李登峰

（甘肅省平?jīng)鍪袥艽h玉都中學(xué)，甘肅 平?jīng)?744316）

面對如何強化學(xué)生有效掌握二次函數(shù)知識理解能力和運用能力，教師要在理論和實踐上指導(dǎo)學(xué)生從邏輯思維的角度和創(chuàng)新思維角度切入，通過持續(xù)性的鞏固訓(xùn)練發(fā)展學(xué)生的思維能力。在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)當(dāng)中，教師要有意識地進(jìn)行相關(guān)知識、定理、概念講解，結(jié)合書本教材，利用電子媒體技術(shù)創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠在此過程中有所收獲，提高學(xué)習(xí)的質(zhì)量。

一、初中生學(xué)習(xí)二次函數(shù)存在的問題

第一，從現(xiàn)階段的研究調(diào)查情況分析來看，學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)知識的時候，對其概念的理解存在偏差、對如何選擇恰當(dāng)合理的形式求取解析式存在困難、對二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)還有應(yīng)用方面理解不深入。從概念上來看，大部分學(xué)生其實能夠直觀地認(rèn)識二次函數(shù)的具體概念，并且也能列舉出與二次函數(shù)相關(guān)的實例，不過方法上卻是以傳統(tǒng)的死記硬背方式為主，片面地認(rèn)為二次函數(shù)即y=ax2+bx+c，卻沒能深入理解a≠0 的準(zhǔn)確含義，并且對于b 和c 的取值范圍也沒有進(jìn)行明確，這都是對二次函數(shù)的本質(zhì)概念沒有理解到位造成的。

第二，學(xué)生對于二次函數(shù)的解析式無法選擇其恰當(dāng)?shù)男问角笕?。形式恰?dāng)與否其實是相對來說的，每一種形式都能夠?qū)⒍魏瘮?shù)的解析式求取出來，但是在題目當(dāng)中有明確地將二次函數(shù)圖像和x 軸的交點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)標(biāo)注出來，那么就可設(shè)出交點或者頂點的解析式，這樣不僅能夠有效簡化計算的程序，同時還能從一定程度上強化做題的速度，減少錯誤率的發(fā)生。學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)掌握的二次函數(shù)形式有一般式、交點式以及頂點式這三種主要的形式。存在一部分學(xué)生對交點式和頂點式不能正確書寫出來，無法理解交點式與頂點式當(dāng)中x1、x2、h、k 的具體含義的學(xué)生更是占據(jù)了絕大比例。其次，題目當(dāng)中列出來的條件學(xué)生不能理解，以至于無法從題目當(dāng)中獲取有關(guān)交點和頂點的條件信息，所以無法定位交點和頂點的坐標(biāo)。最后，學(xué)生缺乏轉(zhuǎn)化三種形式的解析式的意識，大部分的題目會直接在題干當(dāng)中將二次函數(shù)的一般式設(shè)出來，學(xué)生只會將一般式代入并直接求解，而卻不會依據(jù)已知的題目條件將交點式和頂點式列出來。

第三，初中生特別是高年級學(xué)生，已經(jīng)能夠通過二次函數(shù)的解析式將大致的二次函數(shù)圖像畫出來，并且還能從二次函數(shù)中理解該函數(shù)圖像的開口方向、存在最大值、最小值。但是也存在學(xué)習(xí)上的困難：其一，沒能從根本上掌握對稱軸本質(zhì)上是直線。其二，學(xué)生大部分求取頂點坐標(biāo)的方法只會應(yīng)用公式法，方法上學(xué)不會變通，思維存在單一性。其三，學(xué)生無法利用頂點坐標(biāo)計算函數(shù)最大值應(yīng)該在何處取得。其四，部分學(xué)生無法明確把握二次函數(shù)圖像的開口值的大和小，而且對于二次項系數(shù)決定二次函數(shù)圖像的開口值這個法則并不清楚，這就導(dǎo)致學(xué)生無法深入理解二次函數(shù)圖像的明顯特征是能夠互相進(jìn)行平移。其五，對于“左加右減，上加下減”這個定律采取死記硬背的方式，對于能夠進(jìn)行相互平移的兩個函數(shù)圖像是怎樣平移才能獲取到的并不能準(zhǔn)確地說出步驟。其六，學(xué)生在求取二次函數(shù)的最大值、最小值的時候覺得難度很大，會將自變量的具體取值范圍忽略掉，數(shù)形結(jié)合方法掌握不深，因此，只會死記二次函數(shù)頂點處取得最值的知識點。

第四，在二次函數(shù)的實際應(yīng)用過程中，學(xué)生覺得在二次函數(shù)與幾何的綜合問題、實際數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，應(yīng)用二次函數(shù)解決存在相當(dāng)大的難度。這主要表現(xiàn)在以下方面：其一，學(xué)生對于題目意思理解不準(zhǔn)確，不能從題目閱讀當(dāng)中找到其中的變量，從而也就無法將關(guān)系式列舉出來。其二，學(xué)生對于實際相關(guān)知識問題中的自變量取值范圍無法準(zhǔn)確求取，主要是沒有發(fā)現(xiàn)題目中隱含的限制條件。其三，學(xué)生在求取坐標(biāo)軸的交點、最大值、最小值的時候，不能通過二次函數(shù)關(guān)系式求取。學(xué)生認(rèn)為，相比較而言，二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用要比涉及二次函數(shù)與幾何的綜合題型難度系數(shù)要小得多。在綜合題型當(dāng)中，學(xué)生主要面臨以下問題：其一，函數(shù)的關(guān)系式無法求取，并且在求取關(guān)系式的過程中花費太多的時間；其二，學(xué)生對動點問題產(chǎn)生恐懼的心理，甚至直接放棄不做；其三，學(xué)生無法深入理解幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)，無法找到合適的角度切入；其四，與二次函數(shù)相關(guān)的題目，學(xué)生做的量太少，在接觸到題目時能夠在腦海里形成解題思路，但是無法將解題過程明確列出來；其五，學(xué)生沒有建構(gòu)起良好的數(shù)形結(jié)合的思維，對函數(shù)思想、分類討論等相關(guān)思想嚴(yán)重缺乏，因此卷面分?jǐn)?shù)不佳。

二、初中生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的問題因素

初中生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的時候產(chǎn)生的問題，其問題形成的原因是復(fù)雜多樣的，大致可分為三個方面的因素：其一，二次函數(shù)知識本身的性質(zhì)造成的；其二，學(xué)生自身學(xué)習(xí)程度不夠；其三，教師教學(xué)的方法不夠科學(xué)。

（一）二次函數(shù)本身性質(zhì)影響

函數(shù)知識學(xué)習(xí)本就具有抽象性質(zhì)，它通過將動態(tài)的過程呈現(xiàn)出來，在此過程中涉及兩個變量的情況，同時存在于其中的一個變量還會依據(jù)另一個變量的變化而發(fā)生變化，二次函數(shù)的性質(zhì)也是相同的。初中生在該階段需要學(xué)習(xí)的函數(shù)已經(jīng)能夠從形式定義體現(xiàn)，但是隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生可能會更多地接觸到具體的數(shù)字，并且能夠?qū)?shù)字和未知數(shù)產(chǎn)生一定的認(rèn)知，二次函數(shù)形式定義中的系數(shù)a、b、c，對于這些符號的抽象性，學(xué)生理解起來還是產(chǎn)生一定的阻礙。其次，二次函數(shù)概念當(dāng)中逐步延伸出來的自變量、應(yīng)變量、解析式等對于學(xué)生而言較抽象化的概念，學(xué)生也不能理解和掌握。

二次函數(shù)圖像性質(zhì)復(fù)雜系數(shù)較高，與一次函數(shù)相比較，二次函數(shù)的最大、最小值、頂點數(shù)值、對稱軸、開口方向、開口值等都是需要新學(xué)習(xí)的知識，加上二次函數(shù)的單調(diào)性、圖像平移的特點使其學(xué)習(xí)起來更復(fù)雜。涉及二次函數(shù)的應(yīng)用題型實質(zhì)上包含了整個函數(shù)內(nèi)容的范圍，顯著地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用性特點，但是這種綜合性質(zhì)和應(yīng)用性質(zhì)更多的是讓學(xué)生能夠?qū)W會利用數(shù)學(xué)知識解決問題，相比較概念學(xué)習(xí)、圖象和性質(zhì)二者的結(jié)合讓學(xué)生摸不著頭腦，并且在實際問題上其出現(xiàn)的原因是復(fù)雜的，涉及的量值也比較多，關(guān)于二次函數(shù)的題目字?jǐn)?shù)也比較多，學(xué)生在構(gòu)建模型時難免遭到阻礙。同時，二次函數(shù)更多的是與一次函數(shù)、幾何圖形相結(jié)合，考查到的數(shù)學(xué)思想囊括各個方面，更加深了學(xué)生學(xué)習(xí)上的難度。

（二）學(xué)生理解和運用能力不強

學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)產(chǎn)生的困難原因既有客觀因素又有主觀因素。從客觀角度來看，由于學(xué)生認(rèn)知能力不足，抽象思維能力還處在發(fā)展階段，因此這種較低的水平促使學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的時候，無法理解函數(shù)本身的抽象性質(zhì)的變化，更多的只能理解具體數(shù)字的基礎(chǔ)上，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)產(chǎn)生了困難。二次函數(shù)學(xué)習(xí)對于學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想具有較高的要求，但是初中階段的學(xué)生對于“數(shù)”與“形”的理解是分割開來的，只能通過圖像觀察比較明顯的性質(zhì)，例如二次函數(shù)圖像的最大值、最小值以及開口反向這些知識點。但是決定二次函數(shù)開口方向的是什么、主要在哪些方面能夠體現(xiàn)出來、頂點為什么能夠取得最值等情況還是無法理解透徹。從二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中也能看到，學(xué)生的函數(shù)思想、分類討論思想其實是嚴(yán)重缺乏的，并且思維嚴(yán)謹(jǐn)性也不足。

（三）教師教學(xué)方法不夠科學(xué)

學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)上面存在困難，其實與教師的教學(xué)方式也有關(guān)系。第一，教師的教學(xué)方式較傳統(tǒng)，沒能適應(yīng)現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)的需求，更多是依靠之前的經(jīng)驗開展教學(xué)，沒有細(xì)化知識點，對內(nèi)容進(jìn)行照本宣科，忽視了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主觀能動性，不利于學(xué)生函數(shù)思維的培養(yǎng)。例如，在對二次函數(shù)的概念進(jìn)行教學(xué)的時候，教師就將二次函數(shù)概念的形式和定義直接給到學(xué)生，并且再輔助大量的練習(xí)讓學(xué)生自行甄別二次函數(shù)是哪些，這樣就直接造成立學(xué)生只形成了二次函數(shù)的直觀認(rèn)識，理解上就存在滯后性。在對講解與二次函數(shù)相關(guān)聯(lián)的應(yīng)用題型的時候，教師直接將常見模型的等量關(guān)系給到學(xué)生，例如面積的計算公式等，而沒有對學(xué)生的函數(shù)思想加以強化。

第二，教師只重視考點知識，沒有對重點難點知識加以闡明，存在部分教師只會從考點上的內(nèi)容來對二次函數(shù)的知識講解。初中的數(shù)學(xué)知識大多是基礎(chǔ)性的，這也意味著只有讓學(xué)生將最基本的概念掌握牢固，才能對后續(xù)學(xué)習(xí)形成助力，但是許多教師忽略了高中知識和初中知識的銜接關(guān)系。

三、初中生學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題解決策略

（一）利用概念教學(xué)，掌握基礎(chǔ)知識

二次函數(shù)的整個知識體系是以二次函數(shù)的概念作為基礎(chǔ)的，這也意味著重視二次函數(shù)概念的學(xué)習(xí)和理解，才能促使學(xué)生從深層次上掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，才能在實際運用當(dāng)中更好地提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維、函數(shù)思維等。

在實際教學(xué)中，教師直接將二次函數(shù)的基本概念呈現(xiàn)出來，之后再以練習(xí)加以鞏固，這種方式，只能讓學(xué)生以直觀的角度對該函數(shù)是否為二次函數(shù)進(jìn)行判定，但是卻無法說明出原因。因此教師第一步要先利用具體的例子對二次函數(shù)形式概念進(jìn)行概括。例如可通過正方形面積與邊長二者之間的關(guān)系等讓學(xué)生理解這些函數(shù)的顯著特征是自變量的最高次項都是二次的。第二步要依據(jù)概念的關(guān)鍵特點，再對之前學(xué)習(xí)掌握的概念進(jìn)行類比，從而指導(dǎo)學(xué)生獲取相應(yīng)的概念，如y=ax2+bx+c，并且a、b、c 是常數(shù)，其中a≠0。教師必須對a≠0 的本質(zhì)進(jìn)行闡明，讓學(xué)生達(dá)到融會貫通的程度，之后再讓學(xué)生理清b、c 的取值條件。最后學(xué)生才能理解一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的名稱是為了能夠?qū)⒑瘮?shù)表達(dá)式以及自變量的關(guān)系反映出來。第三步則是教師要對學(xué)生是否能夠識別二次函數(shù)的概念，教師可利用一些相關(guān)的表達(dá)式對學(xué)生進(jìn)行檢測和判斷，進(jìn)而在理解函數(shù)的關(guān)鍵特征上將無關(guān)的特征排除掉，真正地理解二次函數(shù)的概念。最后一步是指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行運用。這是在立足于二次函數(shù)的概念之上，既要讓學(xué)生對一些復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行判斷，又可以呈現(xiàn)出一個系數(shù)為參數(shù)的函數(shù)讓學(xué)生進(jìn)行探討，當(dāng)函數(shù)處在何種情況下才是二次函數(shù)、一次函數(shù)，更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（二）提高教師教學(xué)水平，革新教學(xué)觀念

初中學(xué)生對于二次函數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生困難和畏懼心理，其中有部分的原因是教師自身的教學(xué)方法，教師在對知識進(jìn)行講解的時候并不明確，出現(xiàn)模棱兩可的現(xiàn)象。同時，當(dāng)前信息化技術(shù)的高速發(fā)展，教師對其應(yīng)用并不熟練，都會促使學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的時候遭到阻礙。

初中數(shù)學(xué)知識是奠定學(xué)生知識能力的重要基礎(chǔ)，因此教師一定要重視知識講解過程的嚴(yán)密性，實現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性和量力性的有機結(jié)合。例如在講解二次函數(shù)的對稱軸的時候要將對稱軸本質(zhì)是一條直線這個屬性闡明清楚。在初中階段，學(xué)生在運用二次函數(shù)解決實際問題的時候，教師要引導(dǎo)學(xué)生避免在頂點式中找到頂點并和a 的正負(fù)相結(jié)合直接求出最大值、最小值。這是由于在實際問題解決中，會將自變量的取值限定在一個范圍之內(nèi)，因此教師必須要求學(xué)生在解決該問題時與函數(shù)的圖像相結(jié)合，利用二次函數(shù)圖像特點找到最高點和最低點，將最值求取出來，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維變得更加嚴(yán)謹(jǐn)。

（三）養(yǎng)成學(xué)生“樂學(xué)”“愛學(xué)”的良好習(xí)慣

初中階段的學(xué)生普遍反映在知識的學(xué)習(xí)上覺得難度系數(shù)有點大，從而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了興趣，如果遇到的數(shù)學(xué)問題較抽象更會顯得學(xué)習(xí)信心不充足。教師要幫助學(xué)生樹立起積極的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)心理，從學(xué)習(xí)當(dāng)中獲得良好體驗。

在二次函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容中，主要囊括了其概念、圖像與性質(zhì)、實際應(yīng)用等，學(xué)生對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)其實是具有差異化，根據(jù)學(xué)生的氣質(zhì)類型的不同，教師要進(jìn)行針對性的訓(xùn)練。例如有些學(xué)生對于二次函數(shù)的概念理解較快速，那么教師可以指導(dǎo)他們應(yīng)用概念更好地指導(dǎo)實踐進(jìn)行，體會到數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值。如果是對數(shù)學(xué)應(yīng)用方向感興趣的，那么教師可以在課堂教學(xué)中增加一些相關(guān)的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史、數(shù)學(xué)故事趣聞激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生過程的好奇心，努力打造生生互動、師生互動的教學(xué)氣氛。

在開展教學(xué)活動的過程中，教師還要及時對學(xué)生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行評價，學(xué)習(xí)質(zhì)量、學(xué)習(xí)態(tài)度較好的學(xué)生，則要給予積極的語言肯定。對于學(xué)習(xí)存在難度的學(xué)生，也要適當(dāng)給予鼓勵，幫助學(xué)生理解問題、分析問題，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生能夠獲得成功的體驗。

四、結(jié)語

綜上所述，在對二次函數(shù)教學(xué)產(chǎn)生的問題進(jìn)行研讀和解決的時候，培養(yǎng)學(xué)生形成清晰的思路非常重要，這也意味著學(xué)生需要進(jìn)行獨立思考才能有效掌握二次函數(shù)的概念、應(yīng)用方法，教師在引導(dǎo)過程當(dāng)中要注意教學(xué)的手段，避免全盤說出，養(yǎng)成學(xué)生獨立分析問題、解決問題的習(xí)慣，從根本上提高學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新解決能力，配合相關(guān)題型的訓(xùn)練和強化，從而有效提高學(xué)生的綜合能力。