）所示。

2.2 主梁端部轉(zhuǎn)角θ1值的計算

第二步，計算彈性階段和塑性階段交點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)角值。由于點(diǎn)處在彈性階段和塑性階段交界處，因此可認(rèn)為點(diǎn)時刻對應(yīng)的主梁梁端截面符合平截面變形假定。圖6為主梁端部轉(zhuǎn)動區(qū)域轉(zhuǎn)角示意圖，其中陰影部分為主梁端部轉(zhuǎn)動區(qū)域，該區(qū)域的轉(zhuǎn)角即為點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)角值。從圖6轉(zhuǎn)動區(qū)域尺寸詳圖中的幾何關(guān)系可推導(dǎo)出公式（6）所示。

圖6 主梁端部轉(zhuǎn)動區(qū)域轉(zhuǎn)角示意圖

點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)角值=+，同時由于和一般較小，因此可認(rèn)為=sin，=sin，=sin。將=sin，=sin，=sin以及=+帶入公式（6）中可推導(dǎo)出點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)角值θ，如公式（7）所示。

式中：表示主梁端部轉(zhuǎn)動區(qū)域轉(zhuǎn)角；表示主梁端部受拉縱筋屈服應(yīng)變值；表示主梁端部受壓縱筋點(diǎn)時刻對應(yīng)的計算應(yīng)變值；表示主梁端部轉(zhuǎn)動區(qū)域計算長度；h表示主梁端部轉(zhuǎn)動區(qū)域處受拉縱筋和受壓縱筋之間的距離。

公式（7）中，值可通過樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端截面受力平衡方程以及梁端受力縱筋之間的應(yīng)變線性比例關(guān)系求解得到。樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端截面受力平衡方程如公式（8）所示。

式中：表示主梁端部縱筋彈性模量；表示樓板板筋彈性模量；表示主梁端部受拉縱筋面積；表示樓板有效范圍內(nèi)板筋面積；表示主梁端部受壓縱筋面積；表示混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；表示主梁矩形截面的寬度；表示混凝土受壓區(qū)高度。

同時，梁端受力縱筋之間的應(yīng)變線性比例關(guān)系如公式（9）所示。

將公式（9）帶入公式（8）中可求解出相應(yīng)混凝土受壓區(qū)高度，再將值帶回公式（9）中，就可以計算出主梁端部受壓縱筋點(diǎn)時刻對應(yīng)的計算應(yīng)變值。

計算出值后，通過公式（7）可直接求出彈性階段和塑性階段交點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)角值。

2.3 塑性階段曲線斜率k2值的計算

第三步，計算塑性階段曲線的斜率值。通過大量有限元分析可知，塑性階段曲線的斜率值與主梁相交的直交梁的受扭配筋率、直交梁截面面積以及樓板板筋的配筋情況相關(guān)。擬合出的樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線塑性階段斜率如公式（10）所示。

式中：表示樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線塑性階段斜率；A表示直交梁截面面積，mm；表示直交梁受扭配筋率；表示樓板板筋屬性代表系數(shù)，kN/mm；表示主梁塑性階段初始斜率值，一般取為2；表示與主梁相交的直交梁個數(shù)，中梁時取為2，邊梁時取為1，獨(dú)立梁時取為0。

公式（9）中直交梁受扭配筋率計算式如公式（11）所示。

式中：為直交梁受扭配筋率；為直交梁受扭計算中對稱布置的全部縱向鋼筋截面面積；為直交梁受扭計算中沿截面周邊配置的箍筋單肢截面面積；為直交梁矩形截面的寬度；為直交梁矩形截面的高度；為直交梁箍筋間距。

2.4 梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線簡化計算式

由2.1小節(jié)和2.2小節(jié)可分別求得點(diǎn)對應(yīng)的彎矩承載力值和點(diǎn)對應(yīng)的主梁端部轉(zhuǎn)角值，樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線彈性階段斜率如公式（12）所示。

式中：表示點(diǎn)對應(yīng)的彎矩承載力值；表示點(diǎn)對應(yīng)的主梁端部轉(zhuǎn)角值。

再由2.3小節(jié)計算得到塑性階段曲線斜率后，通過已知條件、、和，可推導(dǎo)出樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線如公式（13）所示。

式中：為樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端彎矩值；為樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端轉(zhuǎn)角值；為計算曲線彈性階段斜率；為計算曲線塑性階段斜率；為曲線轉(zhuǎn)點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)角值。

3 算例分析

樓板-梁組合結(jié)構(gòu)有限元分析模型如圖7所示。標(biāo)準(zhǔn)配筋模型中的主梁和直交梁端部截面配筋示意圖如圖8所示，其具體參數(shù)如下：混凝土抗壓強(qiáng)度30MPa；主梁截面尺寸200mm×500mm；主梁拉、壓筋強(qiáng)度為400MPa，拉、壓筋直徑分別為14mm和12mm。直交梁截面尺寸200mm×500mm；直交梁拉筋、架立筋和壓筋強(qiáng)度均為400MPa，拉筋、架立筋和壓筋直徑分別為14mm、14mm和12mm，直交梁箍筋強(qiáng)度400MPa，箍筋直徑10mm，箍筋間距100mm；樓板板筋強(qiáng)度300MPa，板筋直徑6mm，板筋間距100mm。同時取主梁縱向鋼筋強(qiáng)度、主梁縱向拉筋直徑、板筋直徑和直交梁受扭配筋率作為變量，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)模型算例的平行分析。

圖7 樓板-梁組合結(jié)構(gòu)有限元分析模型

圖8 標(biāo)準(zhǔn)模型主梁和直交梁端部截面配筋示意圖

3.1 有限元分析

在有限元分析軟件ABAQUS中建立有限元模型，如圖7所示。分別修改主梁縱向鋼筋強(qiáng)度、主梁縱向拉筋直徑、板筋直徑以及直交梁受扭配筋率，取值分別如下：主梁縱向鋼筋強(qiáng)度分別取為300MPa、335MPa、400MPa和500MPa；主梁拉筋直徑分別取10mm、12mm、14mm、16mm和18mm；板筋直徑分別取為6mm、8mm、10mm、12mm；不同受扭配筋率條件下，直交梁的配筋分別為：1）箍筋直徑8mm，壓筋直徑10mm，拉筋直徑12mm。2）箍筋直徑10mm，壓筋直徑12mm，拉筋直徑14mm。3）箍筋直徑10mm，壓筋直徑16mm，拉筋直徑18mm。4）箍筋直徑12mm，壓筋直徑18mm，拉筋直徑20mm。通過有限元分析后，得到的樓板-梁組合結(jié)構(gòu)梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線分別如圖9~圖12所示。

將圖9~圖12曲線簡化后的關(guān)鍵參數(shù)分別匯總于表1~表4中。

圖9 不同主梁縱筋強(qiáng)度對應(yīng)彎矩-轉(zhuǎn)角曲線

圖12 不同直交梁受扭配筋率對應(yīng)彎矩-轉(zhuǎn)角曲線

表1 不同主梁縱筋強(qiáng)度條件下轉(zhuǎn)角值θ1、彎矩值M1以及塑性區(qū)段斜率值k2

表2 不同主梁拉筋直徑條件下轉(zhuǎn)角值θ1、彎矩值M1以及塑性區(qū)段斜率值k2

表3 不同板筋直徑條件下轉(zhuǎn)角值θ1、彎矩值M1以及塑性區(qū)段斜率值k2

表4 不同直交梁受扭配筋率條件下轉(zhuǎn)角值θ1、彎矩值M1以及塑性區(qū)段斜率值k2

3.2 簡化計算公式

通過第2小節(jié)中的梁端轉(zhuǎn)角-彎矩簡化計算公式可求得如下轉(zhuǎn)角-彎矩簡化曲線，分別如圖13~圖16所示。

圖13 不同主梁縱筋強(qiáng)度對應(yīng)簡化計算彎矩-轉(zhuǎn)角曲線

圖16 不同直交梁受扭配筋率對應(yīng)簡化計算彎矩-轉(zhuǎn)角曲線

將簡化曲線中的關(guān)鍵參數(shù)分別匯總于表5~表8中。

表5 不同主梁縱筋強(qiáng)度條件下轉(zhuǎn)角值θ1、彎矩值M1以及塑性區(qū)段斜率值k2

表8 不同直交梁受扭配筋率條件下轉(zhuǎn)角值θ1、彎矩值M1以及塑性區(qū)段斜率值k2（單位°和kN·m）

3.3 誤差分析

圖11 不同板筋直徑對應(yīng)彎矩-轉(zhuǎn)角曲線

表6 不同主梁拉筋直徑條件下轉(zhuǎn)角值θ1、彎矩值M1以及塑性區(qū)段斜率值k2

表7 不同板筋直徑條件下轉(zhuǎn)角值θ1、彎矩值M1以及塑性區(qū)段斜率值k2（單位°和kN·m）

圖10 不同主梁拉筋直徑對應(yīng)彎矩-轉(zhuǎn)角曲線

以有限元的分析數(shù)據(jù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)，將不同主梁縱筋強(qiáng)度，不同主梁拉筋直徑，不同板筋直徑，不同直交梁受扭配筋率對應(yīng)的點(diǎn)轉(zhuǎn)角誤差值、彈性區(qū)段以及塑性區(qū)段內(nèi)彎矩最大誤差值分別匯總于表9~表12中。通過表9~表12中的數(shù)據(jù)可以看出，簡化計算公式求得的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線與有限元分析得到的曲線，點(diǎn)轉(zhuǎn)角誤差值基本控制在3%以內(nèi)，而整個曲線區(qū)段內(nèi)彎矩誤差值基本控制在5%以內(nèi)。表11 不同板筋直徑條件下點(diǎn)對應(yīng)轉(zhuǎn)角誤差、彈性區(qū)段以及塑性區(qū)段彎矩最大誤差（%）

表9 不同主梁縱筋強(qiáng)度條件下點(diǎn)A對應(yīng)轉(zhuǎn)角誤差、彈性區(qū)段以及塑性區(qū)段彎矩最大誤差（%）

表10 不同主梁拉筋直徑條件下點(diǎn)A對應(yīng)轉(zhuǎn)角誤差、彈性區(qū)段以及塑性區(qū)段彎矩最大誤差（%）

表12 不同直交梁配筋率條件下點(diǎn)A對應(yīng)轉(zhuǎn)角誤差、彈性區(qū)段以及塑性區(qū)段彎矩最大誤差（%）

圖15 不同板筋直徑對應(yīng)簡化計算彎矩-轉(zhuǎn)角曲線

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4 結(jié)論

采用簡化計算公式和有限元分析模型分別計算不同配筋條件下樓板-梁組合結(jié)構(gòu)的彎矩-轉(zhuǎn)角曲線。比較其計算結(jié)果，可以得出如下結(jié)論：1）與有限元分析方法相比，簡化計算公式思路清晰直觀，能夠方便、高效地求解出梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線。2）簡化計算公式求得的考慮樓板效應(yīng)后的梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線，與有限元分析結(jié)果吻合良好，關(guān)鍵數(shù)據(jù)誤差基本控制在5%以內(nèi)，能夠滿足工程應(yīng)用的精度要求。該文旨在總結(jié)一種考慮樓板效應(yīng)時，梁端彎矩-轉(zhuǎn)角曲線的簡化計算方法。該方法尚存在以下局限性：計算彎矩-轉(zhuǎn)角曲線過程中，僅考慮了彈性階段曲線和塑性階段曲線的吻合性，關(guān)于彈塑性階段，由于受力的復(fù)雜性，并沒有深入研究。針對上述不足，后續(xù)的研究工作正在開展中。

圖14 不同主梁拉筋直徑對應(yīng)簡化計算彎矩-轉(zhuǎn)角曲線