劉美玲

（上海電機(jī)學(xué)院文理學(xué)院 上海 201306）

1 微積分課程

微積分課程充滿了大量的定理，公式和計(jì)算。而這些幾乎都建立在“無(wú)窮”這個(gè)概念上。微積分是一種簡(jiǎn)潔優(yōu)美的學(xué)科和科學(xué)，題目的計(jì)算復(fù)雜和精妙，往往能使具體的問(wèn)題快速有效而簡(jiǎn)潔的解決好。比如求最值問(wèn)題，傳染病模型，幾個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)，幾步計(jì)算就能得到很好的結(jié)果。微積分出色的模擬了大自然，用數(shù)字和符號(hào)定義了這個(gè)世界，認(rèn)識(shí)了宇宙，闡述了邏輯之美。最終利用它的神奇力量預(yù)測(cè)未來(lái)，創(chuàng)造世界。無(wú)窮是微積分中一度難以逾越的難關(guān)，因?yàn)闊o(wú)窮帶來(lái)了悖論，使得一向邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)科學(xué)產(chǎn)生了哲學(xué)災(zāi)難。最初數(shù)學(xué)家們從曲線、運(yùn)動(dòng)及其變化中尋求規(guī)律和解決之道。天文學(xué)家從宇宙中找尋萬(wàn)物運(yùn)轉(zhuǎn)的規(guī)律和秘密，試圖用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)使人信服，推動(dòng)文明的進(jìn)程[1]。天文學(xué)的研究客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展，對(duì)人們的生活產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。二維碼結(jié)賬，GPS導(dǎo)航，天文學(xué)和數(shù)學(xué)無(wú)處不在。

曲線和曲面形式豐富，隨處可見(jiàn)。它們不像直線和平面容易計(jì)算和想象，面積和體積的計(jì)算變得難以下手，造成了概念上的困惑。古代數(shù)學(xué)家曾花了很大力氣想要求解圓的面積，然而上千年無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家鍥而不舍的研究卻進(jìn)展緩慢。

2 不規(guī)則量計(jì)算中的無(wú)窮應(yīng)用

微積分的應(yīng)用廣泛，曲線、質(zhì)量、引力，時(shí)間等都可以作為分析對(duì)象。最開(kāi)始的微積分學(xué)科是作為數(shù)學(xué)分析課程產(chǎn)生的。初等數(shù)學(xué)是從幾何發(fā)展來(lái)的，在規(guī)則圖形的研究已比較完備后，不規(guī)則形狀的圓形，球狀，甚至完全不規(guī)則形的物體的面積、體積及相關(guān)的其他測(cè)量阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展。微積分在數(shù)百年對(duì)帶曲線形狀體的研究中誕生了。先哲們以直代曲，以不變代變，以若干線段代替曲線，用已有的方法研究未知的曲線性質(zhì)。問(wèn)題很快出現(xiàn)了，近似代替的精度越高，線段越接近無(wú)窮小，線段數(shù)量越接近無(wú)窮多，通過(guò)無(wú)窮求和，積分學(xué)首先誕生了。無(wú)窮的思想歷經(jīng)多個(gè)世紀(jì)，歷經(jīng)眾多最偉大的數(shù)學(xué)家的共同努力，終于于17-18世紀(jì)取得了進(jìn)展。積分學(xué)誕生后，人們對(duì)以曲線為基本元的不規(guī)則體，以及以非均勻變量為基本特征的不規(guī)則量的研究達(dá)到了狂熱的程度。這些研究使微積分理論迅速豐富起來(lái)，并產(chǎn)生了相關(guān)的很多分支學(xué)科，比如概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，運(yùn)籌學(xué)，矩陣?yán)碚?，微分方程等，已?jīng)被廣泛應(yīng)用到了工程領(lǐng)域各學(xué)科，使現(xiàn)代科學(xué)進(jìn)入了微積分研究時(shí)代，現(xiàn)代科學(xué)得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。

在幾何領(lǐng)域取得突破進(jìn)展后，積分學(xué)自然地被用來(lái)進(jìn)行運(yùn)行之謎的探索。當(dāng)然牛頓也是在運(yùn)動(dòng)規(guī)律的找尋中發(fā)現(xiàn)了微積分。這促成了微分學(xué)的誕生。它準(zhǔn)確刻畫(huà)了不規(guī)則運(yùn)動(dòng)時(shí)無(wú)窮小時(shí)間和距離變化之間的關(guān)系。

牛頓和萊布尼茲把代數(shù)的符號(hào)與無(wú)窮的力量結(jié)合起來(lái)，他們把積分學(xué)甚至公式化了，任何運(yùn)動(dòng)都變成了無(wú)窮求和。20世紀(jì)初愛(ài)因斯坦將微積分應(yīng)用于一個(gè)原子躍遷模型，從而預(yù)測(cè)了一種受激發(fā)射的奇特現(xiàn)象，基于這樣的基礎(chǔ)理論，最終激光器被發(fā)明了。微積分甚至用到了醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，從病毒的傳播機(jī)制與人體免疫的模型入手，分析預(yù)測(cè)病毒的傳播機(jī)制，控制病毒，從而使一些絕癥變?yōu)槁约膊　?/p>

最早在公元前200多年，古希臘數(shù)學(xué)家們就執(zhí)著于研究曲線之謎。他們希望將曲線形狀和直線形狀聯(lián)系起來(lái)，然后實(shí)際計(jì)算中困難重重。如何定義“無(wú)窮”，它是數(shù)字，變量還只是一個(gè)概念？這個(gè)思想最開(kāi)始被應(yīng)用到了圓的面積求解中。數(shù)學(xué)家們把圓分割成曲邊三角形，首先分成了四等分，但是曲邊用直線近似顯然很粗糙。繼續(xù)分割成16等份，每一份更加接近三角形，顯然分割的份數(shù)越多，曲邊三角形的曲邊就越扁平，越接近圓面積的真值。如果能夠無(wú)窮分割，則所有曲邊三角形面積之和就是圓的面積，這是一個(gè)極限的思想。但極限太抽象了，似乎是一個(gè)無(wú)法達(dá)到的目標(biāo)。一千多年里數(shù)學(xué)家一直想解決極限的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述無(wú)限接近的意思，直到微積分產(chǎn)生后，才給極限有了一個(gè)嚴(yán)格的定義。這都是因?yàn)闊o(wú)窮難以定義。中文中有很多關(guān)于無(wú)窮的詞匯，無(wú)窮無(wú)盡，后患無(wú)窮，回味無(wú)窮等，也許中文和數(shù)學(xué)上的無(wú)窮本來(lái)也是同一種意思，然后數(shù)學(xué)需要定量分析，無(wú)窮需要數(shù)學(xué)化，用變量描述，最好能賦值。我們小學(xué)階段就學(xué)過(guò)除不盡的分?jǐn)?shù)，比如三分之一，寫(xiě)成小數(shù)就是0.333……，后面有無(wú)限重復(fù)的3，這里就有了無(wú)窮，實(shí)際計(jì)算中或許我們?nèi)讉€(gè)3就行了，所以沒(méi)有啟發(fā)我們進(jìn)一步考慮如果精確取值怎么處理。然而類似圓的面積這樣的用無(wú)窮近似求極限值計(jì)算的，我們還是希望能解決無(wú)窮之后的極限如何求解。把圓分割的越來(lái)越細(xì)，每一份的面積都越來(lái)越小，接近0了，分?jǐn)?shù)來(lái)自分配或者分割，無(wú)窮分割似乎就是給0個(gè)做分割，大膽從除數(shù)為0引出了無(wú)窮的數(shù)學(xué)表達(dá)，除數(shù)不能為0，最開(kāi)始，用了接近0的數(shù)字試探，比如0.01，0.001，0.000001，隨著除數(shù)接近0，商變得越來(lái)越大，趨于無(wú)窮了。除數(shù)為0導(dǎo)致了經(jīng)典數(shù)學(xué)的動(dòng)蕩，無(wú)法從實(shí)際意義上理解。亞里士多德曾警告說(shuō)在無(wú)窮的問(wèn)題上犯錯(cuò)會(huì)導(dǎo)致各種邏輯悖論。兩千多年的初等數(shù)學(xué)都是研究有限的理論，無(wú)窮在哲學(xué)上遭到了抵制。

芝諾悖論，阿喀琉斯的烏龜悖論都蘊(yùn)含了無(wú)窮的思想。無(wú)窮思想之所以難以理解，是因?yàn)閿?shù)學(xué)來(lái)自實(shí)際生活，都是有限的測(cè)量需求，無(wú)窮難以和實(shí)物聯(lián)系起來(lái)，有虛無(wú)縹緲的感覺(jué)，使得一千多年以來(lái)的哲學(xué)家數(shù)學(xué)家們難以接受，甚至拒絕接受，覺(jué)得有悖于現(xiàn)實(shí)，沒(méi)有任何價(jià)值。無(wú)窮只能存在于理想化的假想世界中，假裝一切事物可無(wú)線分割，微積分就是建立在這樣的假設(shè)基礎(chǔ)上，如果沒(méi)有它，無(wú)法定義極限，經(jīng)典數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)都停滯不前。圓的面積的計(jì)算，無(wú)法除盡的分?jǐn)?shù)的存在，無(wú)理數(shù)的客觀存在，使我們不得不面對(duì)無(wú)窮。不能只研究有限，即使包含有理數(shù)，也難以使數(shù)軸上連續(xù)充滿數(shù)，必須有無(wú)理數(shù)，用實(shí)數(shù)才能定義連續(xù)。無(wú)窮使得很多研究得以繼續(xù)，也簡(jiǎn)單明了了。

阿基米德也曾研究過(guò)圓的面積，他將幾何學(xué)與力學(xué)結(jié)合在一起，先用六邊形代替圓，六邊形包含6個(gè)等邊三角形，每條邊長(zhǎng)都等于圓的半徑r，圓的周長(zhǎng)大于6r,圓周率被認(rèn)為是圓的周長(zhǎng)和直徑之比。繼而用24邊形，48邊形，96邊形近似圓，最終得到了圓周率大約在3.1408和3.1428之間，這種方法后來(lái)被稱作窮竭法。在我國(guó)的九章算術(shù)注當(dāng)中亦有記錄“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。隨著邊數(shù)增加，圓周率可以更加精確下去，直到小數(shù)點(diǎn)后面無(wú)窮位，既沒(méi)有可見(jiàn)的終點(diǎn)也沒(méi)有可知的極限，但它的定義和描述已經(jīng)很清晰了，它是秩序和混沌之間的平衡，為后面微積分的產(chǎn)生奠定了非常好的理論基礎(chǔ)[2]。阿基米德的窮竭法說(shuō)明了任何想要測(cè)量曲線長(zhǎng)度，曲面面積，不規(guī)則形體體積的方法，都必須面對(duì)無(wú)窮小部分的無(wú)窮級(jí)數(shù)和的極限問(wèn)題。窮竭法和無(wú)窮在現(xiàn)代應(yīng)用中無(wú)處不在，甚至被用到了動(dòng)畫(huà)中，動(dòng)畫(huà)師用幾千萬(wàn)個(gè)多邊形創(chuàng)造出了怪物史萊克，阿凡達(dá)等，視頻用靜止的上千萬(wàn)幀組成。德國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)家們通過(guò)CT掃描的人面部顱骨三維結(jié)構(gòu)，把微積分和計(jì)算機(jī)建模結(jié)合，預(yù)測(cè)復(fù)雜的面部模型。用幾十萬(wàn)個(gè)四面體形成了皮膚、肌肉等軟組織，在醫(yī)學(xué)上都很有價(jià)值。

3 微積分中的無(wú)窮應(yīng)用

除了早期的數(shù)學(xué)家哲學(xué)家外，天文學(xué)家和物理學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的力量更為推崇。伽利略認(rèn)為只有用數(shù)學(xué)才能認(rèn)識(shí)世界。開(kāi)普勒用圓錐曲線描述太陽(yáng)系，哈利奧特將數(shù)學(xué)應(yīng)用于光學(xué)、航海技術(shù)，笛卡爾將代數(shù)和幾何聯(lián)系起來(lái)，用于研究光，彗星等[3]。經(jīng)典物理學(xué)研究了物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，用數(shù)學(xué)方程來(lái)描述。天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律經(jīng)過(guò)對(duì)空間和時(shí)間的無(wú)窮分割似乎也可以用普通物理學(xué)的知識(shí)研究。中世紀(jì)的學(xué)者們一直研究和探討這些問(wèn)題。艾薩克牛頓無(wú)疑是其中最優(yōu)秀之一。他用“流數(shù)”定義了流體的變化率，萊布尼茲用微分表達(dá)了無(wú)窮小時(shí)間內(nèi)的變化量。這就是最早的導(dǎo)數(shù)概念。牛頓在他的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書(shū)中用最初的微積分思想解釋了運(yùn)動(dòng)定律和太陽(yáng)系運(yùn)轉(zhuǎn)的秘密。伯努利兄弟也開(kāi)始學(xué)習(xí)和研究微積分，許多學(xué)者以極大的熱忱參與了微積分的完善和傳播。一生勤奮的歐拉是其中最偉大的數(shù)學(xué)家之一，歐拉對(duì)數(shù)學(xué)有很高的造詣，并將之熟練應(yīng)用到了天文學(xué)、工程領(lǐng)域甚至哲學(xué)里。他撰寫(xiě)了《微積分預(yù)修》教科書(shū)，發(fā)表的論文和著作不計(jì)其數(shù)，其中《無(wú)窮小分析引論》是最著名最有影響力的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作。這本書(shū)具有里程碑的意義，它把函數(shù)作為主要研究對(duì)象，從純代數(shù)的角度研究微積分，使無(wú)窮小分析不再依賴幾何性質(zhì)。自此代數(shù)學(xué)脫離了幾何學(xué)，從初等數(shù)學(xué)躍升到了高等數(shù)學(xué)。這本書(shū)是現(xiàn)代很多微積分教科書(shū)的范本。歐拉提出了無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，用無(wú)窮多項(xiàng)式逼近無(wú)窮階可導(dǎo)的任意函數(shù)。他定義三角函數(shù)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，并表述了歐拉公式，使得很多函數(shù)值可以精確計(jì)算。

然而雖然很多學(xué)者用到了無(wú)窮的思想，在計(jì)算中嚴(yán)謹(jǐn)或者不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖褂昧藷o(wú)窮小量，牛頓和萊布尼茲也都提到了無(wú)窮小量，但他們都認(rèn)為它是虛無(wú)的存在，只有極限狀態(tài)時(shí)用來(lái)輔助描述一下。物理學(xué)家認(rèn)為無(wú)窮小不對(duì)應(yīng)實(shí)物，在數(shù)軸上不存在，所以涉及的計(jì)算沒(méi)有數(shù)值解，它應(yīng)該被看作是一種思維方式。在函數(shù)關(guān)系中自變量的微小變化被認(rèn)為是無(wú)窮小，這個(gè)變化量一般會(huì)引起函數(shù)值的一個(gè)較小的變化量，它們都趨近于零。但是把自變量的微小變化量和函數(shù)值的微小變化量作比較，卻能得到一個(gè)相對(duì)巨大的數(shù)值。也就是說(shuō)變化率并不微小。這讓數(shù)學(xué)家們理解了曲線上一點(diǎn)的斜率，瞬時(shí)速度，曲線長(zhǎng)度和曲面面積等?，F(xiàn)代教科書(shū)把無(wú)窮小定義為極限為零的變量。它是微分的本質(zhì)，它使得計(jì)算變得簡(jiǎn)單了，甚至程序化了。比如計(jì)算一個(gè)曲邊三角形的面積，初等數(shù)學(xué)需要分割，近似，逐個(gè)部分計(jì)算，煩瑣而復(fù)雜，而使用微積分的話，只是一個(gè)公式，兩三個(gè)步驟即可。

現(xiàn)在微積分被廣泛應(yīng)用于工程學(xué)，天文學(xué)，醫(yī)學(xué)，管理學(xué)，農(nóng)業(yè)科學(xué)等各領(lǐng)域，是大學(xué)階段必修課程，已被普遍理解和接受，關(guān)于它的理論還應(yīng)用還在持續(xù)被挖掘中，它的未來(lái)還會(huì)更加大放光彩。