斜壓大氣中(2 + 1)維非線性重力波的 廣義ZK-mZK方程

陳利國(guó)

摘 要：從描述斜壓大氣基本動(dòng)力學(xué)方程組出發(fā)，通過無量綱分析，利用多重尺度法和小參數(shù)攝動(dòng)展開法，推導(dǎo)了描述斜壓大氣中（2+1）維重力波演化的廣義Zakharov-Kuznetsov-mZakharov-Kuznetsov（ZK-mZK）方程，利用雙曲函數(shù)展開法得到方程的解析解，結(jié)合模型和求解結(jié)果分析了重力波形成物理機(jī)制。

關(guān)鍵詞：非線性重力波;演化模型;廣義ZK-mZK方程

中圖分類號(hào)：O29;P433;O175.2? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2022）02-0001-04

引言

重力波是大氣在重力和垂直慣性力作用下產(chǎn)生的一種中尺度波動(dòng)，是大氣中普遍存在的一種波動(dòng)現(xiàn)象。重力波相關(guān)理論研究具有重要的實(shí)際價(jià)值，如颮線、暴雨、臺(tái)風(fēng)等災(zāi)害性天氣[1-4]。許多學(xué)者建立非線性重力波的理論模型，通過理論模型分析和結(jié)合實(shí)際天氣狀況，研究非線性重力波的形成機(jī)制，而且重力波研究是建立在（1+1）維模型基礎(chǔ)上。李麥村推導(dǎo)了重力孤立波的KdV方程，并解釋了颮線形成的非線性過程[1，3]。之后，獲得了斜壓大氣重力波演化的KdV方程，研究了颮線形成的非線性過程。羅德海推導(dǎo)了Benjamin-Ono（BO）方程來描述代數(shù)重力孤立波，解釋了颮線非線性現(xiàn)象[5]。許秦推導(dǎo)了層結(jié)大氣中慣性重力波KdV方程模型[6]。許習(xí)華等得到了重力孤立波波包的Schr?dinger方程[7]。郭敏等獲得了代數(shù)重力波Boussinesq-BO方程[8]。相對(duì)而言，（2+1）維重力波模型研究較少。學(xué)者們建立（2+1）維模型描述重力波的演化特征，比如代數(shù)重力波ZK-ILW方程[9]、時(shí)間分?jǐn)?shù)階BO方程[10]、廣義（2+1）維Boussinesq-BO方程[11]。一些學(xué)者建立非線性重力波分?jǐn)?shù)階模型[12-14]，通過理論模型和結(jié)果分析重力孤立波的生成演化規(guī)律，結(jié)合實(shí)際天氣狀況解釋颮線、暴雨等災(zāi)害性天氣現(xiàn)象形成的機(jī)制。

本文從描述斜壓大氣基本動(dòng)力學(xué)方程組出發(fā)， 先通過方程無量綱化，再利用多重尺度法和小參數(shù)攝動(dòng)展開法，推導(dǎo)了ZK-mZK方程來刻畫（2+1）維非線性重力波演化模型，通過模型理論上分析重力波在非線性形成過程的重要影響因素。

1 大氣動(dòng)力學(xué)方程組[4]

其中p氣壓，θ0和ρ0分別表示流場(chǎng)的位溫與密度，σ=。對(duì)方程（1）進(jìn)行無量綱化，

（x*，y*）=L（x，y），z*=D（z），t*=f0-1（t），（u*，v*）=U（u，v），

w*=D（z），θ*=δθ*（θ），δp*x，y=f0LU（p），

δpz=δθ*（θ），ρ0=（ρs），

其中f0科氏參數(shù)f的特征量，P是氣壓特征量，H是均勻大氣的特征高度，δp*x，y和δp*z分別表示水平和垂直方向的氣壓變化，帶星為無量綱變量。

根據(jù)中尺度大氣重力波運(yùn)動(dòng)特征：D～H，δθ*～，R0=～o（1）再由重力波運(yùn)動(dòng)的特征[4]，取L～105m，U～10m/s，f0～10-4/s，N～10-2/s，引入?yún)?shù)ε=?1，其中N2=。于是方程（1）無量綱化后得到

2 廣義ZK-mZK方程推導(dǎo)

基于無量綱方程組（2），利用多尺度變換法和小參數(shù)攝動(dòng)展開，推導(dǎo)（2+1）維非線性重力波演化方程。

3 廣義ZK-mZK方程的解析解

4 結(jié)論

方程（21）是一個(gè)新的方程，是文獻(xiàn)[4]和[6]的推廣，稱為廣義ZK-mZK方程，它是描述（2+1）維非線性重力波在斜壓大氣中演變的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于新方程（21），nnX和n2nX表示重力波非線性效應(yīng)，nXY和nXXX表示重力波頻散效應(yīng)，這表明新方程包含重力波的頻散過程和非線性形成過程。由方程（21）和推導(dǎo)過程，以及解析解（26）可知，大氣的氣壓、位溫和密度等均是重力波形成主要因素，也是頻散和非線性共同作用的重要因素之一。在斜壓大氣中，頻散過程與非線性過程的共同作用發(fā)生和演變的本質(zhì)是颮線形成的主要原因[4]。因此，通過對(duì)廣義ZK-mZK模型研究，可以探索颮線天氣現(xiàn)象形成的物理機(jī)制。

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收稿日期：2021-11-02

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（11762011，12062017）;內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（NJZY21272）;內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)人才開發(fā)項(xiàng)目（RZ2100000102）

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